sobrexectiva	non sobrexectiva
inxectiva	bixectiva	só inxectiva
non- inxectiva	só sobrexectiva	xeral

En matemáticas, as inxeccións, as sobrexeccións e as bixeccións son clases de funcións que se distinguen pola forma en que os argumentos (expresións de entrada do dominio) e as imaxes (expresións de saída do codominio) están relacionados ou mapeadas entre si.

Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función ${\displaystyle f\colon X\to Y}$:

• A función é inxectiva, ou un a un, se cada elemento do codominio está asignado como moito a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina inxección^[1].Notacionalmente:

${\displaystyle \forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',}$

• A función é sobrexectiva, ou onto, se cada elemento do codominio está asignado a polo menos un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha sobrexección.^[1]. Notacionalmente:

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ such that }}y=f(x).}$ ^{[2] [3] [4]}

• A función é bixectiva (un-a-un e onto ou invertible ) se cada elemento do codominio está mapeado por exactamente un elemento do dominio. É dicir, a función é tanto inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina bixección.^{[1][2] [3][4]}. É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists !x\in X{\text{ such that }}y=f(x),}$

onde ${\displaystyle \exists !x}$ significa " existe exactamente unha x".

• En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte:

${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y{\text{ such that }}y=f(x).}$

As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións:

• Unha función ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ é inxectiva se e só se ${\displaystyle X}$ está baleiro ou ${\displaystyle f}$ é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función ${\displaystyle g\colon f(X)\to X}$ tal que ${\displaystyle g\circ f=}$ función de identidade en X. Aquí, ${\displaystyle f(X)}$ é a imaxe de ${\displaystyle f}$.
• Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa ${\displaystyle f_{R}\colon X\rightarrow f(X)}$ unha ${\displaystyle f}$ con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa ${\displaystyle i\colon f(X)\to Y}$ o mapa de inclusión de ${\displaystyle f(X)}$ en ${\displaystyle Y}$. Daquela ${\displaystyle f=i\circ f_{R}}$. Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións.
• A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se ${\displaystyle g\circ f}$ é inxectiva, entón só se pode concluír que ${\displaystyle f}$ é inxectiva (ver figura).
• Toda inserción é inxectiva.

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións:

• Unha función ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tal que ${\displaystyle f\circ g=}$ función de identidade en ${\displaystyle Y}$.
• Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo f dos elementos da imaxe de ${\displaystyle f}$ son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de ${\displaystyle f}$, tal que x e y son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo ${\displaystyle f}$. Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por ${\displaystyle f}$ sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de ${\displaystyle f}$ (que é o seu codominio cando ${\displaystyle f}$ é sobrexectiva). A maiores, f é a composición da proxección canónica de f ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de ${\displaystyle f}$.
• A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se ${\displaystyle g\circ f}$ é sobrexectiva, entón só se pode concluír que ${\displaystyle g}$ é sobrexectiva (ver figura).

Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións:

• Unha función ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tal que ${\displaystyle g\circ f=}$ función de identidade en X e ${\displaystyle f\circ g=}$ función de identidade en ${\displaystyle Y}$. Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única.
• A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección, mais se ${\displaystyle g\circ f}$ é unha bixección, entón só se pode concluír que ${\displaystyle f}$ é inxectiva e ${\displaystyle g}$ é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións).
• As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.

Pódese definir que dous conxuntos "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade.

É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes.

Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva)

• A función de identidade id_X para cada conxunto non baleiro X, e polo tanto especificamente${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x.}$

Para dominios positivos ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$:

• ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}}$, e así tamén a súa inversa ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.}$
• A función exponencial ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural ou neperiano ${\displaystyle \ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.}$

Inxectiva e non sobrexectiva

• A función exponencial ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.}$

Non inxectiva e si sobrexectiva

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).}$

Non inxectiva e non sobrexectiva

• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).}$
• ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{2}}$

• Para cada función f, sexa X un subconxunto do dominio e Y un subconxunto do codominio. Tense sempre X ⊆ f⁻¹(f(X)) e f(f⁻¹(Y)) ⊆ Y, onde f(X) é a imaxe de X e f⁻¹(Y) é a preimaxe de Y baixo f . Se f é inxectiva, entón X = f⁻¹(f(X)), e se f é surxectiva, entón f(f⁻¹(Y)) = Y .
• Para cada función h : X → Y, pódese definir unha sobrexección H: X → h(X): x → h(x) e unha inxección I: h(X) → Y: y → y . Segue que ${\displaystyle h=I\circ H}$. Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única ${\displaystyle \varphi :h(X)\to H(X)}$ tal que ${\displaystyle H(x)=\varphi (h(x))}$ e ${\displaystyle I(\varphi (h(x)))=h(x)}$ para cada ${\displaystyle x\in X.}$

Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente.^[5]

Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.^[6]

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.