Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

con ${\displaystyle n}$ intero non negativo.

Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:

${\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=3}$

${\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=5}$

${\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=17}$

${\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=257}$

${\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=65\,537}$

Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F₅:

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\cdot 6\,700\,417.}$

Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di F_n è della forma ${\displaystyle K2^{n+1}+1}$, risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo ${\displaystyle L2^{n+2}+1}$, per gli ${\displaystyle F_{n}}$ con ${\displaystyle n>1}$, dove ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle L}$ sono interi positivi.

Nel caso di ${\displaystyle F_{5}}$, per ${\displaystyle L=1,2,3,4,5}$ troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide ${\displaystyle F_{5}}$.

Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.

A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:

• ${\displaystyle F_{6}=274177\cdot 67280421310721}$ (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
• ${\displaystyle F_{7}=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721}$ (Morrison e Brillhart, 1970)
• ${\displaystyle F_{8}=1238926361552897\cdot P62}$ (Brent e Pollard, 1980)
• ${\displaystyle F_{9}=2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot P99}$ (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
• ${\displaystyle F_{10}=45592577\cdot 6487031809\cdot 4659775785220018543264560743076778192897\cdot P252}$ (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
• ${\displaystyle F_{11}=319489\cdot 974849\cdot 167988556341760475137\cdot 3560841906445833920513\cdot P564}$ (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)

dove ${\displaystyle Px}$ indica un fattore primo di ${\displaystyle x}$ cifre.^[1]

Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che ${\displaystyle F_{n}}$ è primo se e solo se ${\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}$

I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con ${\displaystyle n}$ lati se e solo se ${\displaystyle n}$ è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di ${\displaystyle F_{3329780}}$. Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è

${\displaystyle 193\cdot {2^{3329782}}+1.}$

Al momento della dimostrazione, ${\displaystyle F_{3329780}}$ diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.^[2]

Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di ${\displaystyle F_{19}}$:

${\displaystyle 8962167624028624126082526703\cdot {2^{22}+1}}$ divide ${\displaystyle F_{19}}$.^[1]

Il 13 febbraio 2015 PrimeGrid ha annunciato di aver scoperto un divisore primo di ${\displaystyle F_{2662088}}$:

${\displaystyle 267\cdot {2^{2662090}}+1.}$^[3]

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

• I numeri di Fermat soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza valide per n≥2, che possono essere provate tramite induzione:

${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}}$

${\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2.}$

Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se ${\displaystyle F_{i}}$ e ${\displaystyle F_{j}}$ (con ${\displaystyle i<j}$) avessero un fattore comune ${\displaystyle a>1}$, questo dividerebbe sia

${\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}}$

che

${\displaystyle F_{j}=F_{0}\cdots F_{j-1}+2}$

e quindi ${\displaystyle a}$ dividerebbe 2, ossia ${\displaystyle a=2}$, il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.

Da questo si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.

• Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di ${\displaystyle F_{1}=5=2+3}$; questo può essere dimostrato osservando che, essendo ${\displaystyle F_{n}}$ sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero ${\displaystyle F_{n}-2=2^{2^{n}}-1}$, che però è sempre divisibile per 3^[4].
• Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze ${\displaystyle p}$-esime, dove ${\displaystyle p}$ è un primo dispari.
• La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)

4.^ Per la 4° relazione di ricorrenza riportata sopra, ${\displaystyle F_{n}-2}$ è sempre divisibile non soltanto per 3 ma per ${\displaystyle F_{n-1}!}$ e quindi per ogni ${\displaystyle F_{x}}$ con ${\displaystyle x<n}$.

• Fermat Search - Progetto di ricerca dei divisori dei Numeri di Fermat per trovare un numero primo più grande.
• Numero primo di Mersenne
• Costruzione di poligoni regolari
• The Prime Pages

• La pagina di John Cosgrave, su spd.dcu.ie. URL consultato il 3 ottobre 2005 (archiviato dall'url originale il 2 dicembre 2005).

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