En matemáticas, se ${\displaystyle A}$ é un subconxunto de ${\displaystyle B,}$ entón a función inclusión é a función ${\displaystyle \iota }$ que envía cada elemento ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle x,}$ tratado como un elemento de ${\displaystyle B:}$$${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

Unha función inclusión tamén pode denominarse mapa de inclusión, ^[1] ou inxección canónica.

Pode usarse unha "frecha con gancho" para representar a función inclusión , ${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$ (Porén, algúns autores usan esta frecha con gancho para calquera mergullo).

Esta e outras funcións inxectivas análogas^[2] das subestruturas chámanse ás veces inxeccións naturais.

Dado calquera morfismo ${\displaystyle f}$ entre obxectos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, se hai un mapa de inclusión ${\displaystyle \iota :A\to X}$ no dominio ${\displaystyle X}$, entón pódese formar a restrición ${\displaystyle f\circ \iota }$ de ${\displaystyle f.}$ En moitos casos, tamén se pode construír unha inclusión canónica no codominio ${\displaystyle R\to Y}$ coñecido como rango de ${\displaystyle f.}$

Os funcións inclusión tenden a ser homomorfismos de estruturas alxébricas; así, estas funcións son mergullos. Máis precisamente, dada unha subestrutura pechada baixo algunhas operacións, a función inclusión será un mergullo por razóns tautolóxicas. Por exemplo, para algunha operación binaria ${\displaystyle \star ,}$ esixir que$${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$é simplemente dicir que ${\displaystyle \star }$ calcúlase de forma consistente na subestrutura e na estrutura grande. O caso dunha operación unaria é semellante.

Os mapas inclusión vense na topoloxía alxébrica onde se ${\displaystyle A}$ é unha retracción de deformación forte ${\displaystyle X,}$ o mapa de inclusión produce un isomorfismo entre tódolos grupos de homotopía (é dicir, é unha equivalencia de homotopía).

Os mapas de inclusión en xeometría veñen de diferentes tipos: por exemplo, mergullos de subvariedades. Obxectos contravariantes (é dicir, obxectos que teñen regresións) tal como as formas diferenciais restrinxense a subvariedades, dando unha correspondencia na outra dirección. Outro exemplo, máis sofisticado, é o dos esquemas afíns, para os que as inclusións $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ e $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$poden ser diferentes morfismos, onde ${\displaystyle R}$ é un anel conmutativo e ${\displaystyle I}$ é un ideal de ${\displaystyle R.}$

• Función inxectiva.