Bjarni er þróunarvistfræðingur og fiskifræðingur að mennt og var forstöðumaður Náttúrustofu Norðurlands vestra áður en hann var kjörinn á þing.[1] Hann er sonur Jóns Bjarnasonar sem var einnig þingmaður Vinstri grænna frá 1999 til 2013 og ráðherra 2009 til 2013.
Bjarni sagði sig úr VG í október2024 og tíu dögum seinna gekk hann til liðs við hinn nýstofnaða flokk, Græningja. Með því varð hann að fyrsta og eina þingmanni flokksins. Græningjar ætluðu að bjóða fram í þremur kjördæmum í alþingiskosningunum 2024 en þann 30. október var ákveðið að hætta við framboð flokksins vegna skort á meðmælum. Því hætti Bjarni á þingi í lok árs 2024.[2]
