במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים ${\displaystyle G'}$ של חבורה ${\displaystyle G}$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה ${\displaystyle G/G'}$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של ${\displaystyle G}$.

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה ${\displaystyle g_{1}\cdot g_{2}\cdot \dots \cdot g_{n}}$ שכך שיש תמורה ${\displaystyle \pi }$ המקיימת ${\displaystyle g_{\pi (1)}\cdot g_{\pi (2)}\cdot \dots \cdot g_{\pi (n)}=e}$ כאשר ${\displaystyle e}$ הוא איבר היחידה בחבורה.

הקומוטטור של שני איברים ${\displaystyle g,h}$ בחבורה ${\displaystyle G}$ הוא האיבר ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$. תת-חבורת הקומוטטורים של ${\displaystyle G}$ היא החבורה הנוצרת ${\displaystyle \langle [h,g]|h,g\in G\rangle }$. את החבורה המתקבלת מסמנים ${\displaystyle G'}$ או ${\displaystyle [G,G]}$. הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם ${\displaystyle A,B}$ תת-חבורות נורמליות של ${\displaystyle G}$, אז ${\displaystyle [A,B]}$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים ${\displaystyle [a,b]}$ עבור ${\displaystyle a\in A,b\in B}$; זו תת-חבורה נורמלית גם של ${\displaystyle A}$ וגם של ${\displaystyle B}$.

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה ${\displaystyle G/G'}$ היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית ${\displaystyle N}$ של ${\displaystyle G}$, המנה ${\displaystyle G/N}$ אבלית אם ורק אם ${\displaystyle G'\subseteq N}$. זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה ${\displaystyle G/G'}$ נקראת האבליזציה של ${\displaystyle G}$.

מכיוון שהומומורפיזם ${\displaystyle f:G\to H}$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה ${\displaystyle f(G')\subset H'}$. בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש-${\displaystyle [A/N,B/N]=[A,B]N/N}$ ובפרט ${\displaystyle (G/N)'=G'N/N}$.

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של ${\displaystyle G}$, באינדוקציה: ${\displaystyle G^{(0)}:=G}$, ולכל ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]}$. בפרט מקצרים וכותבים ${\displaystyle G'=[G,G]}$, ${\displaystyle G''=[G',G']}$ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז ${\displaystyle G}$ היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון ${\displaystyle G'=G}$ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות ${\displaystyle S_{n}}$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, ${\displaystyle A_{n}}$, בעוד ש-${\displaystyle A_{n}}$ מושלמת לכל ${\displaystyle 5\leq n}$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים ${\displaystyle G_{n+1}=[G,G_{n}]}$, כאשר ${\displaystyle G_{1}:=G}$. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה ${\displaystyle \psi =x_{1}}$, או נוסחה מהצורה ${\displaystyle \psi =[\psi ',\psi '']}$ כאשר ${\displaystyle \psi ',\psi ''}$ הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות ${\displaystyle [G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G)}$ (לכל חבורה ${\displaystyle G}$), ואלו המקיימות ${\displaystyle \psi (G)\subseteq [G,G'']}$; והוכיח^[1] שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות ${\displaystyle \psi (G)=1}$, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות ${\displaystyle \psi (G)=1}$, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות ${\displaystyle A,B,C}$ של ${\displaystyle G}$, מתקיים ${\displaystyle [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]}$.

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher^[2] שהאורך של איבר אינו עולה על ${\displaystyle \lceil \log _{4}|G'|\rceil }$, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות ${\displaystyle A_{n}}$. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס ${\displaystyle L_{r}(q)}$, עבור ${\displaystyle q>8}$. בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.^[3]

• חבורה נילפוטנטית

• תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• תת-חבורת הקומוטטורים, באתר MathWorld (באנגלית)