דב רוזין, אביו של יהושע, עלה לארץ ישראל מפלונסק שבפולין. אימו, מלכה פריידין, עלתה ממינסק, בירת בלארוס, לפני מלחמת העולם הראשונה. גירוש תושבי תל אביב היהודיים על ידי הטורקים העות'מאנים עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה אילץ את הוריו לעזוב למצרים. יהושע רוזין נולד באלכסנדריה שבמצרים באוגוסט 1918. זמן קצר לאחר מכן, בהיותו בן חצי שנה, חזרה משפחתו ארצה לתל אביב. הוא למד בבית הספר היסודי-דתי "תחכמוני" ואת לימודיו התיכוניים השלים ב"בית הספר התיכוני למסחר", שלימים ייקרא "גימנסיה גאולה". בנעוריו התמקד בכדוריד ובטניס.
מכבי תל אביב
בשנת 1932, בגיל 14, חבר יהושע רוזין למספר שחקנים אמריקאים (סם שטיינברג ואל פליישר) ושחקנים ישראלים (צביקה שמרלינג, משה ברוך, ויצחק פדרמן) ויחדיו הם יצרו את הגרעין הראשון של קבוצת מכבי תל אביב. ההתחלה הייתה במגרש הכדורגל הישן ברחוב סלמה, סמוך לשכונת שפירא, ולאחר מכן עברו למגרש ברחוב המכבי ליד קולנוע אוריון.
בשנותיו הראשונות תיפקד יהושע כשחקן בקבוצת מכבי תל אביב, אולם עד מהרה ב-1938 תפס את המושכות ונהפך להיות מאמנה הראשון של מכבי תל אביב.
מכאן ועד עזיבתו של יהושע רוזין את המועדון, שלטה מכבי תל אביב בליגה הלאומית כמעט ללא עוררין ובמהלך כל שנותיו כמאמן מכבי זכתה הקבוצה ברוב האליפויות וגביעי המדינה, כשהמתחרה העיקרית שלה במהלך תקופה זו הייתה הפועל תל אביב.
סגל השחקנים של שנות החמישים והשישים כלל בין היתר את הקפטן אברהם שניאור, שהיה גם הקפטן הראשון של נבחרת ישראל, זכריה עופרי, יהודה "קנבוס" וינר, מנחם קורמן (שהיה הראשון לאמץ את שיטת קליעת הג'אמפ-שוט בארץ במקום קליעה מעמידה על הרצפה), דוד פריש שהיה שחקן הגנה מצטיין, אמנון אבידן (בהמשך יו"ר הוועדה המקצועית במכבי תל אביב וחבר הנהלת איגוד הכדורסל), שבתאי בן בסט, אברהם חסיד, משה גולוביי ששיחק עד שנפצע במלחמת יום הכיפורים, אברהם הופמן כוכבה של מכבי ירושלים שעבר לשחק בשורות מכבי תל אביב בשנות השישים וחיים שטרקמן הרכז המצטיין שהיה במשך 12 שנים קפטן הקבוצה ולאחר מכן שימש כעוזרו של רוזין באימון הקבוצה.
רוזין צירף לסגל זה שני שחקנים נוספים אחד מהם היה רלף קליין, בחור צעיר שעלה לישראל מהונגריה והיווה את חוד החנית של הקבוצה בכל הקשור לקליעה וצליפה מרחוק והיה לקפטן הקבוצה השני של מכבי תל אביב. לימים יהא זה קליין שיחליף את יהושע במשרת מאמן מכבי תל אביב.
הופעתה של קבוצת הכדורסל מכבי תל אביב במסגרת האירופאית, החלה בשנת 1958, במשחקי גביע אירופה לקבוצות אלופות.
בשנת 1970 הוחלף יהושע רוזין על ידי רלף קליין והוא חזר למועדון למשך שתי עונות נוספות בשנת 1972–1973 שלאחריהן סיים תקופה של 40 שנה במכבי תל אביב.
נבחרת ישראל
יהושע רוזין מונה למאמנה הראשון של "נבחרת ארץ ישראל" במשותף עם אהרון עמישב (אומשווייץ), תוך כוונה לאמן אותה לקראת משחקי פסטיבל הנוער הדמוקרטי בשנת 1947 בפראג שבצ'כוסלובקיה. הטורניר הסתיים ב-3 ניצחונות ו-3 הפסדים לנבחרת הארצישראלית.
רוזין מונה למאמן נבחרת ישראל גם בשנת 1950 במכביה השלישית (והראשונה בישראל) וב-1953 במכביה הרביעית.
בשנת 1960 שימש רוזין כעוזר מאמן נבחרת הכדורסל של ישראל לאולימפיאדת רומא, למאמן האמריקאי מיקי פישר. הנבחרת השתתפה בטורניר הקדם-אולימפי אך לא הצליחה להעפיל לטורניר האולימפי עצמו.
בשנת 1961 התמנה רוזין כמאמן נבחרת ישראל באליפות אירופה שהתקיימה בבלגרד (יוגוסלביה), בה סיימה במקום ה-11.
בשנת 1963 שימש מאמן הנבחרת באליפות אירופה שנערכה בוורוצלב (פולין). הנבחרת סיימה במקום התשיעי וניצחה מול טורקיה, הולנד, רומניה וצ'כוסלובקיה.
קבוצות נוספות אותן אימן
1969/70 יהושע רוזין עזב לראשונה את מועדון מכבי תל אביב לאחר 40 שנה ועבר לאמן את קבוצת הפועל חולון עם כוכביה עופר אשד (שחקן הנבחרת) ואורי שטרן והביא אותה למקום השלישי בסיום הליגה.
1988/9 אליצור נתניה מצאה את עצמה מתמודדת בתחתית הליגה הלאומית ולראשונה בקריירה הספורטיבית שלו התפטר מאימון קבוצה במהלך העונה. אריק בראילובסקי מונה במקומו.
1989-1999 אחראי על מחלקת הילדים והנוער של הפועל תל אביב ומאמן תלמידים בבתי ספר בפרויקט של עיריית תל אביב.
פעילויות נוספות
רוזין נמנה עם מקימיו של בית הספר למאמנים ומדריכים במכון ווינגייט בשנת 1965. רוזין ניהל את קורס מאמני הכדורסל הראשון והמשיך בזאת במשך כחמש עשרה שנים תוך שהכשיר מאות מאמנים, עוזרי מאמנים ומדריכים במסגרת זו במכון ובשלוחותיו ברחבי הארץ.
בשנת 1973 שימש רוזין כמאמן נבחרת הסטודנטים (נבחרת אס"א ישראל - איגוד הספורט האקדמי) שייצגה את ישראל במשחקי האוניברסיאדה במוסקבה (ברית המועצות). ב-15 באוגוסט אותה שנה צעדה משלחת ישראל באצטדיון "לנין" במוסקבה, וזאת בתקופה שלישראל לא היו יחסים דיפלומטיים עם ברית המועצות. ישראל השתתפה בטורניר וזכתה במקום ה-9 מבין 29 נבחרות שהשתתפו בו.
בשנת 1971 הציעה רשות הספורט המערב-גרמנית לרוזין לשמש כמאמן נבחרת מערב גרמניה בכדורסל למשחקי אליפות אירופה שהתקיימו באותה שנה בגרמניה עצמה, וכן להכין ולאמן את נבחרת גרמניה לאולימפיאדת מינכן בשנה לאחר מכן. רוזין דחה את ההצעה לאור משקעי העבר בין ישראל לגרמניה.
תארים ופרסים
זכייה באליפויות הליגה הלאומית עם מכבי תל אביב: 1953/4, 1954/5, 1956/7, 1957/8, 1958/9, 1961/2, 1962/3, 1963/4, 1966/7, 1967/8, 1972/3, 1973/4
זכייה בגביע המדינה עם מכבי תל אביב: 1955/6, 1957/8, 1958/9, 1960/1, 1962/3, 1963/4, 1964/5, 1965/6, 1972/3.
1998 קבלת גביע הוועד האולימפי לכבוד 50 שנה למדינת ישראל
1999 חתן פרס ישראל בתחום הספורט ותרבות הגוף
בטקס שנערך ב-28 בפברואר 2008 לציון 50 שנה להיווסדות המפעלים האירופאים בכדורסל נבחר רוזין לאחד מ-13 הסמלים הגדולים של מכבי תל אביב בכל הזמנים. אות הוקרה מטעם היורוליג הוענק לבנו אלדר[2].
יהושע רוזין נפטר בשנת 2002 ונטמן בבית העלמין מורשה ברמת השרון. הוא השאיר אחריו את רעייתו יפה, שני בנים - דובי ואלדר ונכדים.