Este artigo ou sección precisa dunha revisión do formato que siga o libro de estilo da Galipedia. Pode axudar a mellorar este artigo e outros en condicións semellantes.

Para funcións dunha única variable real, a integral de Riemann permite calcular áreas como límite de sumas de rectángulos. En primeiro lugar definimos o concepto de suma de Riemann, que formaliza o concepto de sumas de rectángulos relativos á funcións dunha variable, e de forma natural pasamos á definición de funcións Riemann-integrables co paso ao límite destas sumas.

Consideremos unha función ${\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ con dominio un intervalo real non dexenerado. Dada unha partición deste intervalo, isto é, un conxunto finito ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ con ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}$, definimos a suma de Riemann da función ${\displaystyle f}$ relativa á partición ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ como calquera número real obtido como $${\displaystyle S({\mathcal {P}},f)=\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})\ (x_{k}-x_{k-1}),}$$onde para cada índice temos que ${\displaystyle t_{k}\in [x_{k-1},x_{k}],\ k=1,\ldots ,n}$. Existen infinidade de sumas de Riemann da función ${\displaystyle f}$ relativa á partición ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, dependendo da escolla dos puntos ${\displaystyle t_{k},\ k=1,\ldots ,n}$.

Cada sumando da suma de Riemann representa a área (con signo) do rectángulo de base ${\displaystyle x_{k}-x_{k-1}}$ e altura ${\displaystyle f(t_{k})}$. Isto implica que se a función ${\displaystyle f}$ é non negativa, o resultado da suma de Riemann será a suma (positiva) das áreas de todos estes rectángulos, pero se a función ${\displaystyle f}$ toma valores negativos e ocorre que ${\displaystyle f(t_{k})<0}$ para algún ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, o sumando correspondente tería un peso negativo na suma total.

Dicimos que unha función de variable real ${\displaystyle f\colon {\mathcal {D}}\supset [a,b]\to \mathbb {R} }$ é Riemann-integrable se existe un (único) número real ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ tal que para cada ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe unha partición ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\varepsilon }}$ tal que ${\displaystyle |S({\mathcal {P}},f,\{t_{k}\})-{\mathcal {I}})|<\varepsilon }$, para calquera partición do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ cumprindo ${\displaystyle {\mathcal {P}}\supset {\mathcal {P}}_{\varepsilon }}$ e para calquera escolla dos puntos ${\displaystyle t_{k}}$. O número real ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ chámase integral de Riemann de ${\displaystyle f}$, e denotámolo como ${\displaystyle \int _{a}^{b}f}$.

Podemos definir a norma da partición ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ como o número real ${\displaystyle \|{\mathcal {P}}\|=\max _{k=1,\ldots ,n}\{x_{k}-x_{k-1}\}}$. Deste xeito, podemos dicir de forma equivalente que unha función ${\displaystyle f}$ é Riemann-integrable se existe un (único) número real ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ tal que ${\displaystyle \lim _{\|{\mathcal {P}}\|\to 0}S({\mathcal {P}},f)={\mathcal {I}}}$.

Para funcións non negativas, a integral de Riemann representa a área da rexión comprendida entre a gráfica da función a integral e o eixo de abscisas entre os extremos do intervalo de integración ${\displaystyle [a,b]}$.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Integral de Riemann

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 

• Integral
• Función medible

• Riemann Integral.