Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\,\operatorname {sin} \left(x\right)}$,

non :

x zenbaki erreala den;

e logaritmo naturalaren oinarria den;

i unitate irudikaria den;

sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

${\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix\,}$

non ln logaritmo naturala^[1] den.

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

${\displaystyle a}$-n zentratutako ${\displaystyle f(x)}$ funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=o}^{\infty }{C_{n}}{(x-a)^{n}}}$

${\displaystyle |x-a|<R}$ , non

${\displaystyle C_{n}={\frac {{f^{n}}(a)}{n!}}}$

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ hartuz ${\displaystyle a=0}$ zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{{f^{n}}(0)}{x^{n}}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{...}}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ konbergentzia-tarteko edozein ${\displaystyle x}$-rako

${\displaystyle x=1}$ denean, aurreko ekuazioan, ${\displaystyle e}$ zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{...}}$

${\displaystyle x}$ -ren ordez ${\displaystyle ix}$ ordezkatzen badugu, orduan:

${\displaystyle e^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{n}}{n!}}={\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}\cdot {x^{2n}}}{(2n)!}}}+i{\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n-1}}\cdot {x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}}}$

Aurreko ekuazioaren (${\displaystyle e^{ix}}$) batuketaren lehenengo zatia ${\displaystyle cos(x)}$ funtzioaren garapena da eta bigarren zatia ${\displaystyle sin(x)}$-rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu:

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\,\operatorname {sen} \left(x\right)}$

modu orokorragoan honela ere idatz daiteke:

${\displaystyle e^{iux}=\cos \left(ux\right)+i\,\operatorname {sen} \left(ux\right)}$.

• (Ingelesez)Eulerren formula eta Fermaten azken teorema
• (Ingelesez)Eulerren formularen ikus-adierazpena

• Moivreren formula