De fait de la nature de la matière, la densité d'énergie ρ_m évolue selon la loi

${\displaystyle \rho _{\rm {m}}=\rho _{\rm {m}}^{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{3}}$,

l'indice 0 se référant aux quantités correspondantes évaluée à une époque de référence donnée. On a ainsi, en l'absence de courbure

${\displaystyle {\frac {3}{c^{2}}}\left({\frac {1}{a}}{\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}t}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{\rm {m}}^{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{3}}$.

On peut évaluer cette équation à une époque donnée, ce qui donne

${\displaystyle {\frac {3}{c^{2}}}H_{0}^{2}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{\rm {m}}^{0}}$.

Si l'on note par x le « facteur d'échelle réduit », normalisé à 1 à l'époque de référence, la combinaison de ces deux équations peut s'écrire

${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}(H_{0}t)}}\right)^{2}={\frac {1}{x^{3}}}}$.

La résolution de cette équation donne immédiatement

${\displaystyle x(t)=\left({\frac {3}{2}}H_{0}t\right)^{\frac {2}{3}}}$.

De fait de la nature de la matière, la densité d'énergie ρ_r évolue désormais selon la loi

${\displaystyle \rho _{\rm {r}}=\rho _{\rm {r}}^{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{4}}$,

l'indice 0 se référant à nouveau aux quantités correspondantes évaluée à une époque de référence donnée. On a ainsi, en l'absence de courbure

${\displaystyle {\frac {3}{c^{2}}}\left({\frac {1}{a}}{\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}t}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{\rm {r}}^{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{4}}$.

On peut évaluer cette équation à une époque donnée, ce qui donne

${\displaystyle {\frac {3}{c^{2}}}H_{0}^{2}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{\rm {r}}^{0}}$.

Si l'on note par x le « facteur d'échelle réduit », normalisé à 1 à l'époque de référence, la combinaison de ces deux équations peut s'écrire

${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}(H_{0}t)}}\right)^{2}={\frac {1}{x^{4}}}}$.

La résolution de cette équation donne immédiatement

${\displaystyle x(t)=\left(2H_{0}t\right)^{\frac {1}{2}}}$.

La première équation de Friedmann donne comme d'habitude

${\displaystyle 3{\frac {H^{2}}{c^{2}}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{\Lambda }}$,

la densité d'énergie de la constante cosmologique étant ici constante. Le paramètre de Hubble est donc constant, et l'on a donc

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}t}}=H_{0}={\rm {Constante}}}$,

dont la solution est de façon évidente

${\displaystyle a=a_{0}e^{H_{0}(t-t_{0})}}$

Par les équations de conservation, l'évolution temporelle de la densité d'énergie est déterminée par

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\rho }{{\rm {d}}t}}=-3H(P+\rho )}$.

En utilisant la relation entre densité d'énergie et pression et la définition de la constante de Hubble, cette équation se réécrit

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\rho }{{\rm {d}}t}}=-3{\frac {1}{a}}{\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}t}}(1+w)\rho }$,

soit

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}}$.

Les équations de Friedmann se réécrivent alors

${\displaystyle {\frac {3}{c^{2}}}\left({\frac {1}{a}}{\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}t}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{3(1+w)}}$.

On peut évaluer cette équation à une époque donnée, ce qui donne

${\displaystyle {\frac {3}{c^{2}}}H_{0}^{2}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho _{0}}$.

Si l'on note par x le « facteur d'échelle réduit », normalisé à 1 à l'époque de référence, la combinaison de ces deux équations peut s'écrire

${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}(H_{0}t)}}\right)^{2}={\frac {1}{x^{3(1+w)}}}}$.

Quand w = -1, on est dans le cas d'une constante cosmologique vu précédemment. Dans les autres cas, la résolution de cette équation donne immédiatement

${\displaystyle x(t)=\left({\frac {3(1+w)}{2}}H_{0}|t|\right)^{\frac {2}{3(1+w)}}}$.

En prenant une époque de référence, que l'on note avec l'indice ou l'exposant 0, on a

${\displaystyle 3\left({\frac {H^{2}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left[\rho _{1}^{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{3(1+w_{1})}+\rho _{2}^{0}\left({\frac {a_{0}}{a}}\right)^{3(1+w_{2})}\right]}$.

On introduit la densité critique ${\displaystyle \rho _{\rm {c}}^{0}}$ par

${\displaystyle \rho _{\rm {c}}^{0}={\frac {3c^{2}H_{0}^{2}}{8\pi G}}}$,

ainsi que les quantités sans dimension appelées paramètres de densité ${\displaystyle \Omega _{i}^{0}}$ par

${\displaystyle \Omega _{i}^{0}={\frac {\rho _{i}^{0}}{\rho _{\rm {c}}^{0}}}}$.

Ainsi, on obtient, en introduisant le facteur d'échelle normalisé ${\displaystyle x=a/a_{0}}$,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}+{\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}=\left[\Omega _{1}^{0}x^{-3(1+w_{1})}+\Omega _{2}^{0}x^{-3(1+w_{2})}\right]}$.

En évaluant cette quantité à l'époque de référence, il vient alors

${\displaystyle 1+{\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}=\Omega _{1}^{0}+\Omega _{2}^{0}}$,

d'où finalement

${\displaystyle \left({\frac {{\rm {d}}x}{xH_{0}{\rm {d}}t}}\right)^{2}+\left(\Omega _{1}^{0}+\Omega _{2}^{0}-1\right){\frac {1}{x^{2}}}=\left[\Omega _{1}^{0}x^{-3(1+w_{1})}+\Omega _{2}^{0}x^{-3(1+w_{2})}\right]}$.

On simplifie l'équation de départ en

${\displaystyle \left({\frac {x{\rm {d}}x}{H_{0}{\rm {d}}t}}\right)^{2}=\left[\Omega _{\rm {m}}^{0}x+1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right]}$,

soit

${\displaystyle {\frac {x{\rm {d}}x}{\sqrt {\Omega _{\rm {m}}^{0}x+1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}}}=H_{0}{\rm {d}}t}$.

On effectue le changement de variable

${\displaystyle u={\sqrt {\Omega _{\rm {m}}^{0}x+1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}}}$,

dont on tire

${\displaystyle x={\frac {u^{2}-\left(1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)}{\Omega _{\rm {m}}^{0}}}}$,

${\displaystyle {\rm {d}}x={\frac {2u{\rm {d}}u}{\Omega _{\rm {m}}^{0}}}}$.

L'équation à résoudre devient

${\displaystyle {\frac {2\left[u^{2}-\left(1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)\right]{\rm {d}}u}{\left(\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)^{2}}}=H_{0}{\rm {d}}t}$,

qui s'intègre immédiatement en

${\displaystyle {\frac {2}{\left(\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)^{2}}}\left[{\frac {u^{3}}{3}}-\left(1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)u\right]_{u_{i}}^{u}=H_{0}t}$,

la quantité ${\displaystyle u_{i}}$ correspondant à la valeur ${\displaystyle x=0}$, soit ${\displaystyle {\sqrt {1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}}}$. On trouve alors

${\displaystyle {\frac {2}{\left(\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)^{2}}}\left[{\sqrt {\Omega _{\rm {m}}^{0}x+1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}}\left({\frac {\Omega _{\rm {m}}^{0}x+1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}{3}}-\left(1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)\right)+{\frac {2}{3}}\left(1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)^{\frac {3}{2}}\right]=H_{0}t}$,

soit

${\displaystyle {\frac {4\left(1-\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)^{\frac {3}{2}}}{3\left(\Omega _{\rm {m}}^{0}\right)^{2}}}\left[1-{\sqrt {1+{\frac {\Omega _{\rm {m}}^{0}x}{1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}}}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {\Omega _{\rm {m}}^{0}x}{1-\Omega _{\rm {m}}^{0}}}\right)\right]=H_{0}t}$.

On reprend à nouveau la même équation avec les variables réduites. Dans un univers spatialement plat, on a

${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}(H_{0}t)}}\right)^{2}={\frac {1-\Omega _{\Lambda }^{0}}{x^{3}}}+\Omega _{\Lambda }^{0}}$,

que l'on peut réécrire en

${\displaystyle \left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}(H_{0}t)}}\right)^{2}={\frac {1-\Omega _{\Lambda }^{0}}{x}}+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{2}}$,

soit

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {{\frac {1-\Omega _{\Lambda }^{0}}{x}}+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{2}}}}={\rm {d}}(H_{0}t)}$,

ou bien

${\displaystyle {\frac {x^{\frac {1}{2}}{\rm {d}}x}{\sqrt {(1-\Omega _{\Lambda }^{0})+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{3}}}}={\rm {d}}(H_{0}t)}$.

On pose

${\displaystyle y=H_{0}t}$,

${\displaystyle u=x^{\frac {3}{2}}}$,

ce qui permet de réécrire l'équation précédente en

${\displaystyle {\frac {2}{3{\sqrt {1-\Omega _{\Lambda }^{0}}}}}{\frac {{\rm {d}}u}{\sqrt {1+{\frac {\Omega _{\Lambda }^{0}}{1-\Omega _{\Lambda }^{0}}}u^{2}}}}={\rm {d}}y}$.

En posant

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\Omega _{\Lambda }^{0}}{1-\Omega _{\Lambda }^{0}}}}u}$,

d'où

${\displaystyle {\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda }^{0}}}}}{\frac {{\rm {d}}v}{\sqrt {1+v^{2}}}}={\rm {d}}y}$.

Cette équation peut s'intégrer en

${\displaystyle {\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda }^{0}}}}}\operatorname {arsinh} (v)=y}$,

que l'on inverse en

${\displaystyle \sinh \left({\frac {3{\sqrt {\Omega _{\Lambda }^{0}}}}{2}}y\right)=v}$,

soit

${\displaystyle \sinh \left({\frac {3{\sqrt {\Omega _{\Lambda }^{0}}}}{2}}y\right)={\sqrt {\frac {\Omega _{\Lambda }^{0}}{1-\Omega _{\Lambda }^{0}}}}u}$,

et finalement

${\displaystyle {\frac {a}{a_{0}}}=\left[{\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda }^{0}}{\Omega _{\Lambda }^{0}}}}\sinh \left({\frac {3{\sqrt {\Omega _{\Lambda }^{0}}}}{2}}H_{0}t\right)\right]^{\frac {2}{3}}}$.

La relation

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{2}\propto a^{2}\rho }$

a pour conséquence immédiate que

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}\eta }}\propto a^{2}{\sqrt {\rho }}}$.

En utilisant de plus le fait que pour une équation d'état du type ${\displaystyle P=w\rho }$, la dépendance de ρ reste

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}}$,

il vient

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}a}{{\rm {d}}\eta }}\propto a^{{\frac {1}{2}}-{\frac {3w}{2}}}}$,

qui se résout en

${\displaystyle a\propto |\eta |^{\frac {2}{1+3w}}}$.

On considère donc une sphère de poussière (c'est-à-dire que l'on néglige les forces de pression) de masse M dont on étudie l'évolution du rayon R(t) en fonction du temps, sous l'effet de la gravité. Un point situé à la surface de la sphère est uniquement soumis aux forces de gravité, et obéit donc à l'équation

${\displaystyle {\ddot {R}}=-{\frac {GM}{R^{2}}}}$.

En multipliant par la dérivée de R, il vient

${\displaystyle {\ddot {R}}{\dot {R}}=-GM{\frac {\dot {R}}{R^{2}}}}$.

Les deux membres de l'équation correspondent à des dérivées par rapport au temps, que l'on peut intégrer en

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {R}}^{2}={\frac {GM}{R}}+E}$,

la quantité E étant alors une constante d'intégration déterminée par les conditions initiales. Cette constante d'intégration n'est rien d'autre que l'énergie totale par unité de masse, égale à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\dot {R}}^{2}-{\frac {GM}{R}}}$.

Si l'on remplace la masse de la sphère par le produit de son volume et de sa densité μ , on obtient

${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\dot {R}})^{2}={\frac {4\pi }{3}}G\mu R^{2}+E}$,

que l'on peut réécrire en

${\displaystyle 3\left({\frac {{\dot {R}}^{2}}{R^{2}}}-{\frac {2E}{R^{2}}}\right)=8\pi G\mu }$.

Enfin, en remplaçant la densité de masse μ par la densité d'énergie de masse ρ = μ c², on trouve

${\displaystyle 3\left({\frac {{\dot {R}}^{2}}{c^{2}R^{2}}}-{\frac {2E}{c^{2}R^{2}}}\right)={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\rho }$.

L'hypothèse de l'homogénéité et de l'isotropie des sections spatiales de l'univers permet d'écrire l'élément de longueur sous la forme

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a^{2}(t)\gamma _{ij}{\rm {d}}x^{i}{\rm {d}}x^{j}}$,

où γ_ij représente la métrique des sections spatiales, décrites par les coordonnées xⁱ. Un tel système de coordonnées est appelé coordonnées comobiles. Un observateur décrivant la trajectoire ${\displaystyle x^{i}={\rm {Constante}}}$ suit une géodésique. Il est appelé observateur fondamental. Son temps propre correspond ici exactement à la coordonnée t, appelée temps cosmique (le temps propre des observateurs fondamentaux). Une telle trajectoire correspond en première approximation aux trajectoires des galaxies, si l'on fait abstraction de leur mouvement propre. La distance entre deux observateurs fondamentaux augmente proportionnellement à la fonction a(t), qui est le facteur d'échelle. Une fois cette forme de la métrique supposée, les équations d'Einstein déterminent l'évolution temporelle du facteur d'échelle.

Les coefficients de la métrique s'écrivent

${\displaystyle g_{00}=c^{2}}$,

${\displaystyle g_{0i}=0}$,

${\displaystyle g_{ij}=-a^{2}(t)\gamma _{ij}}$.

La forme exacte de ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ importe peu et dépend du type de coordonnées choisi (cartésiennes ou sphériques, par exemple, si on suppose les sections spatiales euclidiennes). Le seul résultat important est de savoir que les sections spatiales étant homogènes et isotropes forment un espace à symétrie maximale, et qu'un tel espace dont la métrique serait ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ a un tenseur de Ricci donné par

${\displaystyle {}^{3}R_{ij}=2K\gamma _{ij}}$,

la quantité K étant la courbure spatiale associée.

L'inverse de la métrique a pour coordonnées :

${\displaystyle g^{00}={\frac {1}{c^{2}}}}$,

${\displaystyle g^{0i}=0}$,

${\displaystyle g^{ij}=-{\frac {1}{a^{2}(t)}}\gamma ^{ij}}$,

où ${\displaystyle \gamma ^{ij}}$ représente la métrique inverse de ${\displaystyle \gamma _{ij}}$.

Les symboles de Christoffel s'écrivent :

${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}=0}$,

${\displaystyle \Gamma _{0i}^{0}=0}$,

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=0}$,

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{0}=a^{2}{\frac {H}{c^{2}}}\gamma _{ij}}$,

${\displaystyle \Gamma _{0j}^{i}=H\delta _{j}^{i}}$,

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={}^{(3)}\Gamma _{jk}^{i}}$,

où H est le paramètre de Hubble, donne par ${\displaystyle H={\rm {d}}a/a{\rm {d}}t}$, et ${\displaystyle {}^{(3)}\Gamma _{jk}^{i}}$ correspond aux symboles de Christoffel associés à la métrique ${\displaystyle \gamma _{ij}}$.

Les coefficients du tenseur de Ricci s'écrivent alors

${\displaystyle R_{00}=-3{\dot {H}}-3H^{2}}$,

${\displaystyle R_{0i}=0}$,

${\displaystyle R_{ij}=3a^{2}{\frac {H^{2}}{c^{2}}}\gamma _{ij}+a^{2}{\frac {\dot {H}}{c^{2}}}\gamma _{ij}+{}^{(3)}R_{ij}}$,

La courbure scalaire s'écrit

${\displaystyle R=-12{\frac {H^{2}}{c^{2}}}-6{\frac {\dot {H}}{c^{2}}}-6{\frac {K}{a^{2}}}}$.

Le tenseur d'Einstein s'écrit enfin

${\displaystyle G_{00}=3H^{2}+3{\frac {K}{a^{2}}}{c^{2}}}$,

${\displaystyle G_{0i}=0}$,

${\displaystyle G_{ij}=-\left(3{\frac {H^{2}}{c^{2}}}+2{\frac {\dot {H}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)a^{2}\gamma _{ij}}$

Il faut maintenant déterminer le tenseur énergie-impulsion de la matière. Le seul tenseur énergie-impulsion compatible avec les hypothèses d'homogénéité et d'isotropie utilisées est celui d'un fluide parfait. Il est alors uniquement décrit par la densité d'énergie, la pression et la quadrivitesse du fluide selon la formule

${\displaystyle T_{\mu \nu }=(P+\rho )u_{\mu }u_{\nu }-Pg_{\mu \nu }}$.

Cette quadrivitesse correspond à celle des observateurs fondamentaux. La formule donnant la quadrivitesse étant

${\displaystyle u^{\mu }={\frac {{\rm {d}}x^{\mu }}{{\rm {d}}\tau }}}$,

et le temps propre étant donné par le temps coordonné, on a immédiatement

${\displaystyle u^{0}=1}$,

${\displaystyle u^{i}=0}$,

et les composantes contravariantes s'écrivent

${\displaystyle u_{0}=c^{2}}$,

${\displaystyle u_{i}=0}$.

Les composantes du tenseur énergie-impulsion sont donc

${\displaystyle T_{00}=\rho c^{2}}$,

${\displaystyle T_{0i}=0}$,

${\displaystyle T_{ij}=Pa^{2}\gamma _{ij}}$.

En utilisant la formule des équations d'Einstein, la composante 00 donne donc

${\displaystyle 3\left({\frac {H^{2}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)={\frac {8\pi G}{c^{2}}}\rho }$,

et la composante ij donne

${\displaystyle -3{\frac {H^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {\dot {H}}{c^{2}}}-{\frac {K}{a^{2}}}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}P}$.