קוויט נולד בעיר אופה, בשקורטוסטן, רוסיה וכילד החל להתחרות בקארטינג ברוסיה ובאיטליה. בשנת 2009 סיים במקום השלישי באליפות אירופה בקטגוריית KF3 וסיים במקום השני באליפות העולם. בשנת 2010 החל להתחרות בסבב הפורמולה ב.מ.וו האסייתי ובמהלך העונה חתם בקבוצת הפיתוח של רד בול והחל להתחרות גם בסבב הפורמולה ב.מ.וו האירופאי. במקביל, השתתף בשני המרוצים האחרונים של סבב הפורמולה רנו 2.0 האירופאי.
במהלך החודשים ינואר ופברואר השתתף בתחרויות במסגרת סבב המרוצים של טויוטה בניו זילנד ובהמשך העונה התחרה בסבב הפורמולה רנו 2.0 האירופאי ובמקביל גם בסבב האליפות הצפון-אירופאי. בסבב האירופאי השיג שני ניצחונות וסיים את העונה במקום השלישי ובסבב הצפון-אירופאי השיג שבעה ניצחונות וסיים במקום השני אחרי קרלוס סאינס. בשנת 2012 התחרה במקביל בסבב פורמולה רנו 2.0 האירופאי ובסבב האלפי. בחודש מרץ הוא פתח את הסבב האלפי עם ניצחון כפול במונצה[1] ובחודש מאי רשם ניצחון כפול באירוע הפתיחה של הסבב האירופאי באראגון[2]. בסבב האלפי השיג שבעה ניצחונות במהלך העונה וסיים כאלוף. בסבב האירופאי השיג מספר ניצחונות דומה, אך הגיע רק למקום השני.
בעונת 2013 התחרה שוב בשתי מסגרות מקבילות: סבב ה-GP3 ופורמולה 3 האירופאית. בשל רישום מאוחר לסבב הפורמולה 3 נחשב למתחרה אורח ולמרות שהשיג ניצחון ושישה פודיומים במהלך העונה לא צבר נקודות. בסבב ה-GP3 הגיע לפודיום לראשונה רק באירוע החמישי[3], אך עד לסיום העונה השיג שלושה ניצחונות ופודיום נוסף וזכה באליפות בעונת הבכורה שלו.
באוקטובר 2013 הוכרז קוויט כמחליפו של דניאל ריקארדו בקבוצת טורו רוסו[4]. הוא שותף כנהג ניסויים באימון המקדים של שני המרוצים האחרונים בעונה בארצות הברית ובברזיל[5]. מרוץ הבכורה שלו בפורמולה 1 היה מרוץ פתיחת העונה באוסטרליה אותו סיים במקום התשיעי. בכך הפך קוויט, בן ה-19, לנהג הצעיר ביותר שצובר נקודות, כשהוא שובר את שיאו של סבסטיאן פטל[6]. שנה לאחר מכן ישבר השיא על ידי מקס ורסטאפן, גם הוא נהג בקבוצת טורו רוסו. בעונת הבכורה השיג שמונה נקודות אותן צבר בשישה מרוצים שונים. בחודש אוקטובר הודיע פטל על כוונתו לעזוב את קבוצת רד בול בסיום העונה וקוויט נבחר למלא את מקומו[7].
קוויט נאלץ להחמיץ את מרוץ פתיחת העונה בשל בעיה בהילוכים. בגרנד פרי ההונגרי הצליח לרשום את הישגו הטוב ביותר בעונה, כשסיים במקום השני והגיע לפודיום לראשונה. את העונה סיים במקום השביעי, כשלזכותו 95 נקודות. את עונת 2016 פתח בקבוצת רד בול ובגרנד פרי הסיני השיג את הפודיום השני בקריירה, כשסיים במקום השלישי[8]. בגרנד פרי הרוסי התנגש קוויט בסבסטיאן פטל והוציא אותו מהמרוץ. התנהגותו של קוויט הובילה את הנהלת הקבוצה לבצע שינוי ולהחליף בינו ובין ורסטאפן מקבוצת המשנה ארבעה מרוצים לאחר תחילת העונה[9]. לאחר שחזר לקבוצת טורו רוסו התקשה להציג את יכולותיו ובשבעת המרוצים הבאים צבר שתי נקודות בלבד. הדבר הוביל לכך שבחודש יולי הודיעה הקבוצה כי לא תחדש עמו את החוזה בסיום העונה[10].
למרות ההכרזה המשיך להתחרות עבור הקבוצה גם בעונת 2017. ב-14 המרוצים הראשונים צבר רק 4 נקודות. בעקבות כך הוחלף על ידי פייר גאסלי, שתפס את מקומו בגרנד פרי מלזיה וביפן[11]. קוויט חזר להתחרות בגרנד פרי בארצות הברית, אך לאחר המרוץ הודיעה הקבוצה על פרידה סופית ממנו[12].
לאחר הפרידה מטורו רוסו עבר לשמש כנהג פיתוח בקבוצת פרארי[13]. בספטמבר 2018, בסמוך לגרנד פרי רוסיה הודיעה טורו רוסו על חזרתו של קוויט לקבוצה בעונת 2019 כמחליפו של פייר גאסלי שעבר לקבוצת רד בול[14]. קוויט הפך לאב במהלך סוף השבוע של גרנד פרי גרמניה, אליו זינק מהמקום ה-14. המרוץ התקיים תחת גשם כבד והיה גדוש באירועים, בסיומו חצה את קו הסיום במקום השלישי והשיג פודיום ראשון לקבוצה לאחר 11 שנים[15].
