不変面
不変面と黄道 の関係を表す概念図。 不変面 [ 1] 英 : invariable plane ）とは、孤立した質点 系の全角運動量 ベクトル に垂直な平面である[ 2] 天文学 においては太陽系 などの惑星系 の天体力学 の計算を行う際に、基準面として用いられる[ 3] 木星 、土星 、天王星 、海王星 の4つの巨大惑星 の寄与によるものである[ 4] 黄道 面に対して約1.58° 傾いており、木星軌道と土星軌道の間に収まっているが、太陽系に存在するありとあらゆる天体 の質量 と運動がわかっているわけではないので、不変面の正確な位置を決定することはできていない[ 5]
太陽系の天体力学を扱うに当たっては、一般に黄道面が基準とされていたが、これにはそうすべきという物理学 的な根拠がない[ 4] フランス の数学者 ・天文学者 ピエール＝シモン・ラプラス は、太陽系の全角運動量ベクトルに垂直で、太陽系の重心 を通る平面 が一意に決められることを発見し、これを「不変面」と定義し導入した[ 6] [ 7] 時間 ・空間 に対し常に一定となるので、不変面は文字通り不変となる[ 8] [ 4]
ラプラス以降、何人かの天文学者が太陽系の不変面を求めてきた。その間に、海王星、冥王星 などが発見され、更に探査機 などの観測成果によって、太陽系内天体の質量と運動を計算する精度は大きく向上し、理論的な概念だった不変面が、真の不変面に限りなく近いものを求められるようになっている[ 7] [ 8]
過去の不変面の導出例
年
計算者
黄道面に対する傾斜角 (°)
昇交点黄経 (°)備考
1802
ラプラス[ 9]
1.5919
102.9581
1750.0分点
1.5919
102.9542
1750.0分点但し惑星は1950.0
1834
ポンテクーラン （英語版 ） [ 10] 1.5711
103.1458
1800.0分点
1.5708
103.1472
1800.0分点但し惑星は2000.0
1872
ストックウェル （ドイツ語版 ） [ 7] 1.5788716
106.235000
1850.0分点
1903
シー [ 7] 1.5854847
106.1463022
1850.0分点
1920
イネス [ 11] 1.5831
106.5836
1900.0分点
1955
クレメンス &ブラウワー [ 12] 1.6469
107.222
1950.0分点
1982
ブルクハルト[ 8]
1.589706
107.12736
1950.0分点
1.587183
107.60856
2000.0分点
2012
Souami & Souchay[ 4]
1.57869
107.5822
2000.0分点
孤立した（外力が及ばない）質点系における不変面は、質点の全角運動力ベクトルに垂直で、かつ系の重心を通る平面と定義される。外力が働かない限り、全角運動量ベクトルは時間に対しても空間に対しても一定であるので、「不変」面と呼ばれる。不変面は、惑星の摂動 によって時間と共に変化する黄道面と比べ、単純な幾何学 的特性に従い、孤立系の力学 における必然的な帰結として導かれるもので、より自然で理に適った天体力学の基準面となる[ 4] ラプラス面 （英語版 ） 衛星 などの歳差 運動の軸に垂直な平面のことであり、両者を混同すべきではない[ 13]
ニュートン力学 の下では、質点が
N
{\displaystyle N}
L
→ → -->
t
o
t
=
∑ ∑ -->
j
=
1
N
m
j
r
→ → -->
j
× × -->
r
→ → -->
˙ ˙ -->
j
{\displaystyle {\vec {L}}_{tot}=\sum _{j=1}^{N}m_{j}{\vec {r}}_{j}\times {\dot {\vec {r}}}_{j}}
と表される。ここで、
m
j
{\displaystyle m_{j}}
r
→ → -->
j
{\displaystyle {\vec {r}}_{j}}
r
→ → -->
˙ ˙ -->
j
{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}_{j}}
j 番目の質点の、質量、系の重心を原点とした位置 ベクトル、系の重心を原点とした速度 ベクトル、を表す。これに、相対論 的効果を加味すると、質量の
m
j
{\displaystyle m_{j}}
m
j
∗ ∗ -->
=
m
j
⋅ ⋅ -->
[
1
+
r
→ → -->
˙ ˙ -->
j
2
2
c
2
− − -->
1
2
c
2
(
∑ ∑ -->
k
≠ ≠ -->
j
G
m
k
|
r
→ → -->
k
− − -->
r
→ → -->
j
|
)
]
{\displaystyle m_{j}^{*}=m_{j}\cdot \left[1+{\frac {{\dot {\vec {r}}}_{j}^{2}}{2c^{2}}}-{\frac {1}{2c^{2}}}\left(\sum _{k\neq j}{\frac {Gm_{k}}{|{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{j}|}}\right)\right]}
で置き換えられる。ここで、
c
{\displaystyle c}
真空 中の光速 、
G
{\displaystyle G}
重力定数 である[ 8] [ 4]
太陽系において、全角運動量に対する各惑星の寄与は、木星が最も大きく61.368%から61.515%。次いで土星が24.925%から24.957%、海王星が7.994%、天王星が5.406%から5.407%となっている[ 4] 公転 運動だけを考慮した、軌道角運動量における内訳である。実際には、全角運動量といった場合には、天体の自転 による角運動量、衛星の公転による角運動量も含まれる。特に、圧倒的な質量を持つ太陽の自転による回転角運動量はそれなりに大きく、全角運動量に対しおよそ1%程度の寄与があるとみられる。しかし、太陽内部の構造と対流 などの運動の不定性と、太陽の自転の差動回転 から、誤差は寄与以上に大きく、精密な計算にはとても用いることができない。また、太陽以外の天体の自転や、衛星の公転は、惑星の公転に比べたら影響は非常に小さい。そのため、これらは全て無視し、公転軌道角運動量だけで計算するのが、実用的な不変面の求め方である[ 14] [ 15]
全ての惑星の公転軌道面は、惑星間の重力の影響による摂動で、不変面に対して時間変化を示す[ 16] 地球 の場合、およそ10万年の周期で振動しており、不変面に対する軌道傾斜角 は0°から3°まで変化する[ 17] [ 16] ' から29'まで変化する[ 16]
^ 『学術用語集 天文学編 』（増訂）。https://jglobal.jst.go.jp/detail?JGLOBAL_ID=201606016799031898 。 ^ 福島登志夫 編『天体の位置と運動』 13巻、日本評論社 〈シリーズ現代の天文学〉、2009年1月15日、181-183頁。ISBN 978-4-535-60733-0 。 ^ ジャクリーン・ミットン『天文小事典』【翻訳・監修】北村正利 ・木村直人・黒星瑩一・佐藤勲・白尾元理・長沢工 ・山越幸江・山田陽志郎、地人書館 、1994年7月1日、268頁。ISBN 4-8052-0464-8 。 ^ a b c d e f g Souami, D.; Souchay, J. (2012-07), “The solar system's invariable plane”, Astronomy & Astrophysics 543 : A133, Bibcode : 2012A&A...543A.133S , doi :10.1051/0004-6361/201219011
^ Ridpath, Ian (2012), A Dictionary of Astronomy (2 rev. ed.), Oxford University Press , ISBN 9780199609055 ^ Laplace, Pierre-Simon de (1878), Oeuvres complètes de Laplace 11 , Paris : Gauthier-Villars et Fils, pp. 548-553, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77599c/f553.image ^ a b c d See, T. J. J. (1904-01), “On the Degree of Accuracy Attainable in Determining the Position of Laplace's Invariable Plane of the Planetary System”, Astronomische Nachrichten 164 (11): 161-176, Bibcode : 1904AN....164..161S , doi :10.1002/asna.19031641102
^ a b c d Burkhardt, G. (1982-02), Astronomy & Astrophysics 106 (1): 133-136, Bibcode : 1982A&A...106..133B
^ Laplace, P. S. (1802), Traité de mécanique céleste (t. 3) , https://www.kyoto-su.ac.jp/lib/kichosyo/laplace/pages/00524333/00524333_095.html ^ Pontécoulant, Gustave de (1834), “Formation des Tables astronomiques par la comparaison des observations et de la théorie. Détermination du plan invariable. Conclusion de la théorie des inégalités planétaires” , Théorie analytique du système du monde , 3 , Paris: Mallet-Bachelier, pp. 521-537, https://books.google.co.jp/books?id=e0crAAAAcAAJ ^ Innes, R. T. A. (1920-07), “The Invariable Plane of the Solar System”, Circular of the Union Observatory Johannesburg 50 : 72, Bibcode : 1920CiUO...50...72I ^ Clemence, G. M. ; Brouwer, Dirk (1955-05), “The accuracy of the coordinates of the five outer planets and the invariable plane”, Astronomical Journal 60 : 118-125, Bibcode : 1955AJ.....60..118C , doi :10.1086/107172 ^ Tremaine, Scott; Touma, Jihad; Namouni, Fathi (2009-03), “Satellite Dynamics on the Laplace Surface”, Astronomical Journal 137 (3): 3706-3717, Bibcode : 2009AJ....137.3706T , doi :10.1088/0004-6256/137/3/3706 ^ Owen, William Mann, Jr. (1990), A Theory of the Earth's Precession Relative to the Invariable Plane of the Solar System (Ph.D. thesis) , University of Florida , pp. 20-45, Bibcode : 1990PhDT.........3O ^ Owen, William Mann, Jr. (1991), “Precession Theory Using the Invariable Plane of the Solar System”, IAU Colloquium127 : 323-326, Bibcode : 1991resy.coll..323O , doi :10.1017/S0252921100064113 ^ a b c Fitzpatrick, Richard (2016-03-31), Introduction to Celestial Mechanics University of Texas at Austin , http://farside.ph.utexas.edu/teaching/celestial/Celestialhtml/Celestialhtml.html
^ Muller, Richard A.; MacDonald, Gordon J. (1997-08), “Spectrum of 100-Kyr Glacial Cycle: Orbital Inclination, not Eccentricity”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 94 (16): 8329-8334, Bibcode : 1997PNAS...94.8329M , doi :10.1073/pnas.94.16.8329 ^ 21世紀初頭における数値
^ なるべく数値を有効数字3桁に揃える。
^ IAU, 0 January 2010, 0h TT, Astronomical Almanac 2010 , pp. B52, C3, D2, E3, E55
^ 回転の方向 を考慮した数値。^ 地球の公転 面（黄道 面）が基準
^ "en:Invariable_plane " - すべての惑星の軌道を加重平均した仮想面
^ 180°-177.36°=2.64°（正味）
^ a b c 逆向
^ 180°-97.8°=82.23°（正味）
^ 180°-119.59°=60.41°（正味）
^ CNN.co.jp 「冥王星、自転軸の傾きと揺らぎで地表の環境が激変 観測結果」 冥王星の自転軸の傾きは数百万年の間に約20度の幅で変動している。
^ “Planetary Satellite Mean Orbital Parameters ”. Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology. 2019年1月28日 閲覧。 ^ 衛星の公転軌道の傾斜は対「ラプラス面 （英語版 ）
^ 地球の赤道面に対しては18.29°から28.58°
^ 対月の公転面。対黄道面=1.54°、対地球の赤道面=24°
^
Lang, Kenneth R. (2011), The Cambridge Guide to the Solar System Archived 1 January 2016 at the Wayback Machine ., 2nd ed., Cambridge University Press.
^ 太陽には公転という意味での主星は存在しないが、銀河面 内で天の川銀河 の中心である銀河核 の周りを約2.2億年余り（銀河年 ）をかけて回っている。
^ 理科年表 平成22年版、国立天文台、丸善 「太陽、惑星および月定数表」 、対黄道面。
^ 銀河面 に対しては67.23°である（en:sun より）。^ 赤道面で。緯度75度で31.8。
![{\displaystyle m_{j}^{*}=m_{j}\cdot \left[1+{\frac {{\dot {\vec {r}}}_{j}^{2}}{2c^{2}}}-{\frac {1}{2c^{2}}}\left(\sum _{k\neq j}{\frac {Gm_{k}}{|{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{j}|}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61a08e02cf3a2ba7a0f081ab8f22ba33b0976b9)
