e konstante matematikoa zenbaki irrazional garrantzitsuenetariko bat da. Matematikako hainbat adarretan agertzen da. Izan ere, e konstante matematikoa logaritmo nepertarraren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 7135...

Batzuetan, e zenbakiari Eulerren Zenbakia esaten zaio, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan, berriz, Napierren konstantea, John Napier logaritmo-garatzailearen omenez.^[1]

Zenbaki horrek garrantzi handia dauka kalkulu eta analisi matematikoan, hain zuzen ere, matematikako funtziorik garrantzitsuenean, hau da, funtzio esponentzialean, ${\displaystyle \pi }$ geometrian eta i (zenbaki irudikaria) analisi konplexuan eta aljebran den bezala.

Hasieran aipatu dugunez, e zenbakia zenbaki irrazional bat da , ${\displaystyle \pi }$ zenbakia eta urrezko zenbakia (φ) diren moduan. e zenbakia ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa ezarri. Bestalde, ${\displaystyle \pi }$ zenbakia bezala, zenbaki transzendentea da, ez baita koefiziente arrazionalak dituen ekuazio aljebraiko baten erroa.

π eta unitate irudikaria (i) ostean, e da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat.

«	Harrigarria da zenbait zenbaki naturan aurkitzea, esate baterako, π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta baita gizakiongandik aparte dagoen errealitatean ere.	»
—Jose Ramon Etxebarria [2] [3]

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren aurkikuntza ${\displaystyle \pi }$ zenbakiarenarekin alderatuta, duela gutxikoa dela esan daiteke. Izan ere, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren aurkikuntzak jatorri analitikoa du eta ${\displaystyle \pi }$ zenbakiarenak, aldiz, geometrikoa.

Konstante horren inguruko lehen aipamenak 1618an argitaratu ziren, John Napier^[4]-ek egindako logaritmoen inguruko lan bateko taula batean. Berez, taula horretan ez zen agertzen ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren benetako baliorik, zenbaki horretatik abiatutako logaritmo natural batzuen kalkuluak baizik. Taula horren egilea Willian Oughtred dela esaten da. Urte batzuk geroago, 1624an, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia matematikako literaturan aipatu zen berriro. Urte horretan, Briggs-ek 10 oinarriko logaritmoekin lortutako hurbilketa bat eman zuen, baina bere lanean ez zuen ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren izenik zehaztu.

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren ondorengo agerpena zalantzazkoa da. 1647an Saint Vicent-ek hiperbola angeluzuzenaren azpiko azalera kalkulatu zuen. Kalkulatutako azalerak logaritmoekin zuen erlazioa ez zen oso fidagarria, ez baitzegoen arrazoi garbirik ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiarekin lotuta egoteko. Urte batzuk geroago, 1661ean, Huygens-ek hiperbolaren azalera eta logaritmoen arteko erlazioa aztertu zuen ${\displaystyle yx=1}$ kurbaren inguruko problema lantzean.

Hala ere, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren aurkikuntza ez dator logaritmoetatik, Jacob Bernoulli matematikari ezagunak 1683an egindako kapitalizazio konposatuaren  inguruko lanetik baizik. Moneta unitate (MU)  bat inbertitzen bada urteko % 100eko interesarekin eta interesak urtean behin ordaintzen badira, 2 MU lortuko genituzke. Interesak urtean bi aldiz ordaintzen badira, eta interes hori birekin zatitzen bada, lortutako emaitza ${\displaystyle 1MU*1.5^{2}=2,25MU}$ da. Urtea lau zatitan zatitzen badugu eta aurreko prozesua errepikatuz, honako hau lortuko genuke: ${\displaystyle 1MU*1,25^{4}=2,4141}$ … Era berean, urtea hamabi hilabetetan banatuz gero, hau da, interesa hilero ordainduz gero, emaitza hau lortuko genuke: ${\displaystyle 1MU*(1+{\frac {1}{12}})^{12}=2.61303}$… Beraz, urteko interesak ordaintzeko epea handitzean, eta interes tasa txikitzean, moneta-unitatearen honako adierazpen hau lortuko genuke, n periodoa izanik eta ${\displaystyle {\ce {{\frac {1}{n}}}}}$ interes tasa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Bernoullik azken limitearen balioa bi eta hiru artean zegoela frogatzeko, newtonen binomioa erabili zuen. Esan daiteke, limitearen balioa bi eta hiru artean egotea dela ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren inguruko lehen hurbilpena. Gainera, adierazpen hori ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren definiziotzat hartuz gero, limite baten bidez adierazten den lehen zenbakiaren definizioa izango litzateke. Bernoullik ez zuen bere lanaren eta logaritmoen arteko erlaziorik zehaztu. Hortik dator finantza-arloan ematen den ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren definizioa: ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia, urteko %100eko interes-tasa konposatua duen MU baten inbertsioaren limitea da. Modu orokorrago batean, K kapital bateko inbertsioak eta R urteko interes tasak ${\displaystyle Ke^{R}}$ interes konposatua du.

Konstantearen lehen erabilera 1690koa da, izan ere, Gottfried Leibniz-ek Christian Huygens-i bidalitako gutun batean zenbaki hau b letraz adierazi zuen. Leonhard Euler izan zen konstantea adierazteko ${\displaystyle {\text{e}}}$ letra erabiltzen hasi zen lehenengoa 1727an eta publikoki lehen aldiz 1736an egin zen ezaguna Eulerren liburu batean. Nahiz eta ondorengo urteetan ikertzaile batzuk c letra erabili zuten konstantea adierazteko, ${\displaystyle {\text{e}}}$ erabiltzea zen ohikoena, ondorioz, zenbakiaren adierazpen ofizialtzat hartu zen. 1748an, Eulerrek Introductio in analysin infinitorum liburua argitaratu zuen eta bertan ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiarekin lotutako informazio guztia bildu zuen. Adibidez, honako hau frogatu zuen:

${\displaystyle {\text{e}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Honela, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hurbilpen bat eman zuen 18 hamartarrekin. Horrez gain, zatiki jarraituen egituran ere ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren definizioa eman zuen. Azken karakterizazio horrekin ondorioztatu zen ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia zenbaki irrazionala zela, eta beraz, ikerkuntza honengatik, matematika-adituen komunitateak dio Euler izan zela propietate hau frogatu zuen lehena.

Bestalde, ${\displaystyle \pi }$ zenbakiarekin gertatu ez zen bezala, orokorrean ez zen ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hamartarrak aurkitzeko interesik agertu. Baina, matematikari batzuei hamartar horiek aurkitzeko grina piztu zitzaien eta 1854an lan hori egiten hasi zen lehena William Shanks izan zen. Esan beharra dago Shanks bera izan zela gehien saiatu zena ${\displaystyle \pi }$ zenbakiaren hamartar desberdinak aurkitzen. James Whitbread Lee Glainser matematikariak frogatu zuen Shanks-ek ikertutako lehen 137 zenbaki hamartarrak zuzenak zirela, baina akats bat aurkitu zuen, nahiz eta gero Shanks-ek zuzendu eta 205 zifra hamartarretara iritsi. Izan ere, 200 hamartar lortzeko, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … moduko 120 termino inguru behar dira.

Boorman-ek 1884an egindako lanei esker, zenbaki hamartarren aurkikuntzek gora egin zuten eta 346 hamartar inguru kalkulatu zituen Boorman-ek. Kalkuluak egin ostean, ohartu zen berak aurkitutako lehen 187 hamartarrak eta Shanks-ek aurkitutakoak berdinak zirela, baina, gero, dibergitu egiten zutela. 1887an, Adams-ek ${\displaystyle {\text{e}}}$-ren logaritmoa 10 oinarrian hurbildu zuen 272 zifra zehatzekin.

1873an, Charles Hermitek ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia transzendentea dela frogatu zuen. Lorpen hau polinomio bat erabiliz lortu zuen, Lambert-ek landutako zatiki jarraituen laguntzaz. David Hilbert-ek lehen frogapenak egin zituen egindako ikerketa guztien inguruan^[5].

Definizio ugari ditu, baina e zenbakiaren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

1. ${\displaystyle {\text{e}}}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ segidaren limite moduan definitzen da:^[6] ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$
2. ${\displaystyle {\text{e}}}$ serie infinitu baten batukari gisa definitzen da: ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }$ non n! n-ren faktoriala den.
3. ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia ${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$ ekuazioaren soluzioa da^[7]. Hau da, ${\displaystyle {\text{e}}}$ honela definitzen da: ${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$.

Hiru definizio hauek baliokideak direla frogatu da.

Eulerren zenbakia ez zen XVII. mendera arte deskubritu. Eta naturan hainbat esparrutan agertuagatik, diru irabaziei begira deskubritu zen e zenbakia. Jacob Bernouilli matematikaria interes konposatuari begira ari zen. Interes konposatuak honela funtzionatzen du: demagun euro bat daukagula eta urtebeteren buruan dugunaren %100 emango digutela. Orduan, daukagun kopuru hori urtebeteren buruan begiratzen badu bankuak, 1 izatetik 2 izatera pasako gara.^[1]

Baina zer gertatzen da %100 hori urtean zehar bi zatitan ematen badigute? Hau da, seigarren hilean dugunaren %50 eta handik sei hilera dugunaren %50, berriz. Orduan, ekainean 1,5 euro izatera pasako gara, eta abenduan 2,25 izango ditugu. Irabazten atera gara, beraz, interes konposatua bi zatitan bereizita. Eta hilabetero egingo bagenu? Orduan 2,61 eurorekin bukatuko genuke urtea.^[1]

Pentsa liteke urtea zatitzen jarraituta etengabe gehiago irabazten amaituko dugula. Baina badu muga bat prozesu honek. Ez gara sekula urte amaieran 3 euro izatera iritsiko. Egunero eginda, adibidez, 2,7145 euro irabaziko genituzke. Nanosegundutan zatituko bagenu urtea, ez ginateke kopuru horretatik apenas urrunduko: 2,7182... Eta hori da e zenbakia: interes konposatuaren epeekin jokatuta ere, irabaziek muga bat dutela adierazten digun zenbakia.^[1] Hortik dator goian eman den lehenengo definizoa

Behin zenbakia deskubrituta, beste hainbat propietate dituela ikusi zuten. Baita beste hainbat egoeratan agertzen dela ere. Probabilitateen teorian, esaterako, erruleta batean 37 zenbakitik bat hautatu eta huts egiteko probabilitatea 0,97 da. Bada, 37 aldiz jokatu, eta denetan huts egitekoa 0,3628. Gutxi gorabehera 1/e dena, hain zuzen ere.^[1] Hortik dator goian eman den bigarren definizioa.

Edozein ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ -rako ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$segida konbergentea da. Limite hau ${\displaystyle {\text{e}}^{x}}$ modura idatz dezakegu:

${\displaystyle {\text{e}}^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$ Funtzio esponentziala, funtzio erreal bati deritzo non bere aldagai independenteak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ osoa zeharkatzen duen. Honako hau da:

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}}^{x}\end{aligned}}}$

Funtzio esponentzialaren ezaugarri nagusia da funtzioa eta bere deribatua berdinak izatea.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Gainera, deribatua ${\displaystyle \mathbb {R} }$-ko puntu guztietan existitzen da.

Deribatuaren ezaugarri horretatik ondorioztatzen da funtzio esponentzialaren integrala eta funtzioa berdinak direla.

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$ non C integraleko konstante bat den.

Gainera, deribatuaren propietate hori betetzen duen funtzioa bakarra da edozein ${\displaystyle x}$ baliorako zero balioa hartuko ez duena (edozein ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle e^{x}\neq 0}$). Horregatik, analisi matematikoko funtzio garrantzitsuena da; bereziki, ekuazio diferentzialetarako.

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ funtzioaren seriea, Maclauriren formula bidez lortzen da.

${\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)={\text{e}}^{x},}$ (1)

${\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,}$ (2)

Maclauriren formula ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)}$ denez, aurreko (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, honako hau dugu:

${\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}$

${\displaystyle x=1}$ hartuz, e zenbakiaren hurbilpen bat lortzen da,

${\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}$

non ≈ -k balio hurbildua adierazten duen.^[8]

Steiner-en problemaren helburua da, ${\textstyle f(x)=x^{1/x}}$ funtzioaren maximo absolutua aurkitzea. Maximo absolutua, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia da hain zuzen.^[9]

Bestalde, ${\textstyle 1/{\text{e}}}$ ${\textstyle f(x)=x^{x}\,}$ funtzioaren minimo absolutua da ${\textstyle x>0}$ kasurako.

Azken funtzio hori orokortuz, ${\textstyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}$ funtzioaren maximo absolutua ${\textstyle 1/{\text{e}}}$ puntua da ${\textstyle n<0}$ kasurako, eta minimo absolutua ${\textstyle {\text{e}}^{-1/n}}$  ${\textstyle n>0}$ denean.

Leonhard Euler-en teorema batetik ondokoa ondorioztatzen da:^[10][11]

Tetrazio infinitua

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$edo ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

konbergentea da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}^{1/{\text{e}}}}$ betetzen bada.

${\displaystyle {\text{e}}}$ Euler-en formulan zenbaki konplexuekin erlazionatuta agertzen den zenbaki garrantzitsuenetarikoa da.

${\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}$

Aurreko honetan ${\displaystyle x=\pi }$ denean, Eulerren identitatea izango dugu:

${\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Hemendik, hau ondorioztatzen da:

${\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}$

Gainera, esponentzialaren legeak aplikatuz, honako hau lor dezakegu:

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}$

Hau, De Moivre-ren formula da.

Harvard-eko irakaslea den Benjamin Peirce-k ezagutarazi zuen formula hau, eta aditzera eman zuen, formulak aldi berean matematikan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak (0, 1, π, i eta e) batzen dituela.^[12]

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia probabilitate-teoriaren aplikazioetan ere agertzen da. Horren adibide da subfaktorialaren problema, neurri batean Jacob Bernoulli-k Pierre Raymond de Montmort-en laguntzaz aurkitua, Txapelen problema ere deitzen zaio:^[13] Festa bateko ${\textstyle n}$ gonbidatuk diskoteka bateko sarreran beraien txapelak maiordomoari uzten dizkiote; honek, gonbidatu bakoitzaren izena duten ${\textstyle n}$ konpartimentu desberdinetan uzten ditu txapelak. Baina maiordomoak gonbidatuak ezagutzen ez dituenez, txapelak modu aleatorioan uzten ditu konpartimentuetan. De Montmort-en probleman, hain zuzen, txapel bakoitza dagokion konpartimentuan kokatuta ez egoteko probabilitatea kalkulatzen da. Probabilitate hori ondorengoa da:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$ .

Gonbidatu kopuruak (${\textstyle n}$) infinitura jotzean, ${\textstyle P(n)}$ balioa ${\textstyle 1/e}$-ra hurbilduko da ${\displaystyle (\lim _{n\to \infty }P(n)={\frac {1}{e}})}$. Are gehiago, ${\textstyle n!/e}$-ren gertueneko zenbaki arrunta da txapel guztiak dagokien konpartimentuetan kokatuta ez egoteko aukera kopurua .^[14]

Azken emaitza hau, beste modu honetan ere defini daiteke: izan bedi ${\textstyle P(n)}$ ausazko funtzio batek puntu finko bat izateko probabilitatea non n${\displaystyle \in }${${\textstyle {1,2,...,n}}$} den. Orduan,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}$

Probabilitatean, ondorengo probleman ere ageri da ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia: izan bitez ${\textstyle X_{1},}$${\textstyle X_{2},...}$${\textstyle X_{n}}$ [0,1] tarteko banaketa uniformea duten ausazko aldagaien segida bat, eta N, ${\textstyle {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1}}$ desberdintza betetzen deneko ${\textstyle n}$ zenbaki txikiena:

${\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}$

Orduan, N-ren itxaropena ${\textstyle E(N)={\text{e}}}$ da^[15]. Emaitza horrekin, konstantearen balioa estima dezakegu ausazko simulazioak eginez.^[16]

Azkenik, esan beharra dago ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiak matematikako arlo honetan agerpenik garrantzitsuena duela μ batezbestekoa eta σ desbideratze estandarreko banaketa normalaren probabilitatearen dentsitate-funtzioan; hau, gauss-en integraletik lortzen da:^[17]

${\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$

Bi lotura hauek zenbaki lehenen teoremaren korolarioak dira.^[18]

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

non ${\displaystyle p_{n}}$ n. zenbaki lehena eta ${\displaystyle p_{n}\#}$ n.zenbaki lehenaren eta ${\displaystyle p_{n}}$ baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura diren.

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

non ${\displaystyle \pi (n)}$ n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua den.

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia planoko kurba jakin bati lotutako kantitateen arteko zatidura gisa interpreta daiteke, ${\displaystyle \pi }$ zenbakia bezala. Izan bedi ${\displaystyle \gamma }$ kurba bat non jatorritik datorren edozein zuzenerdik kurba mozten duen ${\displaystyle \pi /4}$ radianeko angelua osatuz.^[19][20] Radian bateko banaketa angeluarra duten bi puntu hartzen baditugu, P1 eta P2, eta ${\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1}<r_{2},}$ definituz, orduan,

${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}={\text{e}}.}$

Formula hori lortzeko radian bat neurtu behar denez, konplexua dela iruditu daiteke. Baina zirkunferentzia bat zuzen baten gainean mugitzen badugu, oso erraz lor daiteke. Aurretik aipatutako propietatea duen kurba, espiral logaritmikoa da, eta kurba horrek angelu guztiak berdinak dituenez, erraz egiazta daiteke koordenatu polarretako bere ekuazioa ondorengoa dela:

${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}$

Espiral logaritmikoak ${\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2}$ -ko angelua badu, koodenatu polarretako ekuazioa ${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }}$ da.

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia irrazionala denez, ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa idatzi.^[21] Horixe frogatu zuen 1737an Euler-ek. Frogapen horretan, Eulerrek ${\displaystyle {\text{e}}}$ zatiki jarraitu gisa jarri zuen, horrela, infinitua izatean, bazekien ez zegokiola zenbaki arrazional bati. Hala ere, frogapen ezagunena Fourier-ek egindakoa izan zen, eta zenbaki-seriearen garapenean oinarritu zen horretarako. 1768an J.H. Lambert-ek ${\displaystyle {\text{e}}^{p/q}}$ irrazionala zela frogatu zuen ${\displaystyle p \over q}$ zenbaki arrazional positiboa izanik.

Gainera, ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia zenbaki traszendentea da, hau da, ez da koefiziente osoak dituen polinomio baten erroa. Zenbaki traszendentetzat hartu zen lehenengo zenbakia izan zen eta Charles Hermitek frogatu zuen mota horretako zenbakia zela.

Hona hemen ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia barne hartzen duten formula batzuk:

${\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}$^[22]

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle 2={\frac {{\text{e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{e}}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,}$ formula hau ${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }$ identitatetik lortzen da.

${\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

${\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Euler-en formula: ${\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Stirling-en formula: ${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.}$

Gosperren formula: ${\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hurbilketa bat, aldi berean urrezko zenbakia eta π erabiliz, honako hau da:

${\displaystyle e\sim \left({\frac {\pi }{5}}\phi \right)^{({\frac {600}{\pi ^{2}}})}.}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia, zenbaki erreal gisa hainbat modutan adieraz daiteke: serie infinitu, biderkadura infinitu, zatiki jarraitu eta segida baten limite bezala.

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren definizioa: ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

1975ean, Felix A. Keller suitzarrak limite simetrikoa lortu zuen:^{[23] [24]}${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}$

Stirling-en formulatik ondorengoa lortzen da: ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$^[25]

${\displaystyle p_{n}}$ n. zenbaki lehena eta ${\displaystyle p_{n}\#}$ n. zenbaki lehenaren eta ${\displaystyle p_{n}}$ baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura izanik, ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$ frogatu zen.

Azkenik, ${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$ adierazpena lortu zen ${\displaystyle \pi (n)}$ n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua izanik.

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ non ${\displaystyle B_{n}}$ Bell-en n. zenbakia den.

Azkeneko karakterizazioaren adibide batzuk:

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakia <<Wallisen erako>> biderkadura infinitu gisa ere adieraz daiteke hainbat modutan:^[26]

Pippenger-en biderkadura:^[27][28]

${\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}$

Catalán-en biderkadura:

${\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}$

eta Guillera-ren biderkadura:^[29][30]

${\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

n. faktorea n. erroa izanik

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

eta azkenik, biderkadura infinitu gisa

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hamartarrek ez dute patroi erregular bat jarraitzen. Hala ere, normalizatu daitezkeen zatiki jarraituei esker, zatiki jarraitu normalizatu gisa lor dezakegu:

${\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

eta ${\displaystyle {\text{e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]}$ moduan idazten da. Azken propietate hau Leonhard Euler-ek^[31] lortu zuen. Zatiki jarraitu ez normalizatuaren adierazpena, berriz, ${\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}}$ da.

Bi kasutan, argi ikusten da ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren hamartarrek ez dutela patroi bat jarraitzen.

Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren ${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori.^{[32] [33]}1949an, J. Von Neumann eta bere taldeak ENIAC erabili zuten 2010 hamartar lortzeko.

1961ean, D. Shanks eta J.W. Wrecnch-ek 2,5 ordu behar izan zituzten 100.265 hamartar lortzeko Eulerren formularekin. 1994an, R.Nemiroff eta J.Bonellek 10.000.000 hamartar topatu zituzten.

Azken hamarkadetan, ordenagailuek hamartar kopuru handiak dituzten zenbakiak lortu dituzte. 2000. urtean, esaterako, Pentium III 800 ordenagailuko PiFast33 programa erabiliz, 12884901000 zifra hamartar lortu ziren eta hau lortzeko 167 ordu behar izan zituzten.

Urte bakoitzean ezagutzen ziren e zenbakiaren hamartar kopurua eta nork lortu zuen kopuru hori

Urtea	Dezimal kopurua	Nork
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes[34]
1748	23	Leonhard Euler[35]
1853	137	William Shanks[36]
1871	205	William Shanks[37]
1884	346	J. Marcus Boorman[38]
1949	2.010	John von Neumann ( ENIAC konputagailuarekin)
1961	100.265	Daniel Shanks eta John Wrench[39]
1978	116.000	Steve Wozniak, Apple II [40]konptagailu batekin
1994	10.000.000	Robert Nemiroff eta Jerry Bonnell[41]
1997ko maiatza	18.199.978	Patrick Demichel
1997ko abuztua	20.000.000	Birger Seifert
1997ko iraila	50.000.817	Patrick Demichel
1999ko otsaila	200.000.579	Sebastián Wedeniwski
1999ko urria	869.894.101	Sebastián Wedeniwski
1999ko azaroaren 21a	1.250.000.000	Xavier Gourdon
2000ko uztailaren 10a	2.147.483.648	Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2000ko uztailaren 16a	3.221.225.472	Colin Martin eta Xavier Gourdon
2000ko abuztuaren 2a	6.442.450.944	Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2000ko abuztuaren 16a	12.884.901.000	Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2003ko abuztuaren 21a	25.100.000.000	Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2003ko irailaren 18a	50.100.000.000	Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
2007ko apirilaren 27a	100.000.000.000	Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo
2009ko maiatzaren 6a	200.000.000.000	Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo
2010eko otsailaren 21a	500.000.000.000	Alexander J. Yee
2010eko uztailaren 5a	1.000.000.000.000	Shigeru Kondo eta Alexander J. Yee
2015eko ekainaren 24a	1.400.000.000.000	Matthew Hebert[42]
2019	8,000,000,000,000	Gerald Hofmann

${\displaystyle {\text{e}}}$ zenbakiaren lehenengo 100 hamartarrak ondorengoak dira:

${\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284}$ ${\displaystyle 5904523536}$ ${\displaystyle 0287471352}$ ${\displaystyle 6624977572}$ ${\displaystyle 4709369995}$ ${\displaystyle 9574966967}$ ${\displaystyle 6277240766}$ ${\displaystyle 3035354759}$ ${\displaystyle 4571382178}$ ${\displaystyle 5251664274}$

• Ez dakigu e 10 oinarrian edo beste oinarriren batean normala den. Hau da, sistema hamartarraren hamar digituetako bakoitzak hedapen hamartar batean agertzeko probabilitate bera duen ala ez.
• Ez dakigu ${\displaystyle {\text{e}}^{e}}$ traszendentea den.
• Ez dakigu ${\displaystyle \pi +e}$ eta ${\displaystyle \pi \cdot e}$ irrazionalak diren. Baina jakina da ez direla 9 baino txikiagoko maila duten eta 10⁹ ordenako koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak.^[43]

• Eulerren identitate.