La successione di Lucas prende il nome dal matematico francese Édouard Lucas (1842 – 1891) che la ideò e ne studiò le proprietà.
In matematica, la successione di Lucas, indicata con L n {\displaystyle L_{n}} è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione, L 0 = 2 {\displaystyle L_{0}=2} e L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} . Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola:
Gli elementi L n {\displaystyle L_{n}} sono anche detti numeri di Lucas.
Pertanto i primi quindici termini della successione di Lucas sono: { 2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 , 47 , 76 , 123 , 199 , 322 , 521 , 843 … … --> } . {\displaystyle \{2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521,843\dots \}.}
La successione di Lucas ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci, dove ogni termine è la somma dei due termini precedenti, ma con valori iniziali diversi. Questo produce una successione in cui i rapporti dei termini successivi si avvicinano al rapporto aureo, e in effetti i termini stessi sono un arrotondamento di potenze intere del rapporto aureo.[1] La successione ha anche una varietà di relazioni con i numeri di Fibonacci, come il fatto che la somma di due numeri a due posizioni di distanza nella successione di Fibonacci dia per risultato il numero di Lucas in mezzo.[2]
Il rapporto L n L n − − --> 1 {\displaystyle {\frac {L_{n}}{L_{n-1}}}} , per n {\displaystyle n} tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale ϕ ϕ --> {\displaystyle \phi } chiamato sezione aurea o numero di Fidia. In termini matematici:
dove
Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Lucas siano o meno infiniti, ma si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Lucas.
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