Cette topologie sur ℝ est strictement plus fine (c'est-à-dire qu'elle a strictement plus d'ouverts) que la topologie usuelle, car une base de cette dernière est constituée des invervalles ouverts, or chacun d'eux est une réunion (dénombrable) d'intervalles semi-ouverts. Elle n'est tout de même pas discrète.
Toute partie compacteC de S est au plus dénombrable. En effet, pour tout x ∈ C, les ouverts ]–∞, x – 1/n[ (n ∈ ℕ*) et l'ouvert [x, +∞[ forment un recouvrement de C, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un rationnelq(x) < x tel que x soit le seul point de C dans l'intervalle [q(x), x]. Les intervalles [q(x), x], quand x parcourt C, sont alors disjoints deux à deux donc q est une injection de C dans ℚ.
Cette topologie sur ℝ est aussi appelée en anglais lower limit topology, pour rappeler la propriété suivante : une suite (ou même une suite généralisée) (xα) dans S converge vers L si et seulement si elle « approche L par la droite », c'est-à-dire si pour tout ε > 0, il existe un indice α0 tel que pour tout α > α0, L ≤ xα < L + ε. Ainsi, pour une fonction réellef : ℝ → ℝ, une limite à droite de f en un point x pour la topologie usuelle sur ℝ est la même chose qu'une limite ordinaire de f en x quand l'ensemble de départ est muni de la topologie de Sorgenfrey (l'ensemble d'arrivée restant muni de sa topologie usuelle).
↑S est même héréditairement séparable : (en) R. M. Stephenson, Jr., « Symmetrizable, ℱ-, and weakly first countable spaces », Can. J. Math., vol. 29, no 3, , p. 480-488 (lire en ligne).
