Matriz triangular

En álxebra linear, unha matriz triangular é unha clase especial de matriz cadrada. Unha matriz cadrada é chamada triangular inferior se todas as entradas por riba da diagonal principal son nulos. De xeito semellante, unha matriz cadrada é chamada triangular superior se todas as entradas por debaixo da diagonal principal son nulos. Unha matriz triangular é unha matriz dun dos dous tipos, ou é triangular superior ou triangular inferior. Unha matriz que é de ámbolos tipos coñécese como matriz diagonal.

Como as ecuacións matriciais con matrices triangulares son doadas de resolver, estas matrices teñen moita importancia na análise numérica. Polo algoritmo de descomposición LU, unha matriz invertíbel pode ser escrita como o produto dunha matriz triangular inferior L e unha matriz triangular superior U, se e só se todos os seus menores principais son non nulos.

Unha matriz da forma

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

é chamada un matriz triangular inferior ou matriz triangular esquerda. Do mesmo xeito, unha matriz da forma

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

é chamada unha matriz triangular superior ou matriz triangular dereita. Adóitase empregar a variábel L para denotar unha matriz triangular inferior, e as variábeis U ou R para denotar unha matriz triangular superior.

Unha matriz que é triangular superior e inferior dise que é diagonal. As matrices que son semellantes (A e B son semellantes se A=M^-1BM para algunha matriz M) a unha matriz triangular chámanse triangularizábeis.

A triangularidade superior é preservada por moitas operacións:

• A suma de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
• O produto de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
• O inversa dunha triangular superior, de existir, é triangular superior.
• O produto dunha triangulares superior e un escalar é triangular superior.

Xunto estes feitos significan que as matrices triangulares superiores forman unha subálxebra da álxebra asociativa das matrices cadradas de certa orde.

Todos estes resultados seguen a cumprise ao substituír triangular superior por triangular inferior. Con todo, as operacións que mesturan superior e triangular inferior as matrices en xeral non producen matrices triangulares. Para o caso, a suma dunha matriz triangular superior e unha triangular inferior pode ser calquera matriz, e o produto tampouco é necesariamente triangular.

Esta matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

é triangular superior, e estoutra

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}}$

é triangular inferior.

Unha ecuación matricial da forma ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ou ${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ é moi fácil de resolver mediante un proceso iterativo chamado substitución cara adiante para matrices triangulares inferiores e análogamente substitución cara atrás para matrices triangulares superiores. O proceso chámase así porque para as matrices triangulares inferiores, primeiro se calcula ${\displaystyle x_{1}}$, despois substitímos esa variábel na ecuación "seguinte" para resolver ${\displaystyle x_{2}}$, e repítese ata ${\displaystyle x_{n}}$. Nunha matriz triangular superior, trabállase cara atrás, primeiro calculando ${\displaystyle x_{n}}$, despois substituíndo esa variábel na ecuación anterior para resolver ${\displaystyle x_{n-1}}$, e repetimos ata ${\displaystyle x_{1}}$.

Teña en conta que isto non require a inversión da matriz.

A ecuación matricial ${\displaystyle Lx=b}$ pódese escribir como un sistema de ecuacións lineares

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Observe que a primeira ecuación (${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$) só implica a ${\displaystyle x_{1}}$, polo que se pode resolver directamente para ${\displaystyle x_{1}}$. A segunda ecuación só implica ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$, polo que se pode resolver unha vez que se substitúa o valor xa resolvido de ${\displaystyle x_{1}}$. Continuando deste xeito, a ${\displaystyle k}$-ésima ecuación só implica ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$, e pódese resolver para ${\displaystyle x_{k}}$ usando o resolvido previamente cos valores para ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$. As fórmulas resultantes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Unha ecuación matricial cunha matriz triangular superior U pódese resolver dun xeito análogo, só funcionando cara atrás.

• Factorización de Cholesky.
• Descomposición LU.

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.