A „Tér” lehetséges további jelentéseiről lásd: Tér (egyértelműsítő lap).

A vektortér, más néven lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb fogalma, amelyhez a geometriában (is) használt vektor fogalmának általánosítása vezet. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja, ezáltal egy algebrai struktúra-típus keletkezik. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre. Jelentősége nem csupán elméleti, a fizikában, informatikában, a komputergrafikában, számos más elméleti és alkalmazott tudományágban; nemkülönben a matematika számos területén fontos szerepet játszik.

Legyen F egy test. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk az F test felett, ha

• V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, V × V → V függvény, ∀ u, v ∈ V elempárhoz hozzárendel egy és csak egy V-beli elemet (u+v), valamint
• F és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, F × V → V függvény, ∀ λ ∈ F és v ∈ V elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy V-beli elemet (λv),

úgy, hogy az alábbi azonosságok, úgynevezett vektortér-axiómák teljesülnek:

1. V az összeadásra nézve kommutatív csoportot, Abel-csoportot alkot, azaz az összeadás:
   • asszociatív: ∀ u, v, w ∈ V: u + (v + w) = (u + v) + w.
   • kommutatív: ∀ u, v ∈ V: u + v = v + u.
   • létezik neutrális elem: 0 ∈ V, V nullvektora: v + 0 = v, ∀ v ∈ V.
   • invertálható: ∀ v ∈ V: ∃ olyan -v ∈ V additív inverz: v + (-v) = 0.
2. Skalárral való szorzás disztributivitási szabályai:
   • ∀ λ ∈ F és u, v ∈ V: λ(u + v) = λu + λv. (disztributivitási szabály)
   • ∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: (λ + μ)v = λv + μv.(disztributivitási szabály)
   • ∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: λ(μv) = (λμ)v. (asszociativitási szabály)
   • ∀ v ∈ V: 1v = v, ahol 1 az F test egységeleme.

Formálisan tehát úgy definiálhatjuk a vektortereket, figyelembe véve, hogy ${\displaystyle \mathbf {F} =\langle F,+,-,0,\cdot ,1\rangle }$ egy test,
az F feletti vektortér egy algebrai struktúra, a következő formában

${\displaystyle \mathbf {V} =\langle V,\oplus ,-\!\!-,\mathbf {0} ,F,+,-,0,\cdot ,1,\star \rangle }$

úgy, hogy

${\displaystyle \langle V,\oplus ,-\!\!-,\mathbf {0} \rangle }$ Abel-csoport,

${\displaystyle \star :F\times V\mapsto V}$ skalárral való szorzás, melyre teljesülnek a fent említett disztributivitási szabályok.

Ekkor a V vektortér struktúráját a következőképpen is jelölhetjük

${\displaystyle \langle V,\oplus ,-\!\!-,\mathbf {0} ,\mathbf {F} ,\star \rangle }$

V elemeit vektoroknak, F elemeit skalároknak nevezzük.
Megkülönböztetünk úgynevezett speciális vektortereket is, amelyeken még egyfajta szorzás is értelmezett.
Ilyenek például a skaláris szorzattal ellátott euklideszi terek.

• nullvektor és az additív inverz unicitása,
• bármely u,v,w,t ∈ V: az u+x = v, és y+w = t egyenletek egyértelműen megoldhatók V-ben x és y-ra,
• összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt többtagú összegek esetén a zárójelezés és a tagok sorrendje is tetszőlegesen megváltoztatható.

• bármely λ ∈ F: λ0 = 0,
• bármely v ∈ V: 0v = 0, ahol 0 az F test nulleleme,
• bármely v ∈ V: (-1)v = -v, ahol -1 az F test egységelemének additív inverze,
• ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.
• (-λ)v = -(λv) = λ(-v)

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például a funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsünk.

• a közönséges síkbeli és térbeli, origóból kiinduló vektorok a valós test felett a szokásos vektorösszeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
• a valós szám n-esek ${\displaystyle \mathbb {R} }$ felett, a komplex szám n-esek ${\displaystyle \mathbb {C} }$ felett, és
• általában F ⁿ, F felett (F tetszőleges test), a szokásos módon értelmezett, komponensenként végzett műveletekre; ezeket a vektorokat általában oszlopvektorként ábrázolják,
• F ^{n × k}, F felett, azaz az n×k-as mátrixok F test felett, a mátrixok szokásos, komponensenkénti összeadására és skalárral való szorzására nézve.
• F [x], azaz az F feletti polinomok, F felett, a polinomok összeadására és skalárral való szorzására nézve,
• a legfeljebb n-edfokú polinomok F felett,
• valós számsorozatok a valós test felett a szokásos műveletekre,
• az ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ intervallumon folytonos ${\displaystyle \mathbb {R} }$-be képező függvények a valós test felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, és skalárral való szorzásra nézve,
• az ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ intervallumon Riemann-integrálható ${\displaystyle \mathbb {R} }$-be képező függvények a valós számok teste felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, valamint a skalárral való szorzásra nézve,
• a komplex számok a valós test felett, a komplex számok körében értelmezett műveletekre,
• a komplex számok a komplex számok teste felett,
• a valós számok a valós számok teste felett,
• a komplex számok a valós számok felett,
• a valós számok a racionális számok felett,
• általában, testbővítés esetén a bővebb test a szűkebb felett,
• a valószínűségi változók a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
• az euklideszi sík, illetve tér eltolásai, hiszen az eltolások egymás utáni végzése megfelel a vektorok összeadásának, és a skalárszoros eltolás megfelel az eltolásvektor skalárszorosának. A nullelem az identitás, aminek megfelelője a nullvektor.

Bővebben: Lineáris altér

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W ⊆ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V. Mivel W vektortér, azért tartalmazza a nullvektort.

Minden vektortér tartalmazza önmagát és a csak nullvektorból álló vektorteret. Minden altér előáll a másik vektortér képeként úgy, hogy egy lineáris leképezés leképez egy másik vektorteret a tartalmazó vektortérbe; és magtérként is úgy, hogy egy lineáris leképezés leképezi a tartalmazó vektorteret egy másik vektortérbe. Ekvivalenciaosztályok képzésével egy vektortérből és alteréből hányadostér, más néven vektortér állítható elő; ami összefügg az altérnek azzal a tulajdonságával, hogy előáll képként, lásd homomorfizmustétel.

A lineáris leképezések egy vektorteret egy másikba képeznek a struktúra megtartásával. Az univerzális algebra szerint homomorfizmusok a vektorterek között. Egy ugyanazon ${\displaystyle K}$ test fölött definiált ${\displaystyle U}$ vektorteret ${\displaystyle V}$ vektortérbe vivő ${\displaystyle f\colon U\to V}$ függvény lineáris leképezés, ha minden ${\displaystyle a,b\in U}$ és minden ${\displaystyle \lambda \in K}$ esetén:

• ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
• ${\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

Ekkor ${\displaystyle f}$ kompatibilis a struktúrákkal, amelyek a vektorteret felépítik: az összeadással és a skalárral szorzással. Két vektortér izomorf, ha van köztük bijektív lineáris leképezés, vagyis van inverz függvény. Ez az inverz függvény automatikusan lineáris. Az izomorf vektorterek nem különböznek egymástól struktúrájukban.

Bővebben: Lineáris kombináció

V vektortér v₁, v₂, …, v_k tetszőleges vektorai és λ₁, λ₂, …, λ_k ∈ F skalárok.
Ekkor a ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}}$ ∈ V vektort a v_i vektorok, λ_i skalárokkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük.

Bővebben: Lineáris függetlenség

Egy V vektortér véges sok vektoráról akkor mondjuk, hogy lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik skalár szükségképpen 0. Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független. A v₁,…,v_n ∈ V vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

${\displaystyle \exists \ \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbf {F} }$

nem mind nulla skalár, azaz közülük legalább egy nem nulla, hogy

${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Néhány vektor lineáris burka az a vektorhalmaz, ami előáll a vektorok lineáris kombinációjaként. Ez egy altér, és a legkisebb vektortér, ami a vektorokat tartalmazza.

Bővebben: Vektortér bázisa

A bázis a lineáris algebrában egy olyan vektorhalmazt jelent, mely vektorainak lineáris kombinációi reprezentálják egy megadott vektortér valamennyi vektorát, valamint e vektorhalmaz semelyik eleme sem fejezhető ki a többi elem lineáris kombinációjával.
Tehát bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.

Feltéve a kiválasztási axiómát, a Zorn-lemma biztosítja, hogy minden vektortérnek van bázisa. A Zermelo-Frankel axiómarendszerben ez az állítás ekvivalens a kiválasztási axiómával.

Ha egy vektort kifejezzük egy generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor a lineáris kombinációban szereplő skalárok a vektor koordinátái az adott bázisban. Egy generátorrendszerben a vektortér minden vektora kifejezhető koordinátákkal; azonban, ha a generátorrendszer nem lineárisan független, akkor ez nem egyértelmű; viszont egy bázisban a koordináták már egyértelműek. Ez megkönnyíti a számításokat, mivel a vektorok helyett koordinátavektorok használhatók.

Bővebben: Dimenzió (lineáris algebra)

Ha adott egy V vektortér, akkor minden bázisának elemszáma, számossága ugyanaz. Ez a számosság a V vektortér dimenziója. Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor dimenziója végtelen. A 0 tér dimenziója: 0.

Két, azonos test fölötti vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. Ez lehetővé teszi, hogy a vektorterek bázisainak elemei megfeleljenek egymásnak, ami kiterjeszthető lineáris leképezéssé; így a véges vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixszal ábrázolhatók.

Két vektortér, V₁ és V₂ izomorf egymással, ha létezik egy kölcsönösen egyértelmű, injektív lineáris (homogén) leképezés V₁-ből V₂-re.

Azaz

${\displaystyle V_{1}\cong V_{2}\ \Leftrightarrow \ \varphi :V_{1}\rightarrow V_{2}\ }$ lineáris leképezés bijektív.

A vektorterek halmazán az izomorfia meghatároz egy osztályozást. Ez az osztályozás a halmazt diszjunkt részhalmazok uniójára bontja fel. Két vektortér akkor és csak akkor kerül ugyanabba az osztályba, ha izomorf.
E reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, vagyis az izomorfia ekvivalenciareláció.

Ha ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow W}$ tetszőleges lineáris leképezés, akkor a magtér és a képtér

${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi =\{\,\mathbf {v} \in V\,|\,\varphi (\mathbf {v} )=0\,\}}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \,\varphi =\{\mathbf {w} \in W\,|\,\exists \ \mathbf {v} \in V:\ \varphi (\mathbf {v} )=\mathbf {w} \}}$

Megjegyzés: a magtér a V, a képtér a W vektortér altere.

Véges dimenziós vektorterek tulajdonságai

• Egy ${\displaystyle \varphi :V\rightarrow W}$ lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha

${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi =\mathbf {0} \ \wedge \ \mathrm {Im} \,\varphi =W}$

• Ha V vektortér F felett, valamint

${\displaystyle \mathrm {dim} \,V=n,\ n\in \mathbb {N} ^{+}\Rightarrow V\cong \mathbf {F} ^{n}}$

• Ugyanazon F test feletti véges dimenziós vektorterekre fennáll:

${\displaystyle V\cong W\Leftrightarrow \mathrm {dim} \,V=\mathrm {dim} \,W}$

Bővebben: Dimenziótétel

A dimenziótétel azt állítja, hogy tetszőleges lineáris leképezés képterében illetve magterében lévő bármely lineáris független generátorrendszer összelemszáma a kiindulási vektortér dimenziójával egyenlő. Formálisan

V₁ és V₂, két tetszőleges, véges dimenziós vektortér ugyanazon F test felett, továbbá ${\displaystyle \varphi \ }$ tetszőleges lineáris leképezés V₁-ből V₂-be. Ekkor

${\displaystyle \mathrm {dim\,Ker} \,\varphi +\mathrm {dim\,Im} \,\varphi =\mathrm {dim} \,V_{1}}$

Bővebben: Homomorfizmus

Az algebrában egy struktúra egy másikra vett leképezése homomorfizmus, ha megtartja az adott struktúrán végezhető műveleteket. Például vektortér esetén ez azt jelenti, hogy a leképezés megőrzi az összeadást és a skalárral szorzást. Legyenek ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$ vektorterek az ${\displaystyle F}$ test fölött; ekkor ${\displaystyle f\colon U\to V}$ homomorfizmus, ha minden ${\displaystyle a,b\in U}$ és minden ${\displaystyle \lambda \in F}$ esetén:

• ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
• ${\displaystyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

ami éppen a lineáris leképezés definíciója.

V egy tetszőleges vektortér F felett, és U egy tetszőleges altere V-nek. A

${\displaystyle [\mathbf {v} ]=\mathbf {v} +U=\{\mathbf {v} +\mathbf {u} \,|\,\mathbf {u} \in \,U\}}$

halmazok, ahol v befutja az egész vektorteret, diszjunkt részhalmazok uniójára bontják V-t, ugyanis ha
${\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\notin U}$ akkor ${\displaystyle [\mathbf {v} _{1}]}$ és ${\displaystyle [\mathbf {v} _{2}]}$ diszjunkt, ha ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in U}$ akkor ${\displaystyle [\mathbf {v} _{1}]=[\mathbf {v} _{2}].}$
Definiálunk két műveletet e halmazok körében

${\displaystyle [\mathbf {v} _{1}]+[\mathbf {v} _{2}]=[\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}]}$

${\displaystyle \alpha [\mathbf {v} _{1}]=[\alpha \mathbf {v} _{1}],\ \alpha \in \mathbf {F} }$

Az ily módon definiált műveletek egyértelműek, mivel

${\displaystyle [\mathbf {v} ]=[\mathbf {v} ']\ \Leftrightarrow \ \mathbf {v} -\mathbf {v} '=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-(\mathbf {v} '+\mathbf {w} )\in U\ \Leftrightarrow \ [\mathbf {v} +\mathbf {w} ]=[\mathbf {v} '+\mathbf {w} ],}$

${\displaystyle \alpha [\mathbf {v} ]=\alpha [\mathbf {v} ']\ \Leftrightarrow \ \alpha (\mathbf {v} -\mathbf {v} ')=\alpha \mathbf {v} -\alpha \mathbf {v} '\in U\ \Leftrightarrow \ [\alpha \mathbf {v} ]=[\alpha \mathbf {v} ']}$

Így egy vektorteret kaptunk, melyet a V vektortér U altere szerinti faktorterének nevezünk, vagy röviden a ${\displaystyle V/U\ }$ faktortér, szokás ${\displaystyle V\ }$ hányadosterének is nevezni.
A faktortér elemei a ${\displaystyle \ [\mathbf {v} ],\,\mathbf {v} \in V}$ vektorhalmazok, az additív egységelem a ${\displaystyle \ [\mathbf {0} ]=U.}$

Ha ${\displaystyle V,W}$ vektorterek ugyanazon test fölött, akkor direkt összegük az a vektortér, melynek elemei úgy képződnek, hogy az első komponens az első, a második komponens a második vektortér eleme:

${\displaystyle V\oplus W:=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}$

A vektorokat komponensenként adjuk össze és a skalárral szorzást is komponensenként végezzük. A ${\displaystyle V\oplus W}$ vektortér dimenziója a tagok dimenziójának összege. Az összeg elemeit ${\displaystyle (v,w)}$ helyett írják úgy is, mint ${\displaystyle v+w}$. A direkt összeg általánosítható véges és végtelen tagra is; utóbbi esetén csak véges sok tag különbözhet a nullvektortértől.

Ha ${\displaystyle V,W}$ vektorterek ugyanazon test fölött, akkor direkt szorzatuk az a vektortér, melynek elemei úgy képződnek, hogy az első komponens az első, a második komponens a második vektortér eleme:

${\displaystyle V\times W=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}}$.

A vektorokat komponensenként adjuk össze és a skalárral szorzást is komponensenként végezzük. A ${\displaystyle V\times W}$ vektortér dimenziója a tagok dimenziójának összege. A direkt összeg általánosítható véges és végtelen tényezőre is; utóbbi esetben akár végtelen sok tényező is különbözhet a nullvektortértől.

Ha ${\displaystyle V,W}$ vektorterek ugyanazon test fölött, akkor tenzorszorzatukat

${\displaystyle V\otimes W}$

jelöli. A tenzorszorzat elemeinek bilineáris ábrázolása:

${\displaystyle \sum _{i\in I}\sum _{j\in J}a_{ij}(v_{i}\otimes w_{j})}$,

ahol az ${\displaystyle a_{ij}}$ elemek skalárok, ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$ bázis ${\displaystyle V}$-ben és ${\displaystyle (w_{j})_{j\in J}}$ bázis ${\displaystyle W}$-ben. Ha ${\displaystyle V}$ vagy ${\displaystyle W}$ végtelen dimenziós, akkor csak véges sok tag különbözhet nullától. Ekkor ${\displaystyle V\otimes W}$ dimenziója ${\displaystyle V}$ és ${\displaystyle W}$ dimenziójának szorzata. A tenzorszorzás is általánosítható több vektortérre.

A matematika több alkalmazásában, például a geometriában és az analízisben van, hogy nem elegendő a vektortér struktúra, hanem még további struktúrát is feltételezni kell; így biztosítva például normát vagy határérték létezését. Például:

• euklidészi vektorterek: skalárszorzattal ellátott valós vektortér. A prehilbertterek speciális esete.
• normált tér: egy olyan vektortér, amiben a vektoroknak hossza (normája) van. Ez egy nemnegatív szám, amire teljesül a háromszög-egyenlőtlenség.
• prehilberttér: skalárszorzattal ellátott valós vagy komplex vektortér. Egy ilyen térben a vektorok hossza mellett még a vektorok szöge is definiálható. A topologikus vektortér speciális esete.
• topologikus vektortér: topologikus tér fölötti vektortér, ahol a vektorok összeadása és a skalárral szorzás folytonos műveletek.
• unitér vektortér: többnyire komplex vektortér skalárszorzattal ellátva. A prehilberttér speciális esete.

Topologikus vektorterekben kezelhető a konvergencia, a teljesség és az egyenletes konvergencia. A teljes normált terek Banach-terek, a teljes prehilbertterek Hilbert-terek.

• Ha a teret test helyett gyűrű felett definiáljuk, akkor modulust kapunk. Egyes szerzők csak kommutatív gyűrűk fölött definiálnak modulusokat. A kommutatív gyűrűk fölötti modulusok az Abel-csoport és a vektortér közös általánosításai.
• Egyes szerzők a ferdetestek fölötti modulusokat is vektortérnek nevezik. Kommutativitás hiányában beszélhetünk bal- és jobbvektorterekről. Ez a helyzet összehasonlítható nem kommutatív gyűrűk fölötti modulusokkal. A cikkben megadott definíció ekkor a balvektorterekhez vezet, mivel a skalár a bal oldalon áll. A jobbvektorterek ennek tükörképi párjai, a skalár jobb oldalon jelenik meg. Több alapvető eredmény átvihető ferdetestek fölé, például bázis létezése.
• Ha test helyett féltestet veszünk, akkor félvektorteret kapunk.
• Egy másik általánosítás a vektornyaláb, ami vektorterek egy topologikus tér pontjaival paraméterezett családja.

Bartel Leendert van der Waerden megjegyzi, hogy tudomása szerint az n-dimenziós vektortér fogalmát először Hermann Günther Graßmann használta 1844-ben megjelent Die lineale Ausdehnungslehre című könyvében. Implicit már korábban is használták a fogalmat.

• Algebra
• Duális tér
• Lineáris algebra
• Lineáris leképezés
• Tenzor
• Tenzorszámítás
• Vektor

• Bronstejn – Szemengyajev – Musiol: Matematikai kézikönyv' (TypoTeX, 2002)
• Dancs I. – Puskás Cs.: Vektorterek (Aula Kiadó, 2003)
• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Tankönyvkiadó, 1978)
• Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Bolyai-könyvek sorozat (Műszaki Könyvkiadó, 1998)
• Surányi László: Algebra, testek, gyűrűk, polinomok (TypoTeX, 2004)
• Szász Gábor: Matematika II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
• Szendrei János: Algebra és számelmélet (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1996)

• Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös Kiadó, 2004)
• Fried Ervin: Algebra I., Elemi és lineáris algebra (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
• Kuros, A. G.: Felsőbb algebra (Tankönyvkiadó, Bp., 1975)
• Praszolov, V. V.: Lineáris algebra (TypoTeX, 2005)
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• R. Hartwig: Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik Archiválva 2022. december 21-i dátummal a Wayback Machine-ben. WS 2009/2010.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Vektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Encyclopedia Of Maths: Linear operator (angolul)
• MathWorld: Linear algebra (angolul)
• MathWorld: Linear transformation (angolul)
• PlanetMath: Linear algebra Archiválva 2012. június 12-i dátummal a Wayback Machine-ben (angolul)
• PlanetMath: Linear transformation Archiválva 2007. szeptember 30-i dátummal a Wayback Machine-ben (angolul)
• Wikipedia: Algebra (angolul)
• Wikipedia: Euclidean space (angolul)
• Wikipedia: Linear Map (angolul)
• Wikipedia: Linear algebra (angolul)
• Wikipedia: Normed vector space (angolul)
• Wikipedia: Topological vector space (angolul)