Teorema di Menelao

Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Enunciato

Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1.

^[1]

In questa equazione, $AF$ , $FB$ , ecc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione $AF/FB$ ha segno positivo solo quando la retta per $D$ , $E$ ed $F$ interseca il lato $AB$ .

Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:

AB=-BA

Dimostrazione

Teorema di Menelao, caso 1: la retta *DEF* non interseca il triangolo *ABC*.

Teorema di Menelao, caso 2: la retta *DEF* interseca il triangolo *ABC*.

Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta $DEF$ non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta $DEF$ interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).

Si costruiscano le perpendicolari da $A$ , $B$ e $C$ su $DEF$ , le chiamo rispettivamente $a$ , $b$ e $c$ . Ora per similitudine di triangoli, segue che:

\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|\ ,\ \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|\ ,\ \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|

Cioè:

\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1

Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.

Per l'altro verso dell'implicazione:

siano $D,\ E$ ed $F$ appartenenti rispettivamente alle rette $BC,\ AC$ e $AB$ , in modo che l'equazione valga. Sia $F'$ il punto in cui le rette $DE$ e $AB$ si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche $D,\ E$ ed $F'$ verificano l'equazione. Confrontandole:

{\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}

Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:

F=F'.

Note

^ (EN) Branko Grünbaum, G. C. Shepard, Ceva, Menelaus, and the Area Principle (PDF) ^{[collegamento interrotto]}, in Mathematical Magazine, vol. 68, Mathematical Association of America, ottobre 1995, 254-268. URL consultato il 2 agosto 2014.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema di Menelao

Collegamenti esterni

(EN) Menelaus’ theorem, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Menelao, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Branko Grünbaum, G. C. Shepard, Ceva, Menelaus, and the Area Principle (PDF) ^{[collegamento interrotto]}, in Mathematical Magazine, vol. 68, Mathematical Association of America, ottobre 1995, 254-268.
Giuseppe Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann, Fratelli Bocca Editori, 1888, pp. 44-48. http://mathematica.sns.it/opere/138/

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

Read other articles:

Julida

Julida Julus scandinavius Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Subfilum: Myriapoda Kelas: Diplopoda Superordo: Juliformia Ordo: JulidaBrandt, 1833 Famili Lihat teks Sinonim Zygocheta (Cook, 1895) Symphyognatha (Verhoeff, 1910) Julida adalah sebuah ordo dari kaki seribu. Anggota sebagian besar kecil dan silindris, biasanya berkisar antara 10–120 milimeter panjangnya.[1] Matanya mungkin ada atau tidak ada. Pada jantan dewasa dari sebagian besar spesiesnya, sepasang...

الأمانة العامة لوزارة الدفاع (مصر)

الأمانة العامة لوزارة الدفاع المصرية تفاصيل الوكالة الحكومية البلد مصر الاسم الكامل الأمانة العامة لوزارة الدفاع المصرية المركز القاهرة، مصر الإدارة المدير التنفيذي لواء أركان حرب / فهمي هيكل، أمين عام وزارة الدفاع المصرية وأمين سر المجلس الأعلى للقوات المسلحة ت�...

Jovan Sterija Popović

Cet article est une ébauche concernant un écrivain serbe. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Jovan Sterija Popović Jovan Sterija Popović (en serbe cyrillique : Јован Стерија Поповић ; né le 1 (calendrier julien) / 13 janvier 1806 (calendrier grégorien) à Vršac - mort 10 mars 1856 à Vršac) est l'un des dramaturges les plus célèbres des Balkans du XIXe si�...

Oxfam

Charitable humanitarian organization OxfamNamed afterOxford Committee for Famine ReliefFounded5 October 1942; 81 years ago (1942-10-05)Founded atOxford, England, United KingdomTypeInternational NGORegistration no.202918[1]FocusPoverty eradicationDisaster reliefAdvocacyPolicy research Migration advocacyHeadquartersNairobi, KenyaArea served WorldwideDirectorGabriela Bucher[2]Board of directorsJemilah Mahmood (Chair)[2]Websitewww.oxfam.org Oxfa...

Hoyu

Hoyu Co., Ltd. (ホーユー株式会社) adalah produsen farmasi besar berkantor pusat di Higashi-ku, Kota Nagoya, Prefektur Aichi. Produk utama mereka adalah produk pewarna rambut yang tergolong obat bebas. Nama perusahaan diambil dari nama pendahulunya, Hoyu Shokai (朋友商会). Merek unggulan mereka antara lain Bigen, Cielo, Beauteen, dan Beautylabo. Selain produk komersial, perusahaan ini juga memproduksi dan menjual peralatan asli. tautan luar Situs web resmi

Vitalina Bibliv

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Maret 2023. Vitalina BiblivLahir15 Oktober 1980 (umur 43) Vitalina Nikolaevna Bibliv (lahir 15 Oktober 1980, Vasilkov, wilayah Kyiv, SSR Ukraina) adalah seorang aktris teater, film, dan televisi Ukraina. Pemenang Penghargaan Nasional Yula Emas (2019), Artis Ter...

New Zealand Listener

New Zealand ListenerEditorKirsty CameronKategoriCurrent eventsFrekuensiWeeklySirkulasi45,262 (April 2017 – March 2018)DidirikanJuni 1939; 84 tahun lalu (1939-06)PerusahaanAre Media[1]NegaraNew ZealandBerpusat diAucklandSitus webThe Listener (archived)ISSN0110-5787 The New Zealand Listener adalah majalah mingguan Selandia Baru yang meliput kehidupan politik, budaya, dan sastra Selandia Baru dengan menampilkan berbagai topik, termasuk peristiwa terkini, politik, isu sosial, keseh...

Kant (geometri)

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2023-09) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. En kant är inom geometrin en endimensionell linje. I tredimensionell geometri möts två sidor i varje kant. I fyrdimensionell geometri möts tre eller fler celler i varje kant. Denna artikel om geometri saknar v�...

Roman economy

Economy of ancient Rome This article is about the ancient Roman Empire's economy. For the economy of the modern city of Rome, see Economy of Rome. Solidus depicting Constantine II, and on the reverse Victoria, one of the last deities to appear on Roman coins, gradually transforming into an angel under Christian rule[1] The study of the economies of the ancient city-state of Rome and its empire during the Republican and Imperial periods remains highly speculative. There are no survivin...

Державний комітет телебачення і радіомовлення України

Державний комітет телебачення і радіомовлення України (Держкомтелерадіо) Приміщення комітетуЗагальна інформаціяКраїна УкраїнаДата створення 2003Керівне відомство Кабінет Міністрів УкраїниРічний бюджет 1 964 898 500 ₴[1]Голова Олег НаливайкоПідвідомчі ор...

Martha Diamond

American artist and painter (1944–2023) Martha DiamondBorn(1944-05-01)May 1, 1944New York City, U.S.DiedDecember 30, 2023(2023-12-30) (aged 79)New York City, U.S.EducationCarleton College, Northfield, Minnesota – BA, 1964New York University – MA, 1969Known forPainting and printmakingWebsitemarthadiamondstudio.net Martha Bonnie Diamond (May 1, 1944 – December 30, 2023) was an American painter. Her paintings first gained public attention in the 1980s[1] and are include...

دوري جزر فارو الممتاز 1998

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) دوري جزر فارو الممتاز 1998 تفاصيل الموسم دوري جزر فارو الممتاز النسخة 57، و56 البلد جزر فارو الت...

中華民國國軍中的中共間諜列表

本表是動態列表，或許永遠不會完結。歡迎您參考可靠來源來查漏補缺。潛伏於中華民國國軍中的中共間諜列表收錄根據公開資料來源，曾潛伏於中華民國國軍、被中國共產黨聲稱或承認，或者遭中華民國政府調查審判，為中華人民共和國和中國人民解放軍進行間諜行為的人物。以下列表以現今可查知時間為準，正確的間諜活動或洩漏機密時間可能早於或晚於以下所歸�...

Stasiun Gimnasium Sichuan

Gimnasium Sichuan省体育馆LokasiDistrik Wuhou, Chengdu, SichuanTiongkokOperatorChengdu Metro LimitedJalur Jalur 1 Jalur 3Jumlah peron4 (2 peron pulau)SejarahDibuka27 September 2010Operasi layanan Stasiun sebelumnya Chengdu Metro Stasiun berikutnya Huaxibake arah Weijianian Jalur 1 Nijiaqiaoke arah Science City Moziqiaoke arah Chengdu Medical College Jalur 3 Yiguanmiaoke arah Shuangliu West Station Sunting kotak info • L • BBantu...

George Smoot

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: George Smoot – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR George Smoot George Fitzgerald Smoot III (lahir 20 Februari 1945) adalah fisikawan astrofisik (ahli astrofisika) dari Amerika Serikat dan ...

Nagarakretagama

Old Javanese eulogy This article is a part of the series onIndonesianmythology and folklore Cultural mythologies Adat Balinese mythology Batak mythology Malay folklore Ghosts in Malay culture Molucca Folklore Traditional folk religions Iban Kaharingan Kejawèn Marapu Parmalim Pemena Sunda Wiwitan Sapta Darma Deities Acintya Agni Antaboga Barong Batara Guru Batara Kala Batara Sambu Brahma Chen Fu Zhen Ren Dewi Danu Dewi Lanjar Dewi Ratih Dewi Sri Ganesa Garuda Hainuwele Hanoman Hudoq Hyang Nya...

Azrieli College of Engineering Jerusalem

College in Jerusalem Jerusalem College of Engineering redirects here. For the college in India, see Jerusalem College of Engineering, Chennai. Azrieli College of Engineering Jerusalemעזריאלי-מכללה אקדמית להנדסה ירושליםTypePublicTechnicalEstablishedDecember 25, 1996PresidentProfessor Tamar Raz NahumLocationJerusalem, IsraelCampusUrbanWebsitejce-en.mipo.co.il Azrieli College of Engineering Jerusalem (Hebrew: עזריאלי-המכללה להנדסה ירושלים)...

Сендега Олександр Степанович

Сендега Олександр СтепановичНародився19 грудня 1953(1953-12-19) (70 років)Полтва, Буський район, Львівська область, Українська РСР, СРСРAlma materЛНУ ім. І. ФранкаНагороди Орден «За заслуги» І ступеня Орден «За заслуги» ІІ ступеня Орден «За заслуги» ІІІ ступеня Лицарський Хрест орден�...

John Michael Higgins

John Michael HigginsHiggins tahun 2018Lahir12 Februari 1963 (umur 61)Boston, Massachusetts, Amerika SerikatPekerjaanAktor, komedian, pembawa acaraTahun aktif1985–sekarangSuami/istriMargaret Welsh (m. 2003)Anak2 John Michael Higgins (lahir 12 Februari 1963) adalah aktor dan komedian asal Amerika Serikat.[1] Ia dikenal karena perannya sebagai David Letterman dalam mokumenter HBO, The Late Shift, dan peran utama dalam seri versi Amerika Serikat...

リッツ (クラッカー)

リッツクラッカーリッツ（Ritz）は、アメリカのクラッカーのブランド名のひとつであり、1934年からナビスコが製造している。アメリカ合衆国外では、親会社のモンデリーズ・インターナショナルが製造している[1]。丸い形で、片面に軽く塩味がついており、縁はギザギザになっている。一度に食べると考えられる約5枚あたり、熱量79キロカロリー、タンパク質1g...

/profillengkap.com/index.php/article/James Davies

Badil & Blangkon Ajaib

Förderndes Mitglied der SS

2006–07 Ashes series

Bandar Udara Chicago

Vanessa Ware

New Braintree, Massachusetts

Irradiation

Gene Ruggiero

Lightning (karakter Tom and Jerry)

2002 Nagoya Grampus Eight season

Bank of Pennsylvania