Left loop

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Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.

Definizione

Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto $L$ dotato di un'operazione binaria

(\cdot ):L\times L\longrightarrow L

tale che:

esiste un elemento $1_{L}$ , detto neutro, tale che $1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}$ per ogni $a\in L$ ;
l'equazione $a\cdot x=b$ ha un'unica soluzione $x\in L$ .

Costruzione di left-loop

Sezione di un gruppo

Definizione

Siano $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo. Una sezione di $G$ relativamente ad $H$ è un'applicazione

\sigma :G/H\longrightarrow G,

dove $G/H$ è la famiglia delle classi laterali sinistre di $G$ modulo $H$ , tale che:

$\sigma (G/H)$ è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
$\sigma (H)=1_{G}$ .

Inoltre l'immagine $L:=\sigma (G/H)$ della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di $G/H$ . Va osservato che la 1. è quivalente alla condizione

\pi \circ \sigma (gH)=gH,\quad \forall g\in G,

dove $\pi :G\to G/H$ è la proiezione canonica del gruppo $G$ sul quoziente $G/H$ .

Teorema 1

Siano $G$ un gruppo, $H$ un sottogruppo di $G$ e $\sigma$ una sezione di $G/H$ , allora $L:=\sigma (G/H)$ è un left loop rispetto l'operazione

a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).

Dimostrazione

L'identità $1_{G}$ sta in $L$ poiché esso è un trasversale di $G/H$ , dunque basta far vedere che l'equazione sinistra

a\cdot x=b,\quad (1)

ha un'unica soluzione in $L.$

L'elemento $\sigma (a^{-1}bH)$ è una soluzione di (1), poiché

a\cdot \sigma (a^{-1}bH)=\sigma (a\sigma (a^{-1}bH)H)=\sigma (aa^{-1}bH)=\sigma (bH)=b.

Supponiamo che

a\cdot x=a\cdot y,

per qualche $x,y\in L$ , allora

a\cdot x=a\cdot y\Leftrightarrow \sigma (a\cdot xH)=\sigma (a\cdot yH)\Rightarrow \sigma (a\cdot xH)H=\sigma (a\cdot yH)H\Rightarrow

\Rightarrow axH=ayH\Rightarrow xH=yH\Rightarrow x=y.

Teorema 2

Siano $G$ un gruppo, $H$ un sottogruppo ed $\sigma :G/H\to G$ una sezione con $\sigma (H)=1_{G}$ . Il left-loop definito su $L=\sigma (G/H)$ rispetto l'operazione

a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).

è un loop se e solo se $L$ è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo $G/H^{g}$ , $g\in G$ .

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