הינקו אורבך נולד בכפר מוראבקה אשר בחבל מוראביה לנתן ולנה. בגיל שבע התייתם מאימו ונאלץ להתפרנס למחייתו. הוא נשלח ללמוד בתלמוד תורה ובהמשך למד בישיבת פרשבורג אשר בברטיסלאבה. עם סיום לימודיו עסק בהוראה בברטיסלאבה לתקופה מסוימת. בהמשך, רכש תואר בלימודי רבנות (MRb) בבודפשט. ב-1904 סיים תואר באוניברסיטת בודפשט והתמחה בפילולוגיה השוואתית של שפות שמיות. בבודפשט נישא לשרה לבית פלדמן.
בנו בנימין אורבך נלקח לעבודות כפייה. הוא ניצל מגירוש למחנות ההשמדה בזכות פעולתה של משפחת קומליינוביץ (סרבו-קרואטית: Komljenovic) שהעניקה לו מחסה אף על פי שבן המשפחה בוריסלאב היה חבר באוסטאשה ובנימין היה בחזקת מבוקש על ידי השלטונות. לבסוף עלה בידי אימו של בנימין להמציא לו מסמכים מזויפים והוא נמלט בעזרתם למוסטאר שהייתה בשטח הכיבוש האיטלקי וכך ניצל. ב-1995, העניק ארגון יד ושם את עיטור חסיד אומות העולם למשפחת קומליינוביץ.[5] לאחר המלחמה היגר בנימין אורבך לצרפת.
לאחר שחרור יוגוסלביה שבו הרב אורבך ורעייתו ליוגוסלביה וב-1946 מונה הינקו אורבך לרב הראשי ליהודי זאגרב.[6]
אורבך היה היחיד מבין המועצה העליונה של הרבנות הראשית בממלכת יוגוסלביה אשר שרד את השואה וזכה להערכה רבה בקרב הקהילות היהודיות על גווניהן השונים. הוא היה פעיל בהקמת ארגון הקהילות היהודיות של יוגוסלביה ובחידוש פעולתו של בית הדין הרבני הגדול. מעמדו בקרב יהודי ארצות הברית הקל על קבלת סיוע חומרי וכספי שסייע לתקומתן של הקהילות השונות. הוא יזם את כנס רבני הקהילות של יוגוסלביה שנערך בבלגרד ב-26 במרץ1947 ובו התקבלה רשמית עמדתו בדבר הצורך באופי יהודי-אורתודוקסי בניהול חיי הדת בקהילות השונות. בפועל, נשמר הסטאטוס קוו בקהילות השונות. בשלהי 1948, לאחר הקמת מדינת ישראל עלו הרב אורבך ורעייתו ארצה.[4] הוא השתקע בירושלים אך ב-1953 היגר עם רעייתו לפריז, שם התגורר בנו ומשפחתו.[7] ב-1960 הלך הרב הינקו אורבך לעולמו בפריז והוא בן 88 שנים.