Degré de liberté (statistiques)

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En statistiques le degré de liberté (ddl) désigne le nombre de variables aléatoires qui ne peuvent être déterminées ou fixées par une équation (notamment les équations des tests statistiques).

Une autre définition est : le degré de liberté est égal au nombre d'observations moins le nombre de relations entre ces observations^[1]. On pourrait remplacer l'expression « nombre de relations » par « nombre de paramètres à estimer ».

Exemple : vecteur aléatoire

Supposons un ensemble de n variables aléatoires, toutes de même loi et indépendantes $X 1,..., X n$ .

Le vecteur aléatoire $X$ dont chaque coordonnée est une de ces variables est défini dans un espace à n dimensions, donc naturellement, il a n degrés de libertés.

On note ${\bar {X}}$ la moyenne de ce vecteur. On peut alors réécrire le vecteur de cette façon :

{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}={\bar {X}}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}X_{1}-{\bar {X}}\\\vdots \\X_{n}-{\bar {X}}\end{pmatrix}}.

Le premier vecteur étant entièrement déterminé par la valeur ${\bar {X}}$ , il n'a qu'un degré de liberté. Le deuxième vecteur doit satisfaire la condition $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})=0$ . Ainsi, en connaissant n − 1 coordonnées du vecteur, on peut en déduire la n^e : ce vecteur a n − 1 degrés de liberté.

Mathématiquement, cette décomposition traduit la projection orthogonale du vecteur aléatoire sur le sous-espace défini par le vecteur constant à 1, qui est de dimension 1, et donc son complémentaire de dimension n − 1.

Dans les tests statistiques, on s'intéresse plus à l'écart quadratique des composantes du vecteur :

\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}={\begin{Vmatrix}X_{1}-{\bar {X}}\\\vdots \\X_{n}-{\bar {X}}\end{Vmatrix}}^{2}.

Pour le cas où les $X i$ suivent une loi normale centrée et de variance $σ 2$ , alors la somme définie plus haut suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté, comme vu précédemment.

De même, la statistique de test du test de Student

{\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}-\mu _{0})}{\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}}

suit une loi de Student à n − 1 degrés de liberté si la moyenne $μ 0$ est connue.

Références

↑ Walker, H. M., « Degrees of freedom », Journal of Educational Psychology, vol. 31, n^o 4,‎ avril 1940, p. 253-269 (DOI 10.1037/h0054588).

v · m

Index du projet probabilités et statistiques

Théorie des probabilités

Bases théoriques

Principes généraux	Axiomes des probabilités Espace mesurable Probabilité Événement Tribu Indépendance Variable aléatoire Espérance Variables iid
Convergence de lois	Théorème central limite Loi des grands nombres Théorème de Borel-Cantelli
Calcul stochastique	Marche aléatoire Chaîne de Markov Processus stochastique Processus de Markov Martingale Mouvement brownien Équation différentielle stochastique

Lois de probabilité

Lois continues	Loi exponentielle Loi normale Loi uniforme Loi de Student Loi de Fisher Loi du χ²
Lois discrètes	Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Loi géométrique Loi hypergéométrique

Mélange entre statistiques et probabilités

Intervalle de confiance

Interprétations de la probabilité

Bayésianisme

Théorie des statistiques

Statistiques descriptives

Bases théoriques	Une statistique Caractère Échantillon Erreur type Intervalle de confiance Fonction de répartition empirique Théorème de Glivenko-Cantelli Inférence bayésienne Régression linéaire Méthode des moindres carrés Analyse des données Corrélation
Tableaux	Tableau de contingence Tableau disjonctif complet Table de Burt
Visualisation de données	Histogramme Diagramme à barres Graphique en aires Diagramme circulaire Treemap Boîte à moustaches Nuage de points Graphique à bulles Diagramme en cascade Graphique en entonnoir Diagramme de Kiviat Corrélogramme Graphique en forêt Diagramme branche-et-feuille Heat map Sparkline
Paramètres de position	Moyenne arithmétique Mode Médiane Quantile Quartile Décile Centile
Paramètres de dispersion	Étendue Écart moyen Variance Écart type Déviation absolue moyenne Écart interquartile Coefficient de variation
Paramètres de forme	Coefficient d'asymétrie Coefficient d'aplatissement

Statistiques inductives

Bases théoriques	Hypothèse nulle Estimateur Signification statistique Sensibilité et spécificité Courbe ROC Nombre de sujets nécessaires Valeur p Contraste (statistiques) Statistique de test Taille d'effet Puissance statistique
Tests paramétriques	Test d'hypothèse Test de Bartlett Test de normalité Test de Fisher d'égalité de deux variances Test d'Hausman Test d'Anderson-Darling Test de Banerji Test de Durbin-Watson Test de Goldfeld et Quandt Test de Jarque-Bera Test de Mood Test de Lilliefors Test de Wald Test T pour des échantillons indépendants Test T pour des échantillons appariés Test de corrélation de Pearson
Tests non-paramétriques	Test U de Mann-Whitney Test de Kruskal-Wallis Test exact de Fisher Test de Kolmogorov-Smirnov Test de Shapiro-Wilk Test de Chow Test de McNemar Test de Spearman Tau de Kendall Test Gamma Test des suites de Wald-Wolfowitz Test de la médiane Test des signes ANOVA de Friedman Concordance de Kendall Test Q de Cochran Test des rangs signés de Wilcoxon Test de Sargan

Application
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