קומוטטור

במתמטיקה, קוֹמוּטָטוֹר הוא פונקציה דו-מקומית המוגדרת בדרך כלל בחוג או חבורה, הבודקת את ההתחלפות של זוג איברים ביחס לפעולת כפל נתונה. במילים אחרות, הקומוטטור בודק האם תכונת הקומוטטיביות של הכפל נכשלת עבור זוג איברים מסוימים. בהתאם, בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית, הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי.

קומוטטור חיבורי וכפלי

בהינתן זוג איברים במבנה אלגברי נתון עם פעולת כפל, השאלה בה מתעניינים היא האם . אם במבנה אלגברי זה קיימת פעולת חיבור, שוויון זה מתקיים אם ורק אם , ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי . במקרה זה הקומוטטור מכונה "חיבורי". אם במבנה אלגברי זה קיימת פעולה הופכית לפעולת הכפל, שוויון זה מתקיים אם ורק אם , ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי . במקרה זה הקומוטטור מכונה "כפלי".

הקומוטטור החיבורי

הקומוטטור החיבורי מתאים לחוג. במקרה זה פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה ביליניארית. אם קובעים איבר בחוג נתון, אז ההומומורפיזם הוא נגזרת.

כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור.

באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון: מעל שדה, כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור.[1] כל איבר בעל עקבה אפס באלגברה פשוטה מרכזית הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים.[2] כל איבר בעל עקבה אפס בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים (אבל לפעמים אינו קומוטטור בעצמו).[3]

לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות , שאותה מקיימת אלגברת המטריצות . במילים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל מעל שדה מקיימות את הזהות .

הקומוטטור הכפלי

הקומוטטור הכפלי מתאים לחבורה. אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים נקראת תת חבורת הקומוטטורים ומסמנים אותה ; זוהי בנייה יסודית בתורת החבורות, מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב- את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של האיברים . זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב-N וגם ב-K.

איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו פתירות או נילפוטנטיות. לשם הקיצור, מקובל לסמן (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי . תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים מסומנת ב-, וכך ובאופן כללי . חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא כזו שבה .

קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל ו- כאשר הוא סימון מקוצר לצמוד . זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי: . מזהות זו נובעת למת שלוש תת-החבורות: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז . בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים . אם כעת נבחר נקבל , כלומר . זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל-. אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.

הקומוטטור בפיזיקה

בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד) ולקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת. על כן זוהי תכונה שימושית ביותר. בניגוד לכך, כל שני אופרטורים A ו־B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:

כלומר, אי אפשר למדוד את A ואת B בו זמנית בדיוק מוחלט.

יחסי חילוף של אופרטורים קוונטיים חשובים

  • מיקום ותנע קווי כאשר הוא אופרטור מיקום ו־ הוא אופרטור תנע.
  • תנע זוויתי כאשר הוא טנזור לוי-צ'יויטה. עם זאת, האופרטור מתחלף עם כל אחד מרכיביו:
  • אופרטורי יצירה וחיסול של בוזונים מקיימים יחסי חילוף, כלומר , ואילו אופרטורי יצירה וחיסול של פרמיונים מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר . הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו.

מושגים דומים

אנטי-קומוטטור

כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר . אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.

אסוציאטור

ערך מורחב – אסוציאטור

בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה . האסוציאטור מקיים את הזהות .

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ Albert and Muckenhoupt 1957, [1]
  2. ^ עמיצור ורואן, 1994
  3. ^ רוסט ורוסט, 2000

Read other articles:

Teimei貞明Permaisuri Kaisar JepangPeriode30 Juli 1912 - 25 Desember 1926Penobatan10 November 1915Informasi pribadiKelahiranKujō Sadako(1884-06-25)25 Juni 1884Nishikichō, TokyoKematian17 Mei 1951(1951-05-17) (umur 66)Istana Ōmiya, TokyoPemakaman22 Juni 1951Pemakaman Kekaisaran Musashi, Hachiōji, TokyoWangsaWangsa KujōWangsa Yamato (pernikahan)AyahKujō MichitakaIbuNoma IkukoPasangan Yoshihito, Kaisar TaishoAnakHirohito, Kaisar JepangPangeran ChichibuPangeran TakamatsuPangeran Mikas...

 

 

Get Up Stand UpPoster filmSutradaraTeezar SjamsuddinProduserBagus BramantiDitulis olehArgalaras KusumahanandaPemeranBabe CabiitaAbdur ArsyadAcha SinagaPerusahaanproduksiKG StudioTanggal rilis7 April 2016Durasi100 MenitNegara IndonesiaBahasaBahasa Indonesia Get Up Stand Up adalah sebuah film komedi romantis Indonesia yang dirilis pada 7 April 2016. Film yang diproduksi oleh KG Studio ini menampilkan kisah asmara para komika. Film yang disutradarai oleh Teezar Sjamsuddin dibintangi Babe Ca...

 

 

Fictional character from David Copperfield by Charles Dickens Micawber and Mr Micawber redirect here. For other uses, see Micawber (disambiguation). Fictional character Wilkins MicawberDavid Copperfield characterAs illustrated in a 1912 edition of the bookCreated byCharles DickensBased onJohn Dickens (Dickens's father)In-universe informationGenderMaleOccupationVariousNationalityBritish Wilkins Micawber is a fictional character in Charles Dickens's 1850 novel David Copperfield. He is tradition...

ОбластьВарненская областьболг. Област Варна Герб 43°13′ с. ш. 27°28′ в. д.HGЯO Страна  Болгария Входит в Северо-Восточный регион Включает 12 общин Адм. центр Варна История и география Дата образования 8 января 1999 Площадь 3818 км² (12-е место) Часовой пояс EET (UTC+2, ле�...

 

 

Tragedi Stadion NasionalPintu masuk barat stadion sebelum renovasi tahun 2011LokasiStadion Nasional Peru, Lima, PeruKoordinat12°04′02.2″S 77°02′01.4″W / 12.067278°S 77.033722°W / -12.067278; -77.033722Tanggal24 Mei 1964 (1964-05-24)Korban tewas328Korban luka500 Bencana terparah dalam sejarah sepakbola asosiasi terjadi di Stadion Nasional Peru di Lima, Peru, saat pertandingan antara Peru dan Argentina pada 24 Mei 1964.[1] Keputusan yang tidak po...

 

 

American broadcaster Chris BerryBornDecatur, Illinois, United StatesNationalityAmericanAlma materUniversity of MississippiOccupation(s)Broadcaster, Journalist Chris Berry is an American broadcaster whose career has included newsroom and management roles for some of the largest communications firms in the United States.[1] As executive vice president of news, talk and sports programming for iHeartMedia he is responsible for overseeing the company's news, talk and sports brands. ...

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

 

 

Dominican baseball player Baseball player Mario SotoPitcherBorn: (1956-07-12) July 12, 1956 (age 67)Baní, Dominican RepublicBatted: RightThrew: RightMLB debutJuly 21, 1977, for the Cincinnati RedsLast MLB appearanceJune 16, 1988, for the Cincinnati RedsMLB statisticsWin–loss record100–92Earned run average3.47Strikeouts1,449 Teams Cincinnati Reds (1977–1988) Career highlights and awards 3× All-Star (1982–1984) Cincinnati Reds Hall of Fame Mario Melv...

 

 

Cet article est une ébauche concernant la facture instrumentale. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Piano Sauter Sauter (raison sociale complète : Carl Sauter Pianofortemanufaktur GmbH & Co KG) est un facteur allemand de pianos créé en 1819 par Johann Grimm à Spaichingen (Wurtemberg), en Allemagne. Natif de Spaichingen, le jeune compagnon menuisier Johann Grimm se rend en 1813 à Vienn...

Questa voce o sezione sull'argomento personaggi dei fumetti non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Iris WestIris West nella serie televisiva The Flash UniversoUniverso DC AutoriRobert Kanigher Carmine Infantino Joe Kubert EditoreDC Comics 1ª app.settembre-ottobre 1956 1ª app. inShowcase...

 

 

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています(詳細)。 数字の大字(だいじ)は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字(小字)の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。 概要 壱万円日本銀行券(「壱」が大字) 弐千円日本銀行券(「弐」が大字) 漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

 

 

French and Indian War fort in Pennsylvania, U.S. Fort SwataraAlso known as Smith’s Fort.Along Fort Swatara Drive about 1.5 miles north of Lickdale, Lebanon County, Pennsylvania.Near Lickdale, Pennsylvania (Formerly known as Union Forge) in United StatesFort Swatara, Pennsylvania Historical MarkerFort SwataraLocation of Fort SwataraShow map of PennsylvaniaFort SwataraFort Swatara (the United States)Show map of the United StatesCoordinates40°34′0″N 76°41′1″W / 4...

A siege of Slavonian town of Virovitica during Great Turkish War Siege of ViroviticaPart of Croatian-Slavonian-Dalmatian theater in Great Turkish WarDepiction of the siege from Karlsruhe archive.DateJuly 1684LocationSanjak of Pojega, modern day Slavonia, CroatiaResult Croatian-Habsburg victory Croatian-Habsburg capture of townBelligerents Army of Croatian ban Imperial Habsburg Army Ottoman TurksCommanders and leaders gen. James Leslie gen. Sigismund Trautmansdorf Nikola Erdody, ban of Croatia...

 

 

Company offering air-side aviation services at an airport Three Dornier 228 of Aerocardal at the airline's Arturo Merino Benítez International Airport base A fixed-base operator (FBO) is an organization granted the right by an airport to operate at the airport and provide aeronautical services such as fueling, hangaring, tie-down and parking, aircraft rental, aircraft maintenance, flight instruction, and similar services.[1] In common practice, an FBO is the primary provider of suppo...

 

 

伊斯兰合作组织Organisation of Islamic Cooperation(英語)Organisation de la Coopération Islamique(法語)منظمة التعاون الإسلامي(阿拉伯語) 旗帜格言:To safeguard the interests and ensure the progress and well-being of Muslims  成员国  观察国  暂停会籍行政总部 沙地阿拉伯吉达 官方语言阿拉伯语英语法语类型宗教成员国57个在籍成员国(英语:Member states of the Organisation ...

El Concilio en una calcografía de Elia Naurizio publicada en el siglo XIX El Concilio en una obra de Pasquale Cati. Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Concilio de Trento» – noticias · libros · académico · imágenesEste aviso fue puesto el 19 de septiembre de 2023. El Concilio de Trento fue un concilio ecuménico de la Iglesia católica desarrollado en periodos discontinuos durante veinti...

 

 

Organizational equality training term DEI redirects here. For other uses, see DEI (disambiguation). Flyer supporting equity, diversity and inclusion. (2016) Diversity, equity, and inclusion (DEI) are organizational frameworks which seek to promote the fair treatment and full participation of all people, particularly groups who have historically been underrepresented or subject to discrimination on the basis of identity or disability.[1] These three notions (diversity, equity, and incl...

 

 

Formal advisory body of Saudi Arabia Saudi Consultative Assembly مجلس الشورى السعوديMajlis ash-Shūra as-SaʿūdiyyTypeTypeUnicameral LeadershipSpeakerAbdullah ibn Muhammad Al ash-Sheikh since 15 February 2009 Seats150Meeting placeAl Yamamah Palace, RiyadhWebsiteOfficial English Site The Consultative Assembly of Saudi Arabia (Arabic: مجلس الشورى السعودي, romanized: Maǧlis aš-Šūrā s-Saʿūdiyy), also known as Majlis ash-Shura or The Shura Council, is...

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Sekolah Tuanku Abdul Rahman – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2016) (Learn how and when to remove this message) School in Ipoh, Perak, MalaysiaSekolah Tuanku Abdul RahmanSTARAddressJalan Sultan Azlan Shah,31400 IpohIpoh, PerakMalaysiaInfo...

 

 

Questa voce sull'argomento stagioni delle società calcistiche italiane è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Voce principale: Associazione Calcio Prato. Prato Sport ClubStagione 1931-1932Sport calcio Squadra Prato Allenatore Richard Klug Presidente Vincenzo Giarrè Prima Divisione3º posto nel girone B. 1930-1931 1932-1933 Si invita a seguire il modello di voce Questa voce raccoglie le ...