Pendant sa carrière, Harry Warburton remporte trois médailles aux championnats du monde. Il remporte l'or en bob à quatre en 1954 à Cortina d'Ampezzo en Italie. En 1955 à Saint-Moritz, il gagne l'or en bob à deux et l'argent en bob à quatre[1]. Aux Jeux olympiques d'hiver de 1956 organisés à Cortina d'Ampezzo, Harry Warburton est médaillé de bronze en bob à deux avec Max Angst et quatrième en bob à quatre[2].