カラテオドリの拡張定理

数学測度論におけるカラテオドリの拡張定理(カラテオドリのかくちょうていり、: Carathéodory's extension theorem)は「与えられた集合 Ω の部分集合族である集合環 R 上定義される任意の σ-有限測度英語版は、R が生成するσ-集合環上の測度へと一意に拡張できる」ということを述べた定理である。この定理の帰結として、実数からなる区間すべてを含む空間上で定義された任意の測度は、実数全体の成す集合 R 上のボレル集合族上の測度へと拡張することができる。これは測度論における非常に強力な結果であり、例えば、ルベーグ測度の存在の証明にも使用された。

定理の主張

RΩ 上の集合環とし、μ: R → [0, +∞]R 上の前測度とする。

定理 (Carathéodory)
このとき μ の拡張となる測度 μ′: σ(R) → [0, +∞] が存在する(すなわち、μ'|R = μ である)[1]

ここで σ(R)R が生成するσ-集合環とする。

μσ-有限英語版ならば、その拡張 μ' は一意(かつ σ-有限)である[2]

集合環と集合半環

定義

与えられた集合 Ω に対し、その冪集合 の部分集合 S で、次に述べる性質を満たすものを集合半環と定義する:

  • S は空集合を含む: ∅ ∈ S.
  • S は合併に関して閉じている: 任意の A, BS に対し、ABS が成立する。
  • S において差集合は有限非交和に書ける:任意の A, BS に対し、互いに素な集合KiS (i = 1, 2, …, n) を満たすようなものが存在する。

同様な記号を用いて、Ω の冪集合の部分集合で次の性質を満たすものは集合環 R と呼ばれる:

  • R は空集合を含む: ∅ ∈ R
  • R は合併に関して閉じている: 任意の A, BRに対し、ABR が成立する。
  • R は差に関して閉じている: 任意の A, BRに対し、ABR が成立する。

したがって、Ω 上の任意の集合環は、集合半環でもある。

測度論に関する文献では、しばしば、次のような制限が追加される:

  • Ω は、S に含まれるある可算な集合族の直和である。

性質

  • Ω 上の集合環からなる族の任意個数(非可算でもよい)の共通部分は、再び Ω 上の集合環となる。
  • A の空でない部分集合としたとき、A を含むような最小の集合環として「A により生成される集合環 R(A)」を定義する。A により生成される集合環は、A を含むような集合環すべての共通部分と等しいことが分かる。
  • 集合半環 S に対し、S の部分集合のすべての有限直和を含むような集合
    S の生成する集合環になる(つまり、R(S) は単純に、S に属する集合からなる有限和すべてを含むような集合である)。
  • 集合半環 S 上で定義される有限加法的測度(あるいは容量)μ は、S により生成される集合環へ延長することができ、そのような延長は一意的に決まる。拡張された有限加法的測度は S に属する集合の列 Ai について
    と書ける。また、μ が前測度を与えるための必要十分条件は、この拡張された有限加法的測度自身が前測度であることである。S 上の前測度を拡張して得られる R(S) 上の任意の前測度は、必ず上式のように記述される。

動機

測度論においては、集合環や集合半環それら自体よりも、それらにより生成される σ-代数に関心が注がれる。集合半環 S 上の前測度(例えば、スティルチェス測度)は、R(S) 上の前測度へと拡張することができるが、最終的にはカラテオドリの拡張定理を用いることにより、σ-代数上の測度へと拡張することができる。集合環および集合半環が生成する σ-代数が等しい場合には、(少なくとも測度論においては)実際問題としてこれらの間に差異は無い。実際には、カラテオドリの拡張定理は、環を半環に置き換えることにより、わずかに一般化することができる。

半環の定義は若干複雑なものであるようにも思われる。次の例は、なぜそれが有用なのかを示すものである。

冪集合 の部分集合を、実数 a, b に対する半開区間 [a, b) 全てからなる集合族によって与える。これは集合半環であるが、集合環ではない。また、スティルチェス測度がそれらの区間上に定義される。この集合半環上の可算加法性の証明は、区間の可算な和集合がそれ自身も区間となるような場合のみについて考えればよいので、それほど困難なことではない。可算加法性を、区間の任意の可算和について示すことに、カラテオドリの定理が用いられる。

関連項目

参考文献

  1. ^ Vaillant, Theorem 4
  2. ^ Ash, p.19
  • Noel Vaillant, Caratheodory's Extension, on probability.net. A clear demonstration of the theorem through exercises.
  • Robert B. Ash (1999). Probability and Measure theory. Academic Press; 2 edition. ISBN 0-12-065202-1 

Read other articles:

الونش النوع دراما تأليف أحمد عبدالفتاح إخراج إسماعيل فاروق عدد المواسم 1 عدد الحلقات 45 الإنتاج منتج تامر مرسي شركة الإنتاج سينرجي للإنتاج الفني بث لأول مرة في 4 ديسمبر 2022 السينما.كوم صفحة العمل تعديل مصدري - تعديل   الونش هو مسلسل مصري من إخراج إسماعيل فاروق وبطولة محمد رجب

Su Zong Información personalNombre en chino tradicional 唐肅宗 Nacimiento 21 de febrero de 711 o 19 de octubre de 711jul. Chang'an (Dinastía Tang) Fallecimiento 16 de mayo de 762jul. Chang'an (Dinastía Tang) Sepultura Liquan Religión Budismo FamiliaFamilia Dinastía Tang Padres Xuanzong de Tang Yang, Empress Yuanxian Cónyuge Wei ShiEmpress ZhangWu Shi Información profesionalOcupación Gobernante Cargos ocupados Príncipe heredero (desde 738, hasta 756juliano)Emperador de China d...

Райх Reich —  громада  — Вид Райх Герб Координати: 50°00′17″ пн. ш. 7°25′58″ сх. д. / 50.00472° пн. ш. 7.43278° сх. д. / 50.00472; 7.43278 Країна  Німеччина Земля Рейнланд-Пфальц Район Рейн-Гунсрюк Об'єднання громад Зіммерн Площа  - Повна 4,76 ...

Richter beralih ke halaman ini. Untuk fisikawan Charles Richter, lihat Charles Richter. Untuk kegunaan lain, lihat Richter (disambiguasi) dan SR.Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Skala Richter – berita · surat kabar · buku · cendekiawan �...

إلبيرة الإحداثيات 37°14′15″N 3°42′29″W / 37.237514747443°N 3.7079443122985°W / 37.237514747443; -3.7079443122985  تقسيم إداري  البلد إسبانيا  التقسيم الأعلى الطَّرف  تعديل مصدري - تعديل   إلبيرة[1][2] (بالإسبانية: Elvira)‏ هي إحدى الكور التي كانت تتشكل منها الدولة الأموية في الأندل

François Ozon auf der Berlinale 2022 François Ozon (* 15. November 1967 in Paris) ist ein französischer Filmregisseur und Drehbuchautor. Inhaltsverzeichnis 1 Leben und Werk 2 Filmografie (Auswahl) 3 Literatur 4 Weblinks 5 Einzelnachweise Leben und Werk François Ozon ist der Sohn einer Französischlehrerin und eines Biologen. In seiner Kindheit arbeitete er als Fotomodell. Er studierte Regie an der französischen Filmhochschule La Fémis. Nach mehreren Kurzfilmen verhalf ihm sein knapp einst

Logo fiksi sebuah simbol merek jasa. Merek jasa adalah merek dagang yang digunakan di Amerika Serikat dan beberapa negara lain untuk mengidentifikasi sebuah layanan/jasa (bukan produk).[1][2] Ketika merek jasa sudah terdaftar secara federal, simbol registrasi standar ® atau Reg U.S. Pat & TM Off dapat digunakan (simbol yang sama digunakan untuk menandai merek dagang terdaftar). Sebelum terdaftar, simbol merek jasa ℠ (superskrip SM) dapat digunakan dengan catatan ada kep...

American country music singer-songwriter (1932–2017) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Mel Tillis – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2017) (Learn how and when to remove this template message) Mel TillisTillis at the Grand Ole Opry, 2007Background informationBirth nameLonn...

Repurposed Presbyterian church building Websters TheatreFormer namesLansdowne Parish ChurchAddress416, Great Western RoadLocationGlasgow, ScotlandCoordinates55°52′28″N 4°16′42″W / 55.874513°N 4.278454°W / 55.874513; -4.278454Public transit Listed Building – Category ADesignated15 December 1970Reference no.LB32205 ConstructionBuilt1862–1863Opened1863 (as a church)2014 (as a theatre)Closed2014 (as a church)Construction cost£12,400ArchitectJohn Honey...

Forte do Espírito Santo do Porto do Francês Construção João VI de Portugal (c. 1820) Estilo abaluartado Conservação Desaparecido Aberto ao público Não O Forte do Espírito Santo do Porto do Francês localizava-se no morro fronteiro à barra do porto do Francês, hoje praia do Francês, na cidade de Alagoas, atual Marechal Deodoro, no litoral do estado brasileiro de Alagoas. História Esta estrutura foi identificada como Forte do Francês,[1] e referida como Forte do Espírito Santo.[...

This article is written like a personal reflection, personal essay, or argumentative essay that states a Wikipedia editor's personal feelings or presents an original argument about a topic. Please help improve it by rewriting it in an encyclopedic style. (September 2022) (Learn how and when to remove this template message) Crime is present in various forms in Vietnam. According to the United States 2016 OSAC Crime report, Hanoi is rated as medium in Overall Crime and Safety Situation.[1&#...

Alte Aula, 1850 Universitas Eberhard Karl Tübingen (bahasa Jerman: Eberhard Karls Universität Tübingen, disingkat Universität Tübingen) adalah universitas negeri yang berlokasi di kota Tübingen, Jerman. Universitas Tübingen didirikan pada 1477, sehingga merupakan salah satu universitas tertua di Jerman. Pranala luar Situs resmi lbsUniversities di JermanBaden-Württemberg Heidelberg Freiburg Karlsruhe Konstanz Mannheim Hohenheim Stuttgart Tübingen Ulm Universitas Zeppelin di Friedrichs...

Italian football club This article is about the men's football club based in Italy. For the women's team, see Pomigliano C.F. Football clubPomiglianoFull nameAssociazione Sportiva Dilettantistica Calcio PomiglianoFounded19201995 (refounded)GroundStadio Ugo Gobbato,Pomigliano d'Arco, ItalyCapacity1,600ChairmanSalvatore RomanoManagerMarcello CasuLeagueSerie D/H2017–1812th Home colours Away colours Associazione Sportiva Dilettantistica Calcio Pomigliano is an Italian association football club ...

2013 British filmSvengaliDirected byJohn HardwickWritten byJonny OwenProduced byMartin RootJonny OwenVictoria WoodRob SmallStarringMartin Freeman Vicky McClure Matt Berry Michael Socha Michael Smiley Natasha O'Keeffe Jonny Owen Vauxhall JermaineCinematographyCatherine DerryEdited byAnthony 'Pants' Boys Kant PanMusic byTristin NorwellProductioncompaniesRoot Films Munro Film ServicesDistributed byUniversal PicturesRelease dates 21 June 2013 (2013-06-21) (Edinburgh Internation...

Fried fishcake originating from Kagoshima, Japan This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Satsuma-age – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2009) (Learn how and when to remove this template message) Satsuma-age Satsuma-age shop A tub of uncured fish surimi ready for finish-processing...

American college basketball season This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 2015–16 Maryland Terrapins men's basketball team – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2019) (Learn how and when to remove this template message) 2015–16 Maryland Terrapins men's basketballCancún Challenge (Riviera) champion...

Species of moth Gazoryctra mathewi Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Lepidoptera Family: Hepialidae Genus: Gazoryctra Species: G. mathewi Binomial name Gazoryctra mathewi(W.H. Edwards, 1874)[1] Synonyms Epialus mathewi W.H. Edwards, 1874 Gazoryctra matthewi Gazoryctra mathewi, or Matthew's ghost moth, is a moth of the family Hepialidae. It is known from western North America, including British Columbia, Washingt...

Binary star in the constellation Pegasus Eta Pegasi Location of η Pegasi (circled) near the center Observation dataEpoch J2000.0      Equinox J2000.0 Constellation Pegasus Right ascension 22h 43m 00.13743s[1] Declination +30° 13′ 16.4822″[1] Apparent magnitude (V) +2.95[2] Characteristics Spectral type G2 II + F0 V[3] U−B color index +0.57[2] B−V color index +0.86[2] As...

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Lights from the Valley – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2024) (Learn how and when to remove this template message) 1978 studio album by ChilliwackLights from the ValleyStudio album by ChilliwackReleasedJune 1978StudioMushroom Stud...

Hakeem Jeffries Hakeem Sekou Jeffries (/ˌhɑːˈkiːm/; lahir 4 Agustus 1970)[1] adalah seorang politikus dan jaksa Amerika Serikat yang menjabat sebagai anggota DPR sejak 2013. Ia adalah anggota Partai Demokrat. Referensi ^ Hakeem Sekou Jeffries – New York – Bio, News, Photos. Washington Times. October 12, 2012. Diarsipkan dari versi asli tanggal September 27, 2013. Diakses tanggal September 28, 2013.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan...