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En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si

\forall x,y\qquad x*y=-\;y*x

.

Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.

Définition

Étant donné un entier naturel $n$ , une opération $n$ -aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.

Plus formellement, une application $*:A^{n}\to G$ de l'ensemble de tous les $n$ -uplets d'éléments d'un ensemble $A$ dans un groupe $G$ est dite anticommutative si pour toute permutation $σ$ de l'ensemble ${1, 2, \dots , n}$ , on a :

\forall (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A^{n}\qquad x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=\operatorname {sgn}(\sigma )\;x_{\sigma (1)}*x_{\sigma (2)}*\dots *x_{\sigma (n)}

,

où $sgn(σ)$ désigne la signature de $σ$ .

Cette formule est à interpréter comme suit :

si deux $n$ -uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe $G$ ;
si deux $n$ -uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.

La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée $G$ est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe $G$ , noté ici additivement, $(-1) g$ représente le symétrique (ou opposé) $- g$ d'un élément $g$ .

Le cas $n = 2$ est particulièrement important. Une opération binaire $*:A\times A\to G$ est anticommutative si

\forall (x_{1},x_{2})\in A\times A\qquad x_{1}*x_{2}=-\;x_{2}*x_{1}

,

ce qui signifie que $x 1 ✻ x 2$ est l'élément symétrique de $x 2 ✻ x 1$ dans le groupe $G$ .

Exemples

Sont anticommutatifs :
- la soustraction ;
- le produit vectoriel ;
- le crochet de Lie.
Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.

Propriété

Si le groupe $G$ est tel que

\forall g\in G\quad (g=-g~\Rightarrow ~g=0)

,

c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :

pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément $x 1$ on a :

x_{1}*x_{1}=0

;

plus généralement, pour toute opération $n$ -aire ✻ anticommutative, l'image de tout $n$ -uplet $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ comportant une répétition (c.-à-d. tel que $x_{i}=x_{j}$ pour au moins deux indices $i$ et $j$ distincts) est égale à l'élément neutre :

[\exists i\neq j\quad x_{i}=x_{j}]\Rightarrow x_{1}*x_{2}*\dots *x_{n}=0

.

Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application $n$ -linéaire antisymétrique $f:E^{n}\to F$ ( $E$ et $F$ étant des espaces vectoriels sur un même corps $K$ ) : si la caractéristique de $K$ est différente de 2 alors le seul vecteur de $F$ égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que $f$ est alternée.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. 1-3, Berlin, Springer Verlag, 2006, 2^e éd., 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9, BNF 40227395), voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques ».

Lien externe

(en) A. T. Gainov, « Anti-commutative algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Anticommutativity » (voir la liste des auteurs).