カントール分布の累積分布関数 カントール分布 （カントールぶんぷ、英 : Cantor distribution ）とは、累積分布関数 がカントール関数 である確率分布 のことである。
この分布はルベーグ測度 に関して絶対連続 ではなく、どのような点質量も持たないため、確率密度関数 も確率質量関数 も存在しない。したがってこの分布は離散確率分布 でも絶対連続確率分布 でもなく、それらを組み合わせたものでもない。この分布はむしろ特異分布 の一例である。
この分布の累積分布関数は、しばしば「悪魔の階段 」と呼ばれる。しかしこの用語はより一般的な意味を持つものである。
カントール分布の台 はカントール集合 、つまり（可算個の）集合
C
0
=
[
0
,
1
]
C
1
=
[
0
,
1
3
]
∪ ∪ -->
[
2
3
,
1
]
C
2
=
[
0
,
1
9
]
∪ ∪ -->
[
2
9
,
1
3
]
∪ ∪ -->
[
2
3
,
7
9
]
∪ ∪ -->
[
8
9
,
1
]
C
3
=
[
0
,
1
27
]
∪ ∪ -->
[
2
27
,
1
9
]
∪ ∪ -->
[
2
9
,
7
27
]
∪ ∪ -->
[
8
27
,
1
3
]
∪ ∪ -->
[
2
3
,
19
27
]
∪ ∪ -->
[
20
27
,
7
9
]
∪ ∪ -->
[
8
9
,
25
27
]
∪ ∪ -->
[
26
27
,
1
]
C
4
=
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}=&[0,1]\\C_{1}=&[0,{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},1]\\C_{2}=&[0,{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},1]\\C_{3}=&[0,{\tfrac {1}{27}}]\cup [{\tfrac {2}{27}},{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {7}{27}}]\cup [{\tfrac {8}{27}},{\tfrac {1}{3}}]\cup \\&[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {19}{27}}]\cup [{\tfrac {20}{27}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},{\tfrac {25}{27}}]\cup [{\tfrac {26}{27}},1]\\C_{4}=&\cdots \end{aligned}}}
の共通部分 である。
カントール分布は、任意の Ct (t ∈ {0, 1, 2, 3, …}Ct 内のある特定の区間が、その 2t 個の各区間の上で恒等的に 2−t であるような唯一つの確率分布である。
対称性により、この分布を持つ確率変数 X に対して、その期待値 は E(X ) = 1 / 2 X の奇中心モーメントは 0 であることが簡単に分かる。
分散 var(X ) を求める上で、全分散の法則 （英語版 ） C 1 X ∈ [0, 1 / 3 Y = 0X ∈ [2 / 3 Y = 1
var
-->
(
X
)
=
E
-->
(
var
-->
(
X
∣ ∣ -->
Y
)
)
+
var
-->
(
E
-->
(
X
∣ ∣ -->
Y
)
)
=
1
9
var
-->
(
X
)
+
var
-->
{
1
/
6
with probability
1
/
2
5
/
6
with probability
1
/
2
}
=
1
9
var
-->
(
X
)
+
1
9
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.\end{aligned}}}
が得られる。これより
var
-->
(
X
)
=
1
8
{\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}}
が得られる。任意の偶中心モーメント （英語版 ） キュムラント [1]
κ κ -->
2
n
=
2
2
n
− − -->
1
(
2
2
n
− − -->
1
)
B
2
n
n
(
3
2
n
− − -->
1
)
,
{\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!}
を得、続いてそのキュムラントの関数としてモーメントを表現することで得られる。ここで B 2n 2n 番目のベルヌーイ数 である。
離散単変量で 離散単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 混連続-離散単変量 多変量 (結合) 方向 退化 と特異 族 サンプリング法 （英語版 ）
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}=&[0,1]\\C_{1}=&[0,{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},1]\\C_{2}=&[0,{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},1]\\C_{3}=&[0,{\tfrac {1}{27}}]\cup [{\tfrac {2}{27}},{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {7}{27}}]\cup [{\tfrac {8}{27}},{\tfrac {1}{3}}]\cup \\&[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {19}{27}}]\cup [{\tfrac {20}{27}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},{\tfrac {25}{27}}]\cup [{\tfrac {26}{27}},1]\\C_{4}=&\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7366e8fa3aef1ff59ec46a6cedd18bb656aca52e)
