Vektoriális szorzat

Egy paralelogramma területe mint két vektor vektoriális szorzatának nagysága

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b), hogy megkülönböztessük a skaláris szorzattól. A kereszt jelölés a német és az angol szakirodalomban is használatos. Az olasz és a francia szakirodalom a , az orosz az vagy jelölést részesíti előnyben.

Az jelölés és a külső szorzat elnevezés egy másik műveletre is vonatkozhat, ami bivektort rendel a két vektorhoz. Ez a bivektor pedig a vektoriális szorzat vektorának Hodge-duálisa a háromdimenziós térben. [1]Lásd még: Graßmann-algebra.

Értelmezése:

Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével. Másként,

  1. Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
  2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
  3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.
(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

Vagy rövidebben: , ahol a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

A fizikában számos helyen megjelenik, például az elektromágnesességben a Lorentz-erő vagy a Poynting-vektor kiszámolására. A klasszikus mechanikában a forgatómomentum és a forgatóimpulzus, vagy virtuális erők esetén, például a Coriolis-erő esetén.

A vektoriális szorzás és a keresztszorzás elnevezéseket először Josiah Willard Gibbs fizikus használta először; a külső szorzás kifejezés Hermann Graßmanntól származik.[2]

Tulajdonságok

  • , tehát az összeadásra disztributív
  • , tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot: . Ez a linearitással és disztributivitással együtt azt eredményezi, hogy R3 a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Bilinearitás

A vektoriális szorzat bilineáris,[3] azaz minden , és valós számra, illetve , és vektorra teljesül, hogy

Következik a skalárral való szorzásra:

Alternáló tulajdonság

Egy vektor önmagával vagy bármely skalárszorosával vett szorzata a nullvektor:

.

A bilineáris leképezések, melyekre ez a tulajdonság is teljesül, alternálók.[3]

Antikommutativitás

, tehát antikommutatív,

ami következik a bilineáris és az alternáló tulajdonságból:

minden vektorra.[3]

Kapcsolat a determinánssal

Minden vektor esetén teljesül, hogy:

.

ahol a pont a skaláris szorzást jelöli. Ez a tulajdonság egyértelműen meghatározza a skaláris szorzást:[3]

Minden vektor esetén fennáll, hogy tetszőleges , vektorokhoz pontosan egy vektor létezik úgy, hogy minden vektorra. Ez a vektor egyenlő az vektoriális szorzattal.

Graßmann-azonosság

Három vektor ismételt vektoriális szorzatára[4] teljesül a Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele, azaz

illetve

A fizikában gyakran az

írásmódot használják. Ez alapján a képletet nevezik BAC-CAB-képletnek is. Indexes írásmód esetén a Graßmann-azonosság:

.

ahol a Levi-Civita-szimbólum, és a Kronecker-delta.

Lagrange-azonosság

Két vektoriális szorzat skaláris szorzatára teljesül, hogy:[3]

A norma négyzetére kapjuk, hogy:

tehát a vektoriális szorzat normája:

Mivel az , vektorok közrezárt szöge, így mindig 0° és 180° közötti, azért . Innen a becslés:

.

Vektoriális szorzatok vektoriális szorzata

Speciális esetek:

Kifejtési tétel

Négyesszorzat:

, ahol módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

(i=1,2,3) vektorok (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

, ahol

Kiszámítása a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben

Jobbfogású Descartes-féle koordináta-rendszerben, illetve valós térben, a szabványos skalárszorzással és a szabványos orientációval:

Egy számpélda:

Előállítása mátrixszorzásként

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

Determinánsalak

, ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Levezetés

Ha az euklideszi térben bevezetünk egy Descartes-féle koordináta-rendszert az egységvektorokkal, akkor a geometriai definíció és az antikommuitativitás miatt:

Kifejezve az tényezőket a bázisegységvektorokkal, a vektoriális szorzat így alakul:

Bilinearitás miatt:

Behelyettesítve a fenti vektoriális szorzatba:

Összevonva a megfelelő termeket:

Vektoriálisszorzó-mátrix

Legyen egy rögzített vektor! Ekkor a vektoriális szorzás egy lineáris leképezést definiál, ami egy tetszőleges vektort a vektorra képez. Ez azonosítható egy ferde másodfokú tenzorral. A standard bázis alkalmazása esetén megfelelő ferdén szimmetrikus mátrix

   ahol   

ugyanaz, mint a vektoriális szorzás -vel, azaz :

.

Ez a mátrix vektoriálisszorzó-mátrix. Úgy is jelölik, mint . Indexes jelöléssel:

ahol

.

Adott ferdén szimmetrikus mátrix esetén

,

ahol a mátrix transzponáltja. A hozzá tartozó vektor

.

Ha alakja , akkor a hozzá tartozó vektoriálisszorzó-mátrix

és minden indexre.

Ahol „diadikus szorzat.

Poláris és axiális vektorok

Vektoriális fizikai mennyiségekre alkalmazva a vektoriális szorzást különbséget tesznek poláris vagy eltolási vektorok (két helyvektor különbsége), és axiális, azaz forgatóvektorok között (ezek forgástengelyként működnek, például szögsebesség, forgatómomentum, forgatóimpulzus, mágneses folyamsűrűség).

A poláris vektorok szignatúrája +1, az axiális vektoroké −1. Vektoriális szorzáskor a szignatúrákat is összeszorozzák: ha a szignatúrák megegyeznek, akkor a szorzat axiális; különben a szorzat poláris. Azaz egy axiális vektor átviszi szignatúráját a szorzatra; ellenben a poláris vektor megfordítja az előjelet.

A vektoriális szorzásból származtatott műveletek

Vegyes szorzat

A vegyes szorzat megadja a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatát

A vektorok vegyes szorzatának definíciója:

Az eredmény egy szám, ami megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával. A vektoriális szorzat ábrázolható a három tényezőből alkotott mátrixszal:

Rotáció

A vektoranalízisben a nabla operátorral együtt alkalmazzák a vektoriális szorzást, hogy bevezessék a rotációt. Ha vektormező -ben, akkor

ismét vektormező, rotációja.

Formálisan a rotációt a nabla operátor és a vektormező vektoriális szorzataként fejezik ki. Az itt m,egjelenő kifejezések nem szorzatok, hanem az operátorok alkalmazása a függvényekre; így a fenti tulajdonságok, például a Graßmann-azonosság nem teljesülnek. Ehelyett a nabla operátorral való számolás szabályai érvényesülnek.

Vektoriális szorzás más dimenziókban

A vektoriális szorzás általánosítható tetszőleges dimenzióra az térben. Ebben a tényezők száma nem 2, hanem , azaz például 2 dimenzióban egy vektor elég, de négy dimenzióban három kell.

Az vektorok vektoriális szorzatát az jellemzi, hogy minden esetén

A vektoriális szorzat koordinátái -ben a következőképpen számítjuk: Legyen az -edik standard egységvektor! Az vektorra:

teljesül, hogy a fenti determinánsos számoláshoz hasonlóan.

Az vektor ortogonális az vektorokra. Az irányítás olyan, hogy ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az szorzat hossza megegyezik az által kifeszített parallelotóp dimenziós térfogatával.

Az esetben egy lineáris leképezést kapunk:

ami egy 90 fokos forgatás az óramutató járása szerint.

Itt meg kell jegyeznünk, hogy a tényezőkhöz hozzávéve a szorzatvektort csak páratlan dimenzióban kapunk jobbrendszert; páros dimenziókban balrendszert kapunk. Ez azon múlik, hogy páros dimenzióban nem ugyanaz a bázis, mint , ami definíció szerint jobbrendszer. Habár egy kisebb változtatással a definícióban páros dimenziókban is jobbrendszerre lehetne áttérni (azaz a szimbolikus determinánsban az egységvektorokat utolsó sorként vagy oszlopként megadni), ez a definíció nem terjedt el.

Egy további általánosítással Graßmann-algebrákhoz jutunk, melyek a differenciálgeometriában találnak alkalmazásra. Itt különféle fizikai területek részletesen modellezhetők, mint a klasszikus mechanika (szimplektikus sokaságok), a kvantumgeometria, illetve az általános relativitáselmélet. A szakirodalom elrejti a magasabb dimenziós, illetve görbült terekben definiált vektoriális szorzást, és inkább indexenként írja ki Levi-Civita-szimbólumokkal.

Komplex vektoriális szorzás

Komplex vektorterekben, például -ben a vektoriális szorzás definíciója a skaláris szorzástól függ. Ha az vektorok skaláris szorzását úgy választjuk, hogy az első tényező koordinátáit komplex konjugáljuk:

akkor a vektoriális szorzat számítható úgy, mint -ben, és a végén komplex konjugálva:

Alkalmazások

Alkalmazzák a geometriában kitérő egyenesek távolságának számítására.

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő:
r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka:

Külső hivatkozások

Forrás

Jegyzetek

  1. Hodge Duality — Theoretical Universe. shaussler.github.io. (Hozzáférés: 2024. november 19.)
  2. Max Päsler. Grundzüge der Vektor- und Tensorrechnung. Walter de Gruyter, 33. o. (1977) 
  3. a b c d e Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. 2. Band 2. korrigierte Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel u. a. 2006, ISBN 3-7643-7105-6 (Grundstudium Mathematik), S. 312–313
  4. Doppeltes Vektorprodukt (Vorlesungsskript Klassische und relativistische Mechanik, Othmar Marti, abgerufen am 2. Oktober 2020)

Lásd még

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Read other articles:

S-CRY-ed is an anime created by Sunrise. The plot is set in an alternate time where an earthquake known as the Great Uprising has divided a city in two sections: the Mainlands and the Lost Ground. One percent of the Lost Ground's people have developed supernatural powers known as Alter. The series follows a young mercenary known as Kazuma from the Lost Ground. While doing one of his jobs he encounters a man known as Ryuho, a member from the Mainland Alter special forces known as HOLY. There ...

 

Forensik (berasal dari bahasa Latin forensis yang berarti dari luar, dan serumpun dengan kata forum yang berarti tempat umum) adalah bidang ilmu pengetahuan yang digunakan untuk membantu proses penegakan keadilan melalui proses penerapan ilmu atau sains. Dalam kelompok ilmu-ilmu forensik ini dikenal antara lain ilmu fisika forensik, ilmu kimia forensik, ilmu psikologi forensik, ilmu kedokteran forensik, ilmu toksikologi forensik, ilmu psikiatri forensik, komputer forensik, dan sebagainya. Sub...

 

Bagian dari seri mengenai Sejarah Indonesia Prasejarah Manusia Jawa 1.000.000 BP Manusia Flores 94.000–12.000 BP Bencana alam Toba 75.000 BP Kebudayaan Buni 400 SM Kerajaan Hindu-Buddha Kerajaan Kutai 400–1635 Kerajaan Tarumanagara 450–900 Kerajaan Kalingga 594–782 Kerajaan Melayu 671–1347 Kerajaan Sriwijaya 671–1028 Kerajaan Sunda 662–1579 Kerajaan Galuh 669–1482 Kerajaan Mataram 716–1016 Kerajaan Bali 914–1908 Kerajaan Kahuripan 1019&#...

Kori KamandunganKori Kamandungan Keraton Surakarta HadiningratInformasi umumAlamatJalan Sasono Mulyo, Kelurahan Baluwarti, Kecamatan Pasar Kliwon, Kota SurakartaNegara Indonesia Kori Kamandungan adalah bagian terdepan dari istana Keraton Surakarta Hadiningrat. Kori Kamandungan ini memiliki tiga pintu, yaitu Kori Kamandungan bagian timur, bagian tengah, dan bagian barat. Kori Kamandungan bagian barat dan bagian timur mempunyai lengkung di atas daun pintu, dan masing-masing kori tersebut ukuran...

 

1997 EP by TenThe RobeEP by TenReleasedSeptember 18, 1997GenreHard rockLength25:11LabelZero Corporation XRCN-2008ProducerGary HughesTen chronology The Robe(1997) The Robe(1997) Spellbound(1999) Ten EP chronology The Name of the Rose(1996) The Robe(1997) You're in My Heart(1997) The Robe is the second EP released by the melodic hard rock band Ten. The compact disc was officially released only in Asian markets.[1] It was released on September 18, 1997. Track listing All songs wr...

 

1945 order by President Harry S. Truman This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Truman Directive of 1945 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2016) The Truman Directive of 1945 was an executive order advocating for refugees coming into the United States post-World War II....

Canadian soccer team Football clubBVB International Academy WaterlooFull nameWaterloo Minor Soccer ClubFounded1971 (as Waterloo Minor SC)2022 (as BVB IA Waterloo)StadiumWarrior Field, University of WaterlooHead CoachJohn O'Brien (men)Chris Kraemer (women)LeagueLeague1 Ontario2022League1 Ontario, 15th (men)League1 Ontario, 16th (women)WebsiteClub website Current season Active teams of Borussia Dortmund Football Football II U17/U19 Football (Canada) Handball(women) BVB International Academy Wa...

 

روبرت الأول ملك إسكتلندا (بالغيلية الإسكتلندية: Roibert a Briuis)‏  معلومات شخصية الميلاد 11 يوليو 1274(1274-07-11)دنفيرملين الوفاة 7 يونيو 1329 (54 سنة) سبب الوفاة جذام  مواطنة مملكة إسكتلندا  الديانة كاثوليكية الأولاد ديفيد الثاني ملك اسكتلندا  مناصب إيرل كاريك   في المنصب9 نوف...

 

Bahçeşehir KolejiPallacanestro Segni distintivi Uniformi di gara Casa Trasferta Colori sociali Bianco, rosso e blu Dati societari Città Istanbul Nazione  Turchia Confederazione FIBA Europe Federazione Türkiye Basketbol Federasyonu Campionato Türkiye 1. Basketbol Ligi e FIBA Europe Cup Fondazione 2017 Allenatore Ali Ruhi Balkanlı Impianto Ülker Sports Arena(13,800 posti) Palmarès Coppe europee 1 FIBA Europe Cup Il Bahçeşehir Koleji Spor Kulübü, noto anche come Bahçeşehir Ba...

Position des mains sur le clavier d'un piano. Glenn Gould disait : « La technique du piano est en vérité très simple, mais il faut des années pour la maîtriser ». Technique physique du piano Position du corps face à l'instrument Les observateurs attentifs des gravures, peintures, photographies et vidéo de pianistes célèbres seront surpris de constater à quel point la position des pianistes face à leur clavier est variée. Franz Liszt nous paraît dominer son clavie...

 

Railway terminus in central London For the airport with IATA code QQS, see Shuttle Landing Facility. St Pancras London St Pancras InternationalView from Euston RoadSt PancrasLocation of St Pancras in Central LondonLocationSt PancrasLocal authorityLondon Borough of CamdenManaged byNetwork Rail (High Speed) for HS1 Ltd[1]Eurostar[2]Network Rail (Thameslink and Midland Main Line service platforms)OwnerHS1 LtdStation codeSTP, SPX, QQS (IATA)DfT categoryA (mainline platforms)C1 (Th...

 

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

恩维尔·霍查Enver Hoxha霍查官方肖像照(摄于1980年代初)阿尔巴尼亚共产党中央委员会总书记任期1943年3月—1948年11月[1]前任無(首任)继任本人(劳动党中央委员会总书记)阿尔巴尼亚劳动党中央委员会总书记任期1948年11月—1954年7月[1]前任本人(共产党中央委员会总书记)继任本人(劳动党中央委员会第一书记)阿尔巴尼亚劳动党中央委员会第一书记任期1954�...

 

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 %   获提名人 唐納·川普 希拉莉·克林頓 政党 共和黨 民主党 家鄉州 紐約州 紐約州 竞选搭档 迈克·彭斯 蒂姆·凱恩 选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

 

البجعة السوداءThe Black Swan (بالإنجليزية) لقطة من الفيلممعلومات عامةالصنف الفني تكنوكولورالموضوع قرصنة بحرية تاريخ الصدور 1942مدة العرض 85 دقيقةاللغة الأصلية الإنجليزيةمأخوذ عن The Black Swan (en) البلد  الولايات المتحدةالجوائز  جائزة الأوسكار لأفضل تصوير سينمائي ملون (1941)منحت لـ ...

Cet article est une ébauche concernant le monde insulaire et l’Alaska. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Îles Andreanof Carte des îles Andreanof Géographie Pays États-Unis Archipel Îles Aléoutiennes Localisation Océan Pacifique (mer de Béring) Coordonnées 51° 52′ 22″ N, 176° 11′ 44″ O Superficie 3 924,737 km2 Île(s) principale(s) Adak, ...

 

Passport of the Commonwealth of Australia issued to Australian citizens Australian passportThe front cover of a current Australian biometric passport The polycarbonate photo page of a current R series Australian passportTypePassportIssued byAustralian Passport Office (DFAT)First issued1901 (first version following federation)1984 (machine-readable passport)24 October 2005 (biometric passport)September 2022 (current version)In circulation14.2 million (2023)[1]PurposeIdentific...

 

Christian cross superimposed on a circle Not to be confused with Sun cross. A Celtic cross symbol The Celtic cross is a form of Christian cross featuring a nimbus or ring that emerged in Ireland, France and Great Britain in the Early Middle Ages. A type of ringed cross, it became widespread through its use in the stone high crosses erected across the islands, especially in regions evangelised by Irish missionaries, from the ninth through the 12th centuries. A staple of Insular art, the Celtic...

LGBT rights in San MarinoLocation of San Marino (green)in Europe (dark grey)  –  [Legend]StatusLegal since 1864Habitual homosexual acts causing a public scandal illegal from 1970 to 2004MilitaryLGBT people may serveDiscrimination protectionsProtections for sexual orientation and gender identityFamily rightsRecognition of relationshipsUnregistered cohabitation since 2012 (only for immigration purposes),Civil unions since 2019AdoptionStepchild adoption since ...

 

العصر الثلاثي قك ك أ س د ف بر ث ج ط ب ن Triassic τριάδος اسماء اخرى الترياسي الرمز T المستوى الزمني عصر/نظام الحقبة الوسطى -الدهر دهر البشائر علم الطبقات البداية 251.902 ± 0.024 م.س.مضت النهاية 201.3 ± 0.2 م.س.مضت المدة 50.602 م.س تقريبا البرمي الجوراسي الحياة القديمة   الأقسام الفرعية ا...