שדה המספרים הממשיים

ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.
אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

שדה המספרים הממשיים (או: השדה הממשי) הוא השדה הסדור היחיד שהוא שדה סדור שלם. אברי השדה הזה הם המספרים הממשיים. מקובל לסמן אותו באות .

אפשר לזהות את שדה המספרים הממשיים עם הישר האינסופי, הנקרא משום כך "הישר הממשי". זיהוי זה מוביל לקואורדינטות הקרטזיות של המישור, ומאפשר לתאר ולפתור בעיות גאומטריות באמצעים אנליטיים, כלומר גאומטריה אנליטית.

תכונות

השדה הממשי הוא שדה סדור. ככזה, הוא שדה סדור שלם: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון (תכונה זו מכונה לעיתים "אקסיומת החסם העליון"); שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור היחיד המקיים את אקסיומת החסם העליון. מאקסיומת החסם העליון נובע שהשדה הוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה המוגדרת על ידי הערך המוחלט, וגם שהוא ארכימדי, תכונה המייחדת אותו בין כל השדות הסדורים השלמים.

עבור שדות סדורים, אקסיומת החסם העליון שקולה לשילוב של ארכימדיות ושלמות במובן של סדרות. לכן השדה הממשי הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא שלם במובן של סדרות. זהו גם השדה הארכימדי הגדול ביותר: כל שדה סדור ארכימדי מוכל בממשיים.

עוצמת קבוצת המספרים הממשיים מכונה עוצמת הרצף, ונהוג לסמנה בסימונים , , או . גאורג קנטור הוכיח באמצעות שיטת האלכסון של קנטור כי השדה אינו בן מניה.

למעשה, עוצמת שדה הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים - . הסיבה לכך היא שעוצמת שדה הממשיים שווה לעוצמת הקטע הפתוח , וזו שווה ל- על ידי ההצגה הבינארית של כל מספר ממשי בקטע.

היסטוריה ובנייה

ערך מורחב – בניית המספרים הממשיים

השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר שהמספרים הרציונליים אינם מספיקים לצרכים גאומטריים, למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו מספר רציונלי (ראה פיתגוראים). עד סוף המאה ה-19 חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים בהתאמה חד-חד ערכית עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד התיאור האלגברי של הגאומטריה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות (על ידי דקארט). זו גם הסיבה מדוע לעיתים קרובות שדה זה נקרא בשם הישר הממשי.

יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.

בנייה באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים

כאמור, ניתן להגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים. לסדרת קושי יש משמעות רק במסגרת של מרחב מטרי, ובבנייה זו נשתמש במספרים הרציונליים, , ובמטריקה (כאשר הקווים האנכיים מציינים ערך מוחלט).

תהי קבוצת כל סדרות קושי ב-. נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס. זהו יחס שקילות. על קבוצת המנה של היחס מגדירים חיבור וכפל באמצעות חיבור וכפל של נציגים (היינו סדרות קושי) איבר-איבר. הפעולות מוגדרות היטב, ומקיימות את כל אקסיומות השדה, כאשר איבר האפס ואיבר היחידה הם המחלקות של הסדרות הקבועות (0) ו-(1). באותה דרך אפשר להתאים לכל מספר רציונלי q את מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה (q), וכך משוכן שדה המספרים הרציונליים בקבוצת המנה. יחס הסדר מוגדר כך: אם ורק אם קיים r>0 וקיים טבעי כך שלכל טבעי מתקיים . הגדרה זו אינה תלויה בנציגים, ואיתה הופכת קבוצת המנה לשדה סדור. השדה הזה מקיים את אקסיומת החסם העליון.

הוכחה. תהי תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי . נגדיר כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ- (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש- אינה ריקה, קיים מספר רציונלי שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי . כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם חסם מלעיל אז ו-, אם הוא אינו חסם מלעיל אז ו-. קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-. קל להראות באינדוקציה כי לכל טבעי חסם מלעיל ל- בעוד ש- לא, מעובדה זו נובע כי חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי מקיים , אז קיים טבעי עבורו , ומכיוון ש- מונוטונית עולה נקבל כי לכל גם מתקיים , אך ראינו כבר ש- אינו חסם מלעיל ולכן שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

בנייה באמצעות חתכי דדקינד

חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה המקיימת:

  • לכל וגם , מתקיים
  • ל אין מקסימום: לא קיים כך שלכל מתקיים .

כל חתך ייצג מספר ממשי (שהוא הסופרמום שלו).

לכל מספר רציונלי , החתך הוא החתך המייצג את . את קבוצת חתכי דדקינד נסמן . יחס הסדר על קבוצת החתכים מוגדר לפי . פעולת החיבור מוגדרת לפי . לכל חתך קיים נגדי ביחס לחיבור, . כעת נגדיר את הכפל. עבור , נגדיר . אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר . גם כאן מתקבל שדה סדור.

נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר . אז M הוא חתך, שהוא החסם העליון של .

כאמור לעיל, כל שני שדות סדורים שלמים הם איזומורפיים זה לזה, ולכן גם שתי הבניות לעיל מתארות, גם אם בדרכים שונות, את אותו אובייקט.

קישורים חיצוניים


תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

Read other articles:

Pour les articles homonymes, voir Barge. Une barge chargée de sable et de gravier déplacée par un pousseur dans une écluse de la Seine. Une barge est un type de bateau à fond plat, dépourvu de moteur, généralement utilisé en convois poussés sur les rivières et canaux à grand gabarit. Une barge peut être constituée d'un ancien bateau automoteur démotorisé. Exemples Les barges sont utilisées pour l'approvisionnement des navires à l'ancre, en marchandises, en vivres, en eau do...

 

Hari Buruh InternasionalWina, Austria, 2013Nama resmiHari Buruh InternasionalNama lainMay DayPerayaanBeragam, tergantung negaranya; kebanyakan parade, pawai, barbekuTanggal1 MeiFrekuensiTahunanTerkait denganMay Day Hari Buruh pada umumnya dirayakan pada tanggal 1 Mei, dan dikenal dengan sebutan May Day. Hari buruh ini adalah sebuah hari libur (di beberapa negara) tahunan yang berawal dari usaha gerakan serikat buruh untuk merayakan keberhasilan ekonomi dan sosial para buruh. Sejarah Hari Buru...

 

Pour les articles homonymes, voir Maunoury. Maurice MaunouryMaurice Maunoury, ministre de l'Intérieur (1923).FonctionsMinistre de l'IntérieurGouvernement Raymond Poincaré II15 janvier 1922 - 29 mars 1924Pierre MarraudJustin de SelvesDéputé françaisDouzième législature de la Troisième République françaiseEure-et-Loir16 novembre 1919 - 31 mai 1924Henri Joseph TriballetMinistre des ColoniesGouvernement Alexandre Ribot IV9 - 13 juin 1914Armand GauthierArmand GauthierDéputé français...

Marjorie Merriweather PostPost in 1942Lahir(1887-03-15)15 Maret 1887Springfield, IllinoisMeninggal12 September 1973(1973-09-12) (umur 86)AlmamaterMount Vernon College for WomenPekerjaanPostum Cereal Company, General Foods pemilik; filantropis, sosialitaKekayaan bersihUSD $5 billion (2008 dollars)Suami/istriEdward Bennett Close ​ ​(m. 1905; c. 1919)​ Edward Francis Hutton ​ ​(m. 1920; c. 1935)&...

 

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Cursed seri TV 2020 – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR CursedGenre Fantasy Serial drama Adventure Action Pembuat Frank Miller Tom Wheeler BerdasarkanCursedoleh Frank MillerTom WheelerPem...

 

Jean Favier Información personalNacimiento 2 de abril de 1932 París, FranciaFallecimiento 12 de agosto de 2014 (82 años) París, FranciaCausa de muerte Cáncer Nacionalidad FrancesaFamiliaCónyuge Lucie Favier EducaciónEducación Agregación de historia Educado en École des chartesLycée Henri IVUniversidad de París Información profesionalOcupación HistoriaCargos ocupados directeur des Archives de France (fr) (1975-1994)Presidente de Association française pour les célébra...

This article lists women married to the sovereign prince of Monaco during his reign. Until 1612, the title was held by the spouse of the lord of Monaco. Since her marriage to Albert II on 1 July 2011, Charlene has been princess consort of Monaco. Lady in Monaco Picture Name Father Birth Marriage Became Consort Ceased to be Consort Death Spouse Aurelia del Carretto Giacomo del Carretto, Margrave of Finale (Del Carretto) 1254 1295 8 January 1297husband's accession 10 April 1301husband's despos...

 

Secondary school in the United States Adlai E. Stevenson High SchoolAddress1 Stevenson Drive, Lincolnshire, ILLincolnshire, IL 60069United StatesCoordinates42°11′57″N 87°56′44″W / 42.1993°N 87.9455°W / 42.1993; -87.9455InformationTypePublic high schoolEstablished1965School districtAdlai E. Stevenson High School District 125SuperintendentEric Twadell [1]PrincipalTroy Gobble [1]Faculty252.63 (on FTE basis)[2]Grades9–12Enrollment4,489...

 

Gonzalo Jara Jara con Chile durante la Copa Confederaciones 2017.Datos personalesNombre completo Gonzalo Alejandro Jara ReyesApodo(s) Jarita.[1]​Jarra.[2]​Nacimiento Hualpén, Chile29 de agosto de 1985 (38 años)Nacionalidad(es) ChilenaAltura 1,78 m (5′ 10″)[3]​Peso 77 kg (169 lb)[3]​Pareja Roxana Luengo (matr. 2005)[4]​[5]​Carrera deportivaDeporte FútbolClub profesionalDebut deportivo 2003(C. D. Huachipato)Club Agente libr...

باذنجان محشومعلومات عامةالمنطقة إيران، تركيا، أذربيجان، إيطاليا، سورياالترتيب طبق رئيسيحرارة التقديم ساخناًتعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات محشي الباذنجان ((بالأذرية: Badımcan dolması)، في إيران: Karni Yarikh، (بالتركية: Patlıcan dolması)‏,[1] (بالإيطالية: Melanzane ripiene)‏) هي أطباق شائ...

 

Canadian politician (b. 1983/84) Ausma MalikMalik in 2014First Deputy Mayor and Deputy Mayor of Toronto for Toronto and East YorkIncumbentAssumed office August 10, 2023MayorOlivia ChowPreceded byJennifer McKelvie (statutory)Ana Bailão (Toronto and East York)Toronto City Councillorfor Ward 10 Spadina—Fort YorkIncumbentAssumed office November 15, 2022Preceded byJoe Mihevc Personal detailsBorn1983 or 1984 (age 39–40)NationalityCanadianPolitical partyIndependentOther...

 

蒙蒂福莫苏Monte Formoso市镇蒙蒂福莫苏在巴西的位置坐标:16°51′57″S 41°15′18″W / 16.8658°S 41.255°W / -16.8658; -41.255国家巴西州米纳斯吉拉斯州面积 • 总计383.821 平方公里(148.194 平方英里)人口 • 總計4,709人 • 密度12.3人/平方公里(31.8人/平方英里) 蒙蒂福莫苏(葡萄牙语:Monte Formoso)是巴西米纳斯吉拉斯州的一个市镇。总...

Karte des Indopazifik Indopazifik (im Unterschied zu Asien-Pazifik) ist die Bezeichnung einer aus dem nördlichen Indischen Ozean, dem westlichen Zentralpazifik und einigen Nebenmeeren bestehenden Großregion einschließlich ihrer Inselwelt. Im eingeschränkten Sinne wird die Bezeichnung Indopazifik auch lediglich für die Meere und Länder Südostasiens verwendet.[1] Anders als z. B. der Begriff Südchinesisches Meer ist er vor allem ein politischer Begriff aus jüngerer Zeit.&#...

 

51e division d’infanterie Pays France Branche Armée de terre Type Division d'infanterie Rôle Infanterie Guerres Première Guerre mondialeSeconde Guerre mondiale Batailles 1914 - Bataille de Guise1914 - Bataille de la Marne(Bataille des Deux Morins)(Bataille des Marais de Saint-Gond)1914 - 1re Bataille de l’Aisne1915 - 2e Bataille de Champagne1916 - Bataille de Verdun1916 - Bataille de la Somme1917 - Chemin des Dames1917 - 2e Bataille des Flandres1918 - 3e Bataille de l’Aisne1918...

 

Minneapolis LakersStagione 1948-1949Sport pallacanestro Squadra L.A. Lakers AllenatoreJohn Kundla BAA44-16 (.733)Division: 2º posto (Western) PlayoffCampione StadioMinneapolis Auditorium 1947-1948 1949-1950 La stagione 1948-49 dei Minneapolis Lakers fu la 1ª nella BAA per la franchigia. I Minneapolis Lakers arrivarono secondi nella Western Division con un record di 44-16. Nei play-off vinsero il primo turno con i Chicago Stags (2-0), la finale di division con i Rochester Royals (2-0), ...

2023 European Athletics Indoor ChampionshipsTrack events60 mmenwomen400 mmenwomen800 mmenwomen1500 mmenwomen3000 mmenwomen60 m hurdlesmenwomen4×400 m relaymenwomenField eventsHigh jumpmenwomenPole vaultmenwomenLong jumpmenwomenTriple jumpmenwomenShot putmenwomenCombined eventsPentathlonwomenHeptathlonmenvte The men's shot put event at the 2023 European Athletics Indoor Championships was held on 2 March at 19:12 (qualification) and on 3 March at 19:25 (final) local time. Medalists Gold S...

 

This page lists historian scholars of Jewish mysticism. For theological scholars see List of Jewish Kabbalists: modern teachers of Jewish mysticism This list is incomplete; you can help by adding missing items. (December 2012) Scholem Collection of Jewish mysticism archive room in the National Library of Israel (Hebrew University campus), Jerusalem Academic-historical research into Jewish mysticism is a modern multi-discipline university branch of Jewish studies. It studies the texts and his...

 

Version 6 of the Internet Protocol Parts of this article (those related to RFC 8200 and RFC 8201) need to be updated. Please help update this article to reflect recent events or newly available information. (July 2017) Internet Protocol version 6Protocol stackIPv6 headerAbbreviationIPv6PurposeInternetworking protocolDeveloper(s)Internet Engineering Task ForceIntroductionDecember 1995; 28 years ago (1995-12)Based onIPv4OSI layerNetwork layerRFC(s)2460, 8200 Internet prot...

Yue Chinese dialect of Guangxi, China This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Luo–Guang Yue – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2022) (Learn how and when to remove this message) Luo-Guang Yue羅廣方言Native toPeople's Republic of ChinaRegionGuangdongLanguage familySino-Tibetan SiniticYueL...

 

Pour les articles homonymes, voir 312e régiment. 312e régiment d'artillerie Création 1918 Dissolution 1940 Pays France Branche Armée de terre Type Régiment d'artillerie lourde (1918)Régiment d'artillerie portée (1924-1940) Rôle Artillerie Ancienne dénomination 50e régiment d'artillerie de campagne porté Inscriptionssur l’emblème La Marne 1914-1918Verdun 1916Les Monts 1917Flandres 1918 Guerres Première Guerre mondialeSeconde Guerre mondiale Fourragères aux couleurs d...