O teorema fundamental do cálculo consiste (intuitivamente) na afirmación de que a derivación e integración dunha función son operacións inversas.^[1] Isto significa que toda función limitada e integrable (que sexa continua ou en todo caso descontinua nun número finito de puntos) verifica que a derivada da súa integral é igual a ela mesma. Este teorema é central na rama das matemáticas denominada análise matemática ou cálculo.

O teorema considérase fundamental porque até entón o cálculo aproximado de áreas -integrais- no que se viña traballando dende Arquímedes, era unha rama das matemáticas que se seguía por separado do cálculo diferencial que viñan desenvolvendo por Isaac Newton, Isaac Barrow e Gottfried Leibniz no século XVIII, e deu lugar a conceptos como o das derivadas. As integrais eran investigadas como formas de estudar áreas e volumes, ata que nese punto da historia ambas as ramas converxeron, ao demostrarse que o estudo da "área baixa unha función" estaba intimamente ligado ao cálculo diferencial, resultando a integración, a operación inversa á derivación.

Unha consecuencia directa deste teorema é a regra de Barrow, denominada en ocasións segundo teorema fundamental do cálculo, e que permite calcular a integral dunha función empregando a integral indefinida da función ao ser integrada.^[2]

O teorema fundamental do cálculo refírese á diferenciación e á integración, demostrando que estas dúas operacións son esencialmente inversas unha da outra. Antes do descubrimento deste teorema, non se recoñecía que estas dúas operacións estaban relacionadas. Os antigos matemáticos gregos sabían como calcular a área a través dos infinitesimais, unha operación que agora chamariamos integración. As orixes da diferenciación son tamén anteriores ao teorema fundamental do cálculo en centos de anos; por exemplo, no século XIV as nocións de continuidade de funcións e de movemento estudábanas entre outros os calculadores de Oxford. A relevancia histórica do teorema fundamental do cálculo non é a capacidade de calcular estas operacións, senón a constatación de que estas dúas operacións distintas en aparencia (cálculo de áreas xeométricas e cálculo de velocidades) tiñan finalmente unha estreita relación.

A primeira enunciación publicada e probada dunha versión restrinxida do teorema fundamental foi feita por James Gregory (1638–1675).^[3] Isaac Barrow (1630–1677) demostrou unha versión máis xeneralizada do teorema, mentres que o alumno de Barrow Isaac Newton (1642–1727) completou o desenvolvemento da teoría matemática relacionada.^[4] Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizou o coñecemento nun cálculo das cantidades infinitesimais e introduciu a notación empregada na actualidade.

Supóñase que se ten unha función continua y = f(x) e que a súa representación gráfica é unha curva. Entón, para cada valor de x ten sentido de xeito intuitivo pensar que existe unha función A(x) que representa a área baixa a curva entre 0 e x aínda sen coñecer a súa expresión.

Supóñase agora que se quere calcular a área baixo a curva entre x e x+h. Poderíase facer achando a área entre 0 e x+h e logo restando a área entre 0 e x. En resumo, a área desta especie de "rebanda" sería A(x+h) − A(x).

Outra maneira de estimar esta mesma área é multiplicar h por f(x) para achar a área dun rectángulo que coincide aproximadamente coa "rebanda". Cómpre salientar que a aproximación á área buscada é máis precisa canto máis pequeno sexa o valor de h.

Polo tanto, pódese dicir que A(x+h) − A(x) é aproximadamente igual a f(x) · h, e que a precisión desta aproximación mellora ao diminuír o valor de h. Noutras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), converténdose esta aproximación en igualdade cando h tende a 0 como límite.

Dividindo os dous membros da ecuación por h obtense

Cando h tende a 0, obsérvase que o membro dereito da ecuación é simplemente a derivada A’(x) da función A(x) e que o membro esquerdo queda en ƒ(x) ao xa non estar h presente.

Demóstrase entón de xeito informal que ƒ(x) = A’(x), é dicir, que a derivada da función de área A(x) é en realidade a función ƒ(x). Dito doutra forma, a función de área A(x) é a "antiderivada" da función orixinal.

O que se demostrou é que, intuitivamente, calcular a derivada dunha función e "achar a área" baixa a súa curva son operacións "inversas", é dicir o obxectivo do teorema fundamental do cálculo integral.

Dada unha función f integrable sobre o intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, definimos ${\displaystyle F}$ sobre ${\displaystyle [a,b]}$ por ${\displaystyle F(x)={\int _{a}^{x}f(t)dt}}$. Se ${\displaystyle f}$ é continua en ${\displaystyle c\in (a,b)}$, entón ${\displaystyle F}$ é derivable en ${\displaystyle c}$ e F'(c) = f(c).

Empregando a regra da cadea obtense como consecuencia directa do primeiro teorema fundamental do cálculo infinitesimal:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\int _{a(x)}^{b(x)}f(t)dt}=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)}$

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\quad \Rightarrow \quad F'(x)=x^{2}}$

${\displaystyle H(x)=\int _{0}^{e^{3x}}\sin(t)dt\quad \rightarrow \quad H'(x)=\sin(e^{3x})e^{3x}\cdot 3}$

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\arcsin(t)dt\quad \rightarrow \quad G'(x)=\arcsin(x^{2})\cdot 2x}$

${\displaystyle J(x)=\int _{0}^{\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt\quad \rightarrow \quad J'(x)={\frac {1}{(1+\sin ^{2}(\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt))}}\,\cdot \,{\frac {1}{(1+\sin ^{2}x)}}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a)}$ Representación gráfica da función.

O segundo teorema fundamental do cálculo integral (ou regra de Newton-Leibniz, ou tamén regra de Barrow, en honra ao matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) é unha propiedade das funcións continuas que permite calcular facilmente o valor da integral definida a partir de calquera das primitivas da función.

Dada unha función f integrable no intervalo [a,b] e sexa F(x) calquera función primitiva de f, é dicir F '(x) = f(x). Entón:${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(x)dx=\sin(\pi )-\sin(0)=0}$

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=\ln(e)-\ln(1)=1}$

• APOSTOL, Cálculus
• SPIVAK, Cálculo Infinitesimal

• Métodos de integración
• Regra de Leibniz
• Integral de Riemann

• O descubrimento do cálculo integral – Universidade Autónoma de Madrid
• Interpretación gráfica do Teorema Fundamental do Cálculo – Manuel Sada Allo
• Weisstein, Eric W. «Teorema fundamental do cálculo». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Demostración Euclidiana do TFC – James Gregory, en Convergence (en inglés)
• Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus (en inglés)