PROFILPELAJAR.COM

En matemáticas e especialmente na teoría de números, a suma de recíprocos xeralmente calcúlase para os recíprocos dalgúns ou todos os positivos enteiros —é dicir, é a suma de fraccións unitarias. Se se suman infinitamente moitos recíprocos, xeralmente, os termos danse nunha determinada secuencia e súmanse os primeiros n elementos, daquela inclúese un máis para dar a suma dos primeiros n+1 elementos da sucesión, etc.

Se só se inclúen un número finito de números, a cuestión clave adoita ser atopar unha expresión sinxela para o valor da suma, ou esixir que a suma sexa menor que un determinado valor, ou determinar se a suma é algunha vez un número enteiro.

Para unha serie infinita de recíprocos, as cuestións son dobres: en primeiro lugar, diverxe a secuencia de sumas? é dicir, supera algún número dado? ou é unha serie converxente, o que significa que hai algún número ao que se achega arbitrariamente sen superar nunca?. (Un conxunto de enteiros positivos dise que é grande se a suma dos seus recíprocos diverxe, e pequeno se converxe.) En segundo lugar, se converxe, cal é unha expresión simple para o valor ao que converxe?, ese valor é racional ou irracional?, e ese valor é alxébrico ou transcendente? ^[1]

Número finito de termos

A media harmónica dunha cantidade finita de números é igual ao recíproco, ou inverso, da media aritmética dos recíprocos de ditos números.
A ecuación óptica require a suma dos recíprocos de dous enteiros positivos a e b para igualar o recíproco dun terceiro número enteiro positivo c. Todas as solucións son dadas por $a=mn+m^{2},\ b=mn+n^{2}\ c=mn$ . Esta ecuación aparece en varios contextos en xeometría elemental.
A conxectura de Fermat-Catalan refírese a unha determinada ecuación diofantiana, é que $a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad$ ten só un número finito de solucións cando $a,b,c$ son enteiros coprimos positivos e $m,n,k$ son enteiros positivos que satisfán ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$ .^[2].
O enésimo número harmónico, que é a suma dos recíprocos dos primeiros n enteiros positivos, nunca é un número enteiro excepto o caso n = 1. Ademais, József Kürschák demostrou en 1918 que a suma dos recíprocos dos números naturais consecutivos (xa sexa a partir de 1 ou non) nunca é un número enteiro.
A suma dos recíprocos dos primeiros n primos non é un número enteiro para ningún n.
Hai 14 combinacións distintas de catro enteiros de tal xeito que a suma dos seus recíprocos é 1, dos cales seis usan catro enteiros distintos e oito repiten polo menos un número enteiro.
Unha fracción exipcia é a suma dun número finito de recíprocos de enteiros positivos. Segundo a proba do problema de Erdős–Graham, se o conxunto de enteiros maior que 1 está particionado nun número finito de subconxuntos, entón un dos subconxuntos pódese usar para formar unha representación en forma de fracción exipcia de 1.
A conxectura de Erdős-Straus afirma que para todos os enteiros n ≥ 2, o número racional 4/n pódese expresar como a suma de tres recíprocos de enteiros positivos.
O cociente de Fermat con base 2, que é ${\frac {2^{p-1}-1}{p}}$ para un primo impar p, cando se expresa en mod p e multiplicado por –2, é igual á suma dos recíprocos mod p dos números que se atopan na primeira metade do rango {1, p − 1}.
En calquera triángulo, a suma dos recíprocos das altitudes é igual ao recíproco do raio do círculo inscrito (independentemente de se son ou non enteiros).
Nun triángulo recto, a suma dos recíprocos dos cadrados das altitudes dos catetos (equivalentemente, dos cadrados dos propios catetos) é igual ao recíproco do cadrado da altitude da hipotenusa (o teorema pitagórico inverso). Isto vale se os números son enteiros ou non; hai unha fórmula (ver trío pitagóricos) que xera todos os casos enteiros.
Un triángulo non necesariamente no plano euclidiano pódese especificar como con ángulos ${\frac {\pi }{p}},$ ${\frac {\pi }{q}},$ e ${\frac {\pi }{r}}$ . Daquela o triángulo está no espazo euclidiano se a suma dos recíprocos de p, q e r é igual a 1, é un espazo esférico se esa suma é maior que 1, é un espazo hiperbólico se a suma é inferior a 1.
Un número divisor harmónico é un número enteiro positivo cuxos divisores teñen unha media harmónica que é un número enteiro. Os cinco primeiros deles son 1, 6, 28, 140 e 270. Non se sabe se algún número divisor harmónico (ademais de 1) é impar, pero non os hai impares inferiores a 10²⁴.
A suma dos recíprocos dos divisores dun número perfecto é 2.
Cando se distribúen oito puntos na superficie dunha esfera co obxectivo de maximizar a distancia entre eles nalgún sentido, a forma resultante corresponde a un antiprisma cadrado. Os métodos específicos para distribuír os puntos inclúen, por exemplo, minimizar a suma de todos os recíprocos de cadrados de distancias entre puntos.

Infinitamente moitos termos

Series converxentes

|Para varias series de recíprocos que suman unha potencia de $\pi$ = ver Lista de fórmulas que inclúen $\pi$

Unha secuencia sen suma de números enteiros positivos crecentes é aquela para a que ningún número é a suma de ningún subconxunto dos anteriores. A suma dos recíprocos dos números en calquera secuencia sen suma é menor que $2.8570$ .

A suma dos recíprocos do número heptagonal converxe a un valor coñecido que non só é irracional senón tamén transcendente, e para o que existe unha fórmula complicada.

Sábese que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos, dos cales non está demostrado que haxa infinitos, aínda que se supón que os hai, é finita e chámase constante de Brun, aproximadamente $1.9022$ .

Sábese que a suma dos recíprocos dos Primos de Proth, dos cales pode haber un número finitos moitos ou infinitos, é finita, aproximadamente $0.747392479$ ^[3]

Os primos cadruples son pares de primos xemelgos con só un número impar entre eles. A suma dos recíprocos dos números primos cadruples é aproximadamente $0.8706$ .

A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados) é $1$ .

A suma dos recíprocos das potencias perfectas (excluíndo os duplicados) é aproximadamente $0.8745$ .^[4]

A suma dos recíprocos das potencias $\ n^{n}\$ é aproximadamente igual a $1.2913$ . A suma é exactamente igual á integral definida: $\sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1\ x}{n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\dfrac {\mathrm {d} }{x^{x}}}.$

Esta identidade foi descuberta por Johann Bernoulli en 1697, e agora coñécese como unha das dúas identidades do soño do estudante de segundo ano (Sophomore's dream).

O teorema de Goldbach–Euler afirma que a suma dos recíprocos dos números que son 1 menos que unha potencia perfecta (excluíndo os duplicados) é 1 .
A suma dos recíprocos de todos os números triangulares, sacado o cero, é $2$ .

A constante recíproca de Fibonacci é a suma dos recíprocos da secuencia de Fibonacci, que se sabe que é finito e irracional e aproximadamente igual a 3,3599 . Para outras sumas finitas de subconxuntos dos recíprocos dos números de Fibonacci, consulte Número de Fibonacci.

Un factorial exponencial é unha operación definida recursivamente como $\ a_{0}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}}~.$ Por exemplo, $\ a_{4}=4^{3^{2^{1}}}\$ onde os expoñentes son avaliados de arriba abaixo. A suma dos recíprocos dos factoriais exponenciais a partir de 1 é aproximadamente 1.6111 e é transcendental.

Un "número poderoso" é un número enteiro positivo para o cal cada primo que aparece na súa factorización principal aparece polo menos dúas veces. A suma dos recíprocos dos números poderosos está próxima a 1,9436 .^[5]

A suma dos recíprocos do factorial dá comos suma o número e (constante matemática).

A suma dos recíprocos dos números cadrados (o problema de Basilea), (Basel problem), é o número transcendente ${\frac {\pi ^{2}}{6}}{\text{ ou }}\zeta (2)$ sendo $\zeta$ a función zeta de Riemann.

A suma dos recíprocos dos cubos de enteiros positivos chámase constante de Apéry $\zeta (3)$ e é igual a aproximadamente 1,2021. Este número é irracional, pero non se sabe se é ou non transcendente.

Os recíprocos dos números enteiros non negativo potencias de 2 suman $2$ . Este é un caso particular da suma dos recíprocos de calquera serie xeométrica onde o primeiro termo e a razón común son enteiros positivos.

A serie de Kempner é a suma dos recíprocos de todos os enteiros positivos que non conteñen o díxito "9" en base $10$ . A diferenza da harmónica, que non exclúe eses números, esta serie converxe, concretamente a aproximadamente $22.9207$ .

Un número palindrómico é aquel que permanece igual cando se inverten os seus díxitos. A suma dos recíprocos dos números palindrómicos converxe a aproximadamente $3.3703$ .

Un número pentatópico é un número da quinta cela de calquera fila do triángulo de Pascal que comeza coa fila de cinco termos $1 4 6 4 1$ . A suma dos recíprocos dos números pentatópicos é 4/ 3 .

A secuencia de Sylvester é unha secuencia enteira na que cada membro da secuencia é o produto dos membros anteriores máis un. Os primeiros termos da secuencia son $2, 3, 7, 43, 1807$ . A suma dos recíprocos dos números na secuencia de Sylvester é $1$ .

A función zeta de Riemann $\zeta (s)$ é unha función dunha variable complexa $s$ que está definida, para valores complexos con parte real maior que $1$ , pola suma da serie infinita $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}~$ . Esta serie converxe se e só se a parte real de $s$ é maior que $1$ .

A suma dos recíprocos de todos os números de Fermat (números da forma $\ 2^{(2^{n})}+1\$ ) (secuencia A051158 na OEIS) é irracional.

A suma dos recíprocos do número oblongo (produtos de dous enteiros consecutivos ou duplo dos números triangulares) (excluíndo $0$ ) é $1$ .

Series diverxentes

A suma parcial de $n$ termos da harmónica, que é a suma dos recíprocos dos primeiros enteiros positivos $n$ , diverxe a medida que $n$ vai ao infinito, aínda que moi lentamente: A suma dos $10^{43}$ primeiros termos, é menor que $100$ . A diferenza entre a suma acumulada e o logaritmo natural de $n$ converxe á constante de Euler–Mascheroni, comunmente denotada como $\ \gamma \ ,$ que é aproximadamente $0.5772$ .

A suma dos recíprocos dos primos diverxe.

A forma forte do teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas implica que a suma dos recíprocos dos primos da forma $4 n + 3$ é diverxente.
Do mesmo xeito, a suma dos recíprocos dos primos da forma $4 n + 1$ é diverxente. Polo teorema de Fermat sobre sumas de dous cadrados, dedúcese que a suma de recíprocos de números da forma $\ a^{2}+b^{2}\ ,$ onde $a$ e $b$ son enteiros non negativos, non ambos os dous iguais a $0$ , diverxe, con ou sen repetición.

Se $a (k)$ é calquera serie ascendente de números enteiros positivos coa propiedade de que existe $N$ tal que $(k + 1) - a (k) < N$ para todos os $k$ , daquela a suma dos recíprocos ${\frac {1}{a(k)}}$ diverxe.

A conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas afirma que se a suma dos recíprocos dos membros dun conxunto $A$ de enteiros positivos diverxe, entón $A$ contén progresións aritméticas de calquera lonxitude, por grande que sexa. Ata o 2020 a conxectura segue sen estar probada.

Notas

↑ A non ser que se indique aquí, as referencias están nos artigos ligados.
↑ Chris K. Caldwell. "Catalan's problem". The University of Tennessee (The Prime Pages).
↑ Borsos, Bertalan; Kovács, Attila; Tihanyi, Norbert (1 September 2022). "Tight upper and lower bounds for the reciprocal sum of Proth primes". The Ramanujan Journal 59 (1): 181–198. doi:10.1007/s11139-021-00536-2. hdl:10831/83020.
↑ "Perfect Power". | publisher:MathWorld
↑ Golomb, Solomon W. Golomb (1970). "Powerful numbers". American Mathematical Monthly 77.