Un número oblongo é un número que é o produto de dous enteiros consecutivos, é dicir, un número da forma ${\displaystyle n(n+1)}$.^[1] O estudo destes números remóntase a Aristóteles . Tamén se lles chama números prónicos, ^[2] porén, o termo "número rectangular" tamén se aplicou aos números compostos.^[3][4]

Os primeiros números oblongos son:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272 (secuencia A002378 na OEIS) 306, 342, 342, 42, 60, 42, 42, 42 … .Correspóndense co duplo dos números triangulares.

Os números oblongos foron estudados como números figurados xunto cos números triangulares e os números cadrados na Metafísica de Aristóteles,^[2] e o seu descubrimento foi atribuído moito antes aos pitagóricos.^[5] Os números oblongos ^[2] son análogos aos números poligonais deste xeito: ^[1]

O n-ésimo número oblongo é a suma dos primeiros n números enteiros pares, e como tal é o duplo do n -ésimo número triangular e n máis que o n ésimo número cadrado, tal e como dá a fórmula alternativa n² + n para números oblongos. Polo tanto, o n-ésimo número oblongo e o n-ésimo número cadrado (a suma dos primeiros n números enteiros impares) forman unha razón superparticular :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{n^{2}}}={\frac {n+1}{n}}}$

A suma parcial dos primeiros n números oblongos positivos é o duplo do valor do n-ésimo número tetraédrico:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}}$ .

A suma dos recíprocos dos números oblongos positivos (excluíndo 0) é unha serie telescópica que suma 1: ^[6]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1}$ .

A suma parcial dos primeiros n termos desta serie é

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}}$ .

A suma alterna dos recíprocos dos números oblongos positivos (excluíndo 0) é unha serie converxente:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1}$.

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Número oblongo

• Número triangular.
• Número figurado.
• Serie telescópica.