En 1925, il est le deuxième joueur de l'histoire à remporter le trophée Hart en tant que meilleur joueur de la saison[2]. Lors de cette saison, avec Shorty Green, ils conduisent la première grève de joueurs de la LNH. Alors que l'équipe guidée par Burch est part favorite pour remporter la Coupe Stanley, les joueurs rencontrent le directeur général de la franchise, Percy Thompson, et lui demandent 200 CAD de plus pour jouer les séries éliminatoires. Le directeur général ne répond pas favorablement à leurs demandes et finalement, l'équipe est disqualifiée par Frank Calder, président de la LNH, le . Alors que plusieurs joueurs jurent qu'ils ne joueront plus jamais pour Thompson, la franchise est revendue pour devenir les Americans de New York[3].
Green prend sa retraite une saison plus tard et Burch est nommé capitaine de la nouvelle équipe des Americans, poste qu'il occupera pendant sept saisons. En 1927, il remporte le trophée Lady Byng pour son comportement exemplaire sur la glace. Encore une fois, il est le deuxième joueur a remporter le trophée et le premier vainqueur est, comme dans le cas du trophée Hart, Frank Nighbor des Sénateurs d'Ottawa[4].
En 1932-1933, il rejoint les Bruins de Boston puis les Black Hawks de Chicago pour sa dernière saison professionnelle. Il se retire après une blessure à la jambe vers la fin de la saison et est alors le dernier joueur à avoir joué avec les Tigers à prendre sa retraite. mort en 1950, il est admis à titre posthume au Temple de la renommée du hockey en 1974[5].
