En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une opération binaire est commutative si l'ordre des opérandes ne change pas le résultat. L'addition est commutative (4+3 = 7 et 3+4 = 7 aussi). De même la multiplication est commutative : comme le montre le schéma de droite, 3×2 = 2×3 = 6. Il y a des opérations qui ne sont pas commutatives. Par exemple, la soustraction n'est pas commutative (4 - 3 = 1 alors que 3 - 4 = -1).
Ce diagramme se lit de la manière suivante. L'application associe à deux opérandes le résultat de l'application de l'opération . Ainsi, la flèche diagonale associe à (x, y) le résultat . La flèche horizontale étiquetée par <p2, p1> consiste à échanger les opérandes. Elle associe à (x, y) le couple (y, x). Enfin la flèche verticale, étiquetée par m également, associe donc à (y, x) le résultat . Le fait que les deux flèches étiquetées par m arrivent sur le même sommet signifie qu'il y a égalité .
Certains écrits de l'Antiquité utilisent implicitement des propriétés de commutativité. Les Égyptiens utilisaient la commutativité de la multiplication pour simplifier les calculs de produits[1],[2]. Euclide, dans ses Éléments, avait aussi supposé la commutativité de la multiplication[3]. La définition formelle de la commutativité a émergé à la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à construire une théorie des fonctions. Aujourd'hui, la propriété de commutativité est considérée comme une propriété basique, utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.
↑(en) R. Gay Robins et Charles C. D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text, Londres, British Museum, 1987 (ISBN0-7141-0944-4) (traduction et interprétation du Papyrus Rhind), p. ?[réf. incomplète].
↑(en) D. F. Gregory, « On the real nature of symbolical algebra », Transactions of the Royal Society of Edimbourg, vol. 14, , p. 208-216 (lire en ligne).