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La stella ottangola è il più semplice poliedro composto regolare, ed è l'unione di due tetraedri in posizione duale.

In geometria solida si chiama poliedro composto o composto poliedrico una figura geometrica formata da due o più poliedri che condividono un baricentro comune.

Ad ogni composto poliedrico sono associate due particolari caratteristiche che individuano due nuovi poliedri ad esso correlati:

– la chiusura convessa di un composto è il più piccolo poliedro convesso che lo contiene;

– l'intersezione o nucleo di un composto è la porzione di spazio comune a tutti i suoi componenti.

Si deduce facilmente che il nucleo di un composto poliedrico è esso stesso un poliedro ed in particolare che è un poliedro convesso se tutti i componenti sono convessi.

La chiusura convessa è detta anche, in maniera del tutto equivalente, inviluppo convesso oppure involucro convesso.

Un esempio di composto poliedrico è la stella ottangola mostrata in figura: essa è un composto di due tetraedri regolari ed ha come chiusura convessa un cubo e come nucleo un ottaedro.

Composti regolari

Un composto poliedrico si dice regolare se soddisfa le normali condizioni di regolarità che valgono anche per i poliedri semplici (non composti) ossia deve essere omogeneo nei vertici, negli spigoli e nelle facce: cioè per ogni coppia di vertici (o di spigoli o di facce) esiste una simmetria del poliedro che trasforma uno dei due elementi nel secondo.

Risulta evidente perciò che affinché un composto sia regolare è necessario – ma non sufficiente – che tutti i suoi componenti siano regolari ed eguali tra loro. Più nello specifico i componenti saranno esclusivamente tetraedri, ottaedri o cubi.

Esistono in tutto 5 poliedri composti regolari (ovvero 6 se si considerano le due forme chirali di uno come due poliedri distinti). Sono elencati di seguito:

componenti	elementi notevoli	inviluppo convesso	intersezione	simmetrie	duale
2 tetraedri	V = 8 S = 12 F = 8	cubo	ottaedro	48 gruppo O_h	sé stesso
5 cubi	V = 20 S = 60 F = 30	dodecaedro	triacontaedro rombico	120 gruppo I_h	5 ottaedri
5 ottaedri	V = 30 S = 60 F = 40	icosidodecaedro	icosaedro	120 gruppo I_h	5 cubi
5 tetraedri (chirale)	V = 20 S = 30 F = 20	dodecaedro	icosaedro	60 gruppo I	5 tetraedri speculari
10 tetraedri	V = 20 S = 60 F = 40	dodecaedro	icosaedro	120 gruppo I_h	sé stesso

I gruppi $O_{h}$ e $I_{h}$ sono rispettivamente il gruppo di simmetria dell'ottaedro e dell'icosaedro. Il gruppo $I$ è il sottogruppo in $I_{h}$ dato dalle simmetrie che preservano l'orientazione.

Il poliedro duale del composto di cinque tetraedri è l'immagine riflessa di sé stesso; l'unione dei due forma il composto di dieci tetraedri.

Composti uniformi

Una caratteristica meno restrittiva rispetto alla regolarità è quella di uniformità, che include tutti i composti con vertici omogenei, le cui facce siano poligoni regolari. Ciò implica che i componenti debbano essere essi stessi uniformi e congruenti tra loro.

Una classificazione completa di tutti i possibili composti uniformi fu fornita da John Skilling nel 1976. L'elenco enumera 75 elementi, indicati con la sigla UC (uniform compound) seguita da un indice numerico. Vi sono inclusi i 5 composti regolari, 20 composti non banali di prismi ed antiprismi, 2 classi infinite di prismi e 4 classi infinite di antiprismi. Alcuni dei composti uniformi hanno un grado di libertà rotazionale, cioè l'inclinazione dei componenti è variabile, pur mantenendo inalterate le simmetrie del composto.

Esempi di composti poliedrici uniformi
12 tetraedri UC₀₂ (rotazione libera)
3 cubi UC₀₈
4 ottaedri UC₁₂
20 ottaedri UC₁₃ (rotazione libera)
10 ottaedri UC₁₅ (primo tipo)
10 ottaedri UC₁₆ (secondo tipo)
2n antiprismi di basi {p/q} con q dispari UC₂₂
4 prismi triangolari UC₃₀ (chirale)
6 prismi stellati pentagonali UC₃₆ (chirale)
4 prismi esagonali UC₃₈
6 prismi decagonali UC₄₀
3 antiprismi quadrati UC₄₂
2 icosaedri UC₄₆
5 icosaedri UC₄₇
5 piccoli dodecaedri stellati UC₅₁
5 tetraedri troncati UC₅₅ (chirale)
5 cubottaedri UC₅₉
2 cubi simi (speculari) UC₆₈

Il composto di 20 ottaedri con libertà rotazionale (UC₁₃) presenta 4 casi particolari, classificati con codici distinti: il composto regolare di 5 ottaedri (UC₁₇), due differenti composti di 10 ottaedri (UC₁₅ e UC₁₆) ed un composto di 20 ottaedri "fisso" con vertici a due a due coincidenti (UC₁₄).

I poliedri uniformi chirali (simi, camusi, retrocamusi e camusi invertiti) formano naturalmente un composto poliedrico uniforme se sovrapposti alla propria immagine riflessa. Rientra in questa categoria – pur non essendo chirale – anche l'icosaedro, considerato come un "tetraedro simo".

Non vi è alcun caso di composto poliedrico uniforme costituito da dodecaedri platonici, né da grandi dodecaedri stellati.

Bibliografia

H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.

Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.

Skilling John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, DOI:10.1017/S0305004100052440.