קבוצת מינארדי התחרתה בפורמולה 1 בין השנים 1985 עד 2005. אף על פי שלקבוצה היו אוהדים רבים היא הייתה אחת מהקבוצות הפחות תחרותיות בתולדות האליפות. במהלך 20 העונות בהן השתתפה לא הצליחה הקבוצה להשיג ניצחון או פודיום אחד. פול סטודארט, הבעלים של הקבוצה, טען שקיבל 41 הצעות לרכישת הקבוצה, אך חיפש מישהו שיוכל לקחת את הקבוצה "קדימה אל העתיד". אחד מתנאי המכירה היו שהבסיס של הקבוצה יישאר בפאנזה, איטליה לפחות עד לשנת 2007[1]. מיד לאחר הרכישה שינתה הקבוצה את שמה ל-Scuderia Toro Rosso, שם המדגיש את המורשת האיטלקית של הקבוצה.
טורו רוסו
ויטנטוניו ליוצ'י וסקוט ספיד היו נהגי הקבוצה בעונת הבכורה. ליוצ'י התחרה באופן חלקי עבור קבוצת רד בול בעונת 2005 וסקוט ספיד נהג עבור הקבוצה האוסטרית בתחרוית שהתקיימו בארצות הברית ובקנדה באותה עונה. מכוניות המרוץ של הקבוצה התבססו על השלדה והמנוע של רכבי רד בול מהעונה הקודמת, אך מהירות המנוע הוגבלה ל-17,000 סל"ד כדי שהרכב יוכל להתחרות נגד הרכבים עם מנועי ה-V8 החדשים. חלק מהקבוצות העלו טענות כי הדבר נוגד את הכללים הדורשים שכל קבוצה תתכנן בעצמה את רכבי המרוץ. להגנתה טענה הקבוצה כי התכנון מבוסס על תכנון של פורד, שהחזיקה בקבוצת יגואר רייסינג לפני שזאת נמכרה לרד בול. במהלך העונה השיגה הקבוצה נקודה אחת בלבד, לאחר שליוצ'י סיים במקום השמיני בגרנד פרי האמריקאי.
לקראת עונת 2007 החליפה הקבוצה את ספקית המנועים ועברה להשתמש במנועי V8 של פרארי. ליוצ'י וספיד פתחו את העונה כנהגי הקבוצה. מבחינת הישגים העונה הייתה מאכזבת וכללה טעויות רבות של צמד הנהגים, דבר שהוביל לצבירת נקודות נמוכה במהלך העונה. בעקבות סכסוך שוחרר ספיד מהקבוצה בחודש יולי ובמקומו הוחתם סבסטיאן פטל, ששימש כנהג שלישי בקבוצת ב.מ.וו-סאובר[2]. בגרנד פרי הסיני, שהתקיים מרוץ אחד לפני סיום העונה, סיים פטל במקום הרביעי וליוצ'י במקם השמיני - ההישג הקבוצתי הטוב ביותר של במהלך העונה. פטל הוחתם בקבוצה גם לעונה הבאה[3], ולצידו הוחתם סבסטיאן בורדה הצרפתי.
בעונתה השלישית המשיכה הקבוצה להראות מגמה של שיפור, שהגיע לשיאו בגרנד פרי האיטלקי. סבסטיאן פטל ניצח במקצה הדירוג וזינק מהפול פוזישן ובסיום המרוץ רשם ניצחון ראשון בקריירה האישית, שהיה גם הניצחון הראשון והיחידי בתולדות הקבוצה[4]. בסיום העונה השיגה הקבוצה 39 נקודות, 35 מתוכן הושגו על ידי פטל. הייתה זאת הפעם היחידה שבה השיגה טורו רוסו יותר נקודות מקבוצת האם, רד בול. לקראת עונת 2009 עבר פטל לרד בול ואת מקומו תפס סבסטיאן בואמי השווייצרי[5]. בהיעדרו של פטל התקשה הקבוצה לשחזר את הישגי העונה הקודמת וסיימה את העונה עם שמונה נקודות בלבד. בעקבות חוסר ההצלחה הוחלף במהלך העונה סבסטיאן בורדה בג'יימי אלגרסוארי, שהשתתף בשמונה מרוצים אך לא הצליח לצבור נקודות. למרות חוסר ההצלחה, החליטה הקבוצה להמשיך עם צמד הנהגים גם בעונה הבאה. גם בעונה זאת לא נרשמה הצלחה גדולה והקבוצה צברה 13 נקודות בלבד וסיימה במקום התשיעי מבין היצרניות. בעונתם השלישית כצמד הנהגים של הקבוצה השתפר קצב צבירת הנקודות - בואמי צבר נקודות ראשונות כבר במרוץ פתיחת העונה, לאחר שסיים במקום השמיני. לאלגרסוארי נדרשו שבעה מרוצים עד שצבר נקודות, אך הוא סיים את העונה עם 26 נקודות, 11 נקודות יותר מחברו לקבוצה.
לקראת עונת 2012 עשתה הקבוצה שינוי במצבת הנהגים והחתימה את דניאל ריקארדו וז'אן-אריק ורן הצעירים, ששימשו כנהגי ניסוי בעונה הקודמת[6]. ריקארדו צבר נקודות ראשונות כבר במרוץ פתיחת העונה וורן צבר נקודות ראשונות במרוץ השני. לאחר הפתיחה הטובה התקשו הנהגים לבור נקודות נוספות בעשרת המרוצים הבאים. בגרנד פרי הבלגי סיימו במקום השמיני והתשיעי, הישג עליו חזרו שוב בגרנד פרי הקוריאני. את העונה סיימה הקבוצה עם 26 נקודות. ב2013 היה זה ורן שצבר ראשון נקודות, כשסיים את הגרנד פרי האוסטרלי במקום העשירי. ריקארדו נאלץ להמתין עד הגרנד פרי הסיני, בו סיים במקום השביעי, הישג שיא עבורו עד אותו הזמן. בחודש יוני הודיע מארק ובר, נהגה של קבוצת רד בול, על כוונתו לפרוש בסיום העונה, הודעה שגרמה לצמד נהגי הקבוצה להתחרות ביניהם על המקום הנכסף בקבוצת האם. במרוץ לאחר מכן, שהתקיים בבריטניה, זינק ריקארדו מהמקום החמישי וסיים במקום השמיני, בעוד ורן נאלץ לפרוש לאחר 35 הקפות בשל תקר. בגרנד פרי הגרמני סיים ריקארדו במקום ה-12, בעוד ורן נאלץ לפרוש שוב. במקצי הדירוג לגרנד פרי ההונגרי הגיעו למקומות ה-18 וה-19, הדירוג הנמוך ביותר של הקבוצה לאורך כל העונה. למרות הדירוג הנמוך הצליח ריקארדו לסיים במקום העשירי ולצבור ניקוד, בעוד ורן סיים במקום ה-12. לקראת המרוץ הבא הודיעה רד בול על החתמתו של ריקארדו כמחליפו של וובר החל מעונת 2014.
במאי 2013 הודיעה הקבוצה על סיום שיתוף הפעולה עם פרארי וחתמה על הסכם לשיתוף פעולה עם רנו לאספקת המנועים לרכב הקבוצה[7]. את מקומו של ריקארדו נבחר למלא דניאיל קוויט הרוסי, לצידו של ורן, שהמשיך לעונה שלישית בקבוצה[8]. במרוץ הפתיחה דורג ורן במקום השישי וקוויט במקום השמיני, השניים סיימו את המרוץ במקום השמיני והתשיעי, בהתאמה. בכך הפך קוויט לנהג הצעיר ביותר שמשיג נקודות בתולדות האליפות, כשהוא שובר את שיאו של סבסטיאן פטל[9]. במהלך העונה הצליחו הנהגים להשיג הישגים נאים במקצי הדירוג, אך התקשו לצבור נקודות, בין היתר בשל בעיות כניות, שאילצו כל אחד מהם לפרוש מחמישה מרוצים שונים במהלך העונה. במהלך חודש אוגוסט הודיעה הקבוצה על כוונתה לצרף לשורותיה את מקס ורסטאפן, שהיה אז בן 16, לצידו של קוויט החל מהעונה הבאה[10]. לשם כך התכוונה הקבוצה לוותר על ורן, אך ההודעה של פטל על עזיבתו את רד בול בסיום העונה, נתנה לנהג הצרפתי סיכוי נוסף, כאשר מולו התמודדו על המקום קרלוס סאינס ופייר גאסלי, נהגי קבוצת הפיתוח של רד בול שסיימו במקום הראשון והשני באליפות פורמולה רנו 3.5[11], מתמודד נוסף על המקום היה אלכס לין, שזכה באליפות סבב ה-GP3[12]. בסופו של דבר, היה זה ורן שהודיע לאחר סיום העונה על עזיבתו את הקבוצה[13] ויומיים אחר כך הודיעה הקבוצה על צירופו של סאינס[14].
ורסטאפן אמנם נאלץ לפרוש במהלך מרוץ הבכורה של העונה, אך הפך לנהג הצעיר ביותר שהתחרה אי פעם באליפות, כשהוא בן 17 שנים ו-166 ימים[15]. את הנקודות הראשונות צבר לאחר שסיים במקום השביעי בגרנד פרי המלזי והפך לנהג הצעיר ביותר שצבר נקודות באליפות, ובכך שבר את השיא שקבע בעונה הקודמת קוויט[16]. הנהג הצעיר המשיך לצבור נקודות בקצב מרשים ואת עונת הבכורה סיים עם 49 נקודות, הכי הרבה נקודות שנצברו על ידי נהג אחד בתולדות הקבוצה. יחד עם 18 הנקודות שצבר סאינס הייתה זאת העונה המוצלחת ביותר מבחינת קצב צבירת הנקודות עבור טורו רוסו.
סאינס וורסטאפן פתחו גם את עונת 2016 בקבוצה, אך לאחר ארבעה מרוצים הוחלט להעביר את ורסטאפן לקבוצת רד בול ובמקומו הוחזר לקבוצה קוויט[17]. סאינס המשיך במגמת השיפור וסיים את העונה עם 46 נקודות. קוויט הוסיף עוד ארבע נקודות. הצמד המשיך יחד גם בעונת 2017. במהלך חודש ספטמבר חתמה הקבוצה על הסכם משולב עם קבוצת מקלארן, רנו והונדה. הקבוצה ויתרה על החוזה לאספקת מנועים בעונת 2018 שהיה לה עם רנו וחתמה במקום זאת עם הונדה[18]. בנוסף הוסכם כי סאינס יושאל לעונה אחת לקבוצת רנו[19]. בהמשך החודש הודיעה הקבוצה כי פייר גאסלי, החבר בתוכנית פיתוח הנהגים של הקבוצה, יתחרה בשני מרוצים במקומו של קוויט[20]. בתחילת חודש אוקטובר הוחלט כי המעבר של סאינס לרנו יתבצע מיד לאחר גרנד פרי יפן וגאסלי המשיך להתחרות עבור הקבוצה לצידו של קוויט[21].
גאסלי והארטלי התחרו עבור הקבוצה לאורך כל עונת 2018. בגרנד פרי בחריין, המרוץ השני בעונה, סיים גאסלי במקום הרביעי. התוצאה הטובה ביותר של הקבוצה לאורך העונה. הארטלי סבל במהלך העונה מבעיות מנוע וגיר רבות ונאלץ לפרוש ממספר מרוצים. בסיום העונה דורגה הקבוצה במקום התשיעי עם 33 נקודות, רק 4 מהן הושגו על ידי הארטלי.
לקראת עונת 2019 גאסלי קודם לקבוצת רד בול במקומו של דניאל ריקארדו, שעזב לרנו, ובמקומו הוחזר לקבוצה קוויט. את מקומו של הארטלי לקח אלכסנדר אלבון, שסיים במקום השלישי בעונת 2018 בפורמולה 2. בגרנד פרי מונקו סיימו שני הנהגים בעשירייה הראשונה, הפעם הראשונה לאחר יותר משנתיים שהקבוצה צברה נקודות כפולות. גרנד פרי גרמניה התנהל תחת גשם כבד, שגרם לאירועים רבים על המסלול. ניהול אסטרטגי מוצלח של הקבוצה הסתיים עם מקום על הפודיום לקוויט, שסיים שלישי, ומקום שישי לאלבון. היה זה הפודיום הראשון של הקוצה לאחר 11 שנים[22]. חוסר שביעות רצון מהישגיו של גאסלי בחצי העונה הראשונה ברד בול הובילו את הקבוצה לבצע החלפה לקראת גרנד פרי בלגיה: אלבון קודם לקבוצה הבכירה וגאסלי חזר לטורו רוסו[23]. בגרנד פרי ברזיל השיג גאסלי את הפודיום השני בעונה, לאחר שגבר על לואיס המילטון בקרב צמוד לאורך ההקפה האחרונה של המרוץ[24].
בספטמבר 2019 הגישה קבוצת טורו רוסו בקשה לשנות את שמה. ב-1 בדצמבר הוכרז שמה החדש של הקבוצה: "אלפאטאורי", על שם מותג האופנה שבבעלות רד בול[25].