אלגברת ז'ורדן היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל חוג אסוציאטיבי), שבה פעולת הכפל, שנסמן כאן ב- ${\displaystyle \ x\bullet y}$, מקיימת את שתי האקסיומות ${\displaystyle \ x\bullet y=y\bullet x}$ ו- ${\displaystyle \ (x\bullet y)\bullet (x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))}$. בשפה של אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, אפשר לבטא אקסיומות אלה כך: ${\displaystyle \ L_{x}=R_{x}}$ ו- ${\displaystyle \ [L_{x},R_{x^{2}}]=0}$. כל אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן, וכל אלגברת ז'ורדן היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.

מבנה זה הוגדר על ידי הפיזיקאי פסקואל יורדן (Pascual Jordan) בניסיון ליצור מסגרת מופשטת למכניקת הקוונטים, והוא קרוי על-שמו.^[1] אף על פי שהניסיון נכשל, נמצא שאלגברות ז'ורדן קשורות למבנים חשובים אחרים במתמטיקה, ובפרט לאלגברות לי ספורדיות.

על-פי פרשנות קופנהגן של מכניקת הקוונטים, הגדלים הנצפים בטבע הם תוצאת הפעלתן של מטריצות הרמיטיות (או באופן כללי יותר, אופרטורים צמודים לעצמם על מרחב הילברט). לאוסף הזה של מטריצות יש חיסרון בולט: המכפלה של שתי מטריצות הרמיטיות איננה הרמיטית.

בראשית שנות השלושים ניסה הפיזיקאי פסקואל יורדן לבנות מערכת אלגברית שאבריה יהיו שווי-הערך של המטריצות ההרמיטיות, ללא המעטפת של אלגברת המטריצות הסטנדרטית. אם ${\displaystyle \ x,y}$ הן מטריצות הרמיטיות אז ${\displaystyle \ x\bullet y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}$ גם היא מטריצה הרמיטית. יורדן הבחין שהפעולה החדשה מקיימת את האקסיומות שהוזכרו במבוא, וביקש לבנות אלגברות שיקיימו את האקסיומות האלה, בלי להיעזר בפעולת הכפל הרגילה, האסוציאטיבית.

מכל אלגברה אסוציאטיבית (ואפילו רק אלטרנטיבית מימין) A אפשר לבנות אלגברת ז'ורדן ${\displaystyle A^{+}}$, על ידי פעולת האנטי קומוטטור ${\displaystyle \ \bullet }$ שהוגדרה לעיל. האלגברה ${\displaystyle A^{+}}$ פשוטה אם ורק אם A פשוטה, ונילפוטנטית אם ורק אם A נילפוטנטית. (אם 2 אינו הפיך באלגברה, מגדירים ${\displaystyle \ x\bullet y=xy+yx}$, אף על פי שבמקרה זה הקשר בין האלגברה המקורית לחדשה אינו הדוק כל-כך).

אלגברות המשוכנות באלגברות מהצורה ${\displaystyle A^{+}}$ נקראות אלגברות מיוחדות (special). (בדומה למשפט ארטין על אלגברות אלטרנטיביות, כל אלגברת ז'ורדן הנוצרת על ידי שני איברים היא מיוחדת). מטרתו המיידית של יורדן הייתה למצוא אלגברות ז'ורדן שאינן מיוחדות; כדי לנסח מחדש את מכניקת הקוונטים, יורדן נזקק לאלגברות כאלה בעלות ממד שאינו חסום.

בניה נוספת מתקבלת מכל אלגברה אסוציאטיבית עם אינוולוציה: אוסף האיברים הסימטריים, שבדרך כלל אינו סגור לכפל, סגור תחת פעולת האנטי-קומוטטור.

המשפט החשוב הראשון בתחום זה התקבל ב-1934, כאשר יורדן כתב מאמר משותף עם פון נוימן וויגנר. במאמר זה הם מוכיחים שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי שהיא גם ממשית באופן פורמלי (כלומר: אם ${\displaystyle \ x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=0}$ אז בהכרח ${\displaystyle \ x_{1}=\dots =x_{n}=0}$), שייכת לאחת מחמש משפחות:

• מטריצות הרמיטיות (מכל סדר) מעל השדה הממשי, השדה המרוכב או אלגברת הקווטרניונים הסטנדרטית;
• מטריצות הרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת קיילי (ביחס לאינוולוציה הטבעית שלה);
• 'אלגברות ספין'.

האלגברות משלוש המשפחות הראשונות, כמו גם אלגברות הספין, כולן מיוחדות. מאידך, אלגברת קיילי (ובאופן כללי יותר, כל אלגברת אוקטוניונים), היא אלגברה אלטרנטיבית שאיננה אסוציאטיבית, ולכן לא היה ברור האם האלגברה בקבוצה האחרונה היא מיוחדת (בכך שהיא מתקבלת מאלגברה אסוציאטיבית), או לא. מעט אחר-כך הוכיח המתמטיקאי אדריאן אלברט שקבוצת המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת אוקטוניונים איננה מיוחדת. אלגברות אלה (ואלו ההופכות לכאלה לאחר הרחבת סקלרים) נקראות היום אלגברות אלברט, על-שמו. כולן אלגברות פשוטות, ממימד 27.

מאוחר יותר, ב-1963, התברר שקיימות זהויות (ממעלה 8 או יותר) שאותן מקיימת כל אלגברה מיוחדת (ובפרט המטריצות ההרמיטיות), ואשר אלגברת אלברט אינה מקיימת .^[2] אם יורדן היה יודע על אקסיומות חדשות אלה וכולל אותן בהגדרה שלו, התוצאה הייתה שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי חייבת להיות מיוחדת. אבל גם עם ההגדרה המקלה יותר, הממד הקטן של אלגברות אלברט אינו מאפשר להגשים את החזון של יורדן, לפתח תאוריה אלגברית נטולת מטריצות של המטריצות ההרמיטיות.

כמו בתורת המבנה של חוגים אסוציאטיביים, לאלגברת ז'ורדן מממד סופי יש רדיקל נילי, שהוא האידיאל הנילי הגדול ביותר; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ולכן הרדיקלים ${\displaystyle \ \operatorname {Nil} J=\operatorname {Solv} J=\operatorname {Nilp} J}$ שווים. חוג המנה ביחס לרדיקל הוא סכום ישר של אלגברות ז'ורדן פשוטות. באלגברות ז'ורדן מתקיימת גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן: אם ${\displaystyle J/\operatorname {Nilp} J}$ ספרבילית, אז יש תת-אלגברה B שהיא איזומורפית למנה, וכך ש-${\displaystyle \ J\cong B\oplus \operatorname {Nilp} J}$ (סכום ישר של מרחבים וקטוריים).

המיון של אלגברות ז'ורדן פשוטות מממד סופי מעל שדה סגור אלגברית (ממאפיין שונה מ-2) הושלם בידי נתן ג'ייקובסון בשנות ה-50, והוא דומה באופיו לזה שהתקבל על ידי ז'ורדן, פון נוימן וויגנר. בעשורים הבאים הוכיח ג'ייקבסון משפטי מיון נוספים, מעל שדה כללי (ממאפיין שונה מ-2). משפטים אלה תארו כיצד לבנות אלגברה פשוטה מאלגברה עם חילוק, אבל לא הוסיפו פרטים על האלגברות עם חילוק עצמן.

נניח שבאלגברת ז'ורדן J יש אידמפוטנט e. אז ${\displaystyle \ J=J_{1}\oplus J_{1/2}\oplus J_{0}}$, כאשר ${\displaystyle \ J_{i}=\{x\in J:xe=ix\}}$, המרכיבים ${\displaystyle \ J_{0},J_{1}}$ הם תת-אלגברות, ${\displaystyle \ J_{0}J_{1}=J_{1}J_{0}=0}$, ${\displaystyle \ J_{i}J_{1/2}\subseteq J_{1/2}}$ ל-i=0,1, ו-${\displaystyle \ J_{1/2}^{2}\subseteq J_{0}+J_{1}}$.

לדוגמה, אם A אלגברה אסוציאטיבית עם אידמפוטנט e, אז e הוא אידמפוטנט גם באלגברת ז'ורדן ${\displaystyle A^{+}}$ המתאימה ל-A, ומרכיבי הפירוק המתאימים הם ${\displaystyle A_{1}=eAe,\ A_{1/2}=eA(1-e)+(1-e)Ae,\ A_{0}=(1-e)A(1-e)}$.

בראשית שנות השמונים המשיך יפים זלמנוב את מלאכת המיון הרבה מעבר למה שהיה ידוע קודם לכן. בהמשך קישר זלמנוב עבודות אלה לאלגברות לי ולחבורות מפותלות, ופתר את בעיית ברנסייד המצומצמת; על עבודה זו זכה זלמנוב במדליית פילדס.

באלגברות ז'ורדן ${\displaystyle (J,\bullet )}$ מוגדרת פעולה טרנארית המכונה 'מכפלה משולשת': ${\displaystyle \ \{x,y,z\}=(x\bullet y)\bullet z+(z\bullet y)\bullet x-y\bullet (x\bullet z)}$. איבר ${\displaystyle \ a\neq 0}$ המקיים כי ${\displaystyle a^{2}=0}$ וגם ${\displaystyle \ \{a,J,a\}=0}$ הוא "מחלק אפס מוחלט" (יש המכנים איברים אלו "איברים טריוויאליים"). במאפיין שונה מ-2, ניתן לאפיין מחלקי אפס מוחלטים כך: איבר ${\displaystyle \ a\neq 0}$הוא מחלק אפס מוחלט אם ורק אם ${\displaystyle a^{2}=0}$ וגם ${\displaystyle a\bullet (b\bullet a)=0}$ לכל ${\displaystyle b\in J}$. אם קיימים מחלקי אפס מוחלטים, האלגברה מנוונת. בכל אלגברת ז'ורדן יש רדיקל לא מנוון (שנקרא לעיתים גם רדיקל מק'רימון), שהוא האידיאל הקטן ביותר שחוג המנה ביחס אליו אינו מנוון. עבור אלגברות ז'ורדן ממימד סופי, הרדיקל הלא מנוון שווה לרדיקל הנילי, הוא סכום האידיאלים הניליים באלגברה. כל אלגברת ז'ורדן לא מנוונת היא מכפלה תת-ישרה של אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות. הרדיקל הלא מנוון של אלגברת ז'ורדן מכיל את הרדיקל הראשוני של J, ומוכל ברדיקל הפרימיטיבי למחצה שלה (חיתוך כל האידיאלים הפרימיטיביים). מכאן אפשר להסיק שאלגברת ז'ורדן פשוטה אינה מנוונת.

תמיד מתקיים כי הרדיקל הראשוני מוכל ברדיקל מק'רימון, שמוכל ברדיקל הפרימיטיבי למחצה; זה האחרון נילי כאשר עוצמת שדה הבסיס גדולה מממד האלגברה כמרחב וקטורי מעליו (בדומה למתרחש באלגברות אסוציאטיביות). אם A אלגברה אסוציאטיבית, אלגברת ז'ורדן המתאימה לה ${\displaystyle \ A^{+}}$ היא לא מנוונת, אם ורק אם A ראשונית למחצה, והרדיקל הלא מנוון של ${\displaystyle \ A^{+}}$ הוא הרדיקל הראשוני של A.

זלמנוב הוכיח שאלגברת ז'ורדן הפשוטה היחידה (לאו דווקא מממד סופי) שאינה מיוחדת, היא אלגברת אלברט מממד 27. הוא מיין אלגברות ז'ורדן פרימיטיביות, ולבסוף את האלגברות הראשוניות שאינן מנוונות. הדיכוטומיה הנובעת ממיון זה קשורה קשר הדוק לדיכוטומיה המתקיימת עבור אלגברות אלטרנטיביות פשוטות: הן מיוחדות, או מממד 8 מעל המרכז. מן המיון הזה נובע שכל אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת היא מיוחדת, או חוג אלברט (כלומר, הופכת לאלגברת אלברט לאחר מיקום מרכזי). בפירוט, אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת ${\displaystyle J}$ משתייכת לאחת מבין ארבע המשפחות הבאות:

• חוג אלברט - חוג ז'ורדן ${\displaystyle J}$ שמרכזו ${\displaystyle Z(J)\neq 0}$, איברי המרכז רגולריים ב-${\displaystyle J}$ והמיקום ${\displaystyle (Z(J)\setminus \{0\})^{-1}J}$ הוא אלגברת אלברט מעל שדה השברים של ${\displaystyle Z(J)}$
• סדר מרכזי באלגברת ז'ורדן המתאימה לתבנית ביליניארית סימטרית לא מנוונת (אלגברת ז'ורדן כזו היא מיוחדת, מאחר שמשוכנת באלגברת קליפורד המתאימה)
• תת-אלגברה של ${\displaystyle Q(A)^{(+)}}$ כאשר ${\displaystyle A}$ אלגברה אסוציאטיבית המקיימת כי ${\displaystyle A^{(+)}}$ אידיאל של ${\displaystyle J}$, ו-${\displaystyle Q(A)}$ חוג השברים של Martindale המתאים ל-${\displaystyle A}$
• תת-אלגברה של ${\displaystyle H(Q(A),\star )}$, אוסף האיברים ההרמיטיים ביחס לאינוולוציה ${\displaystyle \star :Q(A)\rightarrow Q(A)}$, כאשר ${\displaystyle Q(A)}$ כבמשפחה הקודמת, פרט לכך שהפעם ${\displaystyle H(A,\star )}$ איזומורפית לאידיאל של ${\displaystyle J}$.

זלמנוב המשיך ותיאר אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות המקיימות זהויות פולינומיות. עד כדי מיקום מרכזי, מדובר באלגברות ז'ורדן פשוטות מרכזיות או באלגברות ז'ורדן המתאימות לתבניות ביליניאריות סימטריות לא מנוונות. מיון זה משחק תפקיד משמעותי בהוכחת הנילפוטנטיות המקומית של אלגברות לי המקיימות זהויות פולינומיות ונפרשות על ידי איברים נילפוטנטיים, תוצאה העומדת בבסיס פתרון בעיית ברנסייד המצומצמת.

משפטי מיון דומים תקפים גם לגבי זוגות ז'ורדן.

באלגברת ז'ורדן מסמנים ${\displaystyle \,U_{x}=2L_{x}^{2}-L_{x^{2}}}$ (כאשר ${\displaystyle \,L_{x}y=x\bullet y}$). זהו אופרטור 'הכפל החיצוני' באיבר, בהתאם למכפלה המשולשת שהוגדרה לעיל: ${\displaystyle \,U_{x}(y)=\{x,y,x\}}$. איבר x הוא הפיך אם קיים איבר y כך ש-${\displaystyle \,x\bullet y=1,\quad x^{2}\bullet y=x}$. במקרה זה האופרטור ${\displaystyle \,U_{x}}$ הפיך, וההפכי y הוא האיבר ${\displaystyle \,x^{-1}=U_{x}^{-1}x}$. אלגברת ז'ורדן שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק. משפטי המיון של זלמנוב כוללים בין היתר את המיון של אלגברות ז'ורדן עם חילוק לארבע משפחות: (1) האלגברה ${\displaystyle \,D^{+}}$ כאשר D אלגברת חילוק אסוציאטיבית; (2) האלגברה ${\displaystyle \,Sym(D,*)}$ כאשר D אלגברת חילוק אסוציאטיבית עם אינוולוציה *; (3) אלגברת ז'ורדן-קליפורד של תבנית ריבועית q כאשר ${\displaystyle \langle 1\rangle \perp -q}$ לא איזוטרופית; (4) אלגברת אלברט של תבנית קובית לא איזוטרופית.

אלגברת ז'ורדן החופשית ${\displaystyle FJ}$ (על קבוצת משתנים כלשהי) היא האלגברה הלא-אסוציאטיבית החופשית המקיימת את זהויות ז'ורדן; כל אלגברת ז'ורדן היא תמונה הומומורפית של אלגברת ז'ורדן חופשית כלשהי. שני אידיאלים חשובים של אלגברת ז'ורדן החופשית הם ${\displaystyle S\triangleleft FJ}$, של כל הזהויות של אלגברות מיוחדות ו-${\displaystyle T\triangleleft FJ}$, של הזהויות של חוגי אלברט. רדיקל מק'רימון של אלגברת ז'ורדן החופשית ביותר משני יוצרים איננו טריוויאלי (בפרט, אלגברת ז'ורדן החופשית על שלושה יוצרים ומעלה איננה תחום). יתרה מזאת, הוא שווה לחיתוך ${\displaystyle S\cap T}$. המנה ${\displaystyle FJ/S}$ היא אלגברת ז'ורדן המיוחדת החופשית, ומתברר שהיא מיוחדת בעצמה.

אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות מוגדרות על-פי זהות הגמישות ${\displaystyle \ L_{x}R_{x}=R_{x}L_{x}}$ והזהות ${\displaystyle \ [L_{x},R_{x^{2}}]=0}$, כאשר ${\displaystyle \ L_{x}}$ ו-${\displaystyle \ R_{x}}$ הן פעולות הכפל משמאל והכפל מימין ב-x, בהתאמה (בנוכחותה של זהות הגמישות, כל הנחה על-כך ש- ${\displaystyle \ L_{x}}$ או ${\displaystyle \ R_{x}}$ מתחלף עם ${\displaystyle \ L_{x^{2}}}$ או ${\displaystyle \ R_{x^{2}}}$ גוררת את כל האחרות). לכל x, הפעולות ${\displaystyle \ L_{a^{i}},R_{a^{i}}}$ מתחלפות כולן זו עם זו, ולכן יש לאלגברה חזקה אסוציאטיבית בהחלט. כל אלגברה ריבועית גמישה (כגון אלגברות קיילי-דיקסון) היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.

נניח שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. האלגברה A היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית אם ורק אם היא גמישה, ו-${\displaystyle \ A^{+}}$ (שבה מוגדר הכפל לפי ${\displaystyle \ x*y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}$) היא אלגברת ז'ורדן (קומוטטיבית). בכל אלגברה עם פעולה אנטי-סימטרית מתקיים ${\displaystyle \ x^{2}=0}$ ו- ${\displaystyle \ R_{x}=-L_{x}}$, ולכן כל אלגברה כזו היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית. בפרט, כל אלגברת לי בינארית (ולכן כל אלגברת מלצב, ובוודאי כל אלגברת לי) היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.

אף על פי שבאלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות ממד סופי יש רדיקל נילי, הן אינן מקיימות גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן.

במאפיין אפס, כל אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית פשוטה היא (1) אלגברת ז'ורדן, (2) אלגברה גמישה ריבועית, או (3) אלגברה קוואזי-אסוציאטיבית (האחרונות מתקבלות מאלגברה אסוציאטיבית מהדפורמציה ${\displaystyle \ x*y=\alpha xy+\beta yx}$).

מאז שנות השישים של המאה העשרים הופיעו בספרות המחקר מערכות אלגבריות דומות לאלגברות ז'ורדן. בין אלה אפשר למנות: אלגברות ז'ורדן ריבועיות (המאפשרות הכללה לחוג בסיס כלשהו, לרבות בעל מאפיין 2), מערכות ז'ורדן משולשות, זוגות ז'ורדן וסופר-אלגברות ז'ורדן.

• אלגברת ז'ורדן, באתר MathWorld (באנגלית)