Analisi konplexua, aldagai konplexu baten funtzioen teoria bezala ere ezagutzen dena, zenbaki konplexuen funtzioak ikertzen dituen analisi matematikoaren adarra da. Analisi konplexuaren helburua funtzio errealen kalkulu diferentziala eta integrala funtzio konplexuetarako egokitzea da. Analisi konplexua, funtzio errealen kalkulu diferentziala eta integralaren orokorpena da beraz.^[1]

Analisi konplexuaren aztergai nagusiak, funtzio holomorfoak dira. Funtzio holomorfoei, funtzio analitikoak ere deitzen zaie eta izen horrekin aurkitzen dira liburu askotan. Berez, berretura-serie modura idatz daitezkeen funtzioak dira analitikoak, baina, holomorfo guztiek propietate hori badutenez, izen biak baliokidetzat hartzen dira.

Matematikaren adar askotan lagungarria da, besteak beste, geometria aljebraikoan, zenbakien teorian, konbinatoria analitikoan, matematika aplikatuan. Lagungarria da fisikan ere; hidrodinamikan, termodinamikan eta bereziki mekanika kuantikoan. Ondorioz, analisi konplexuak ingeniaritzako zenbait arlotan ere aplikazioak ditu; ingeniaritza nuklearrean, ingeniaritza aeroespazialean, ingeniaritza mekanikoan eta ingeniaritza elektrikoan adibidez.

Aldagai konplexu bateko funtzioak, parte erreala eta parte irudikaria banatuz gero bi funtzio errealen bidez adieraz daitekeenez, aldagai anitzetako analisi erreala era natural batean heda daiteke plano konplexura. Horrela, funtzio konplexuen limite eta jarraikortasuna kontzeptuak aldagai anitzeko funtzioekin bezala definitzen dira. Hala ere, berezitasun nabarmenak ditu teoria konplexuak errealarekin alderaztuz deribagarritasuna definitzerako orduan. Izan ere, pentsa daiteke aldagai konplexu bateko funtzio baten deribagarritasuna bat etorriko dela dagozkion aldagai anitzeko funtzio errealen diferentziagarritasunarekin. Plano konplexuan ordea, plano errealean ez bezala, zenbaki konplexuen arteko zatiketa eskura dugu. Ondorioz, aldagai konplexu bateko funtzioen deribatuak definitzeko zenbaki konplexuen zatiketa erabiltzen da, aldagai bakarreko funtzio errealen deribatua definitzen den bezala. Gainera, aldagai konplexu bateko funtzioa deribagarria izateko dagozkion aldagai anitzeko funtzio errealak direrentziagarriak izatea nahikoa ez dela ikusten da. Aldagai konplexu bateko funtzio baten deribagarritasuna ziurtatzeko, nahikoa da (eta beharrezkoa) funtzioari dagozkion aldagai anitzeko funtzio errealak diferentziagarriak izateaz gain, hauen deribatu partzialek Cauchy-Riemann-en baldintzak bete ditzatela.

Analisi konplexua matematikaren adar klasikoetako bat da, sustraiak XVIII. mendean dituena. Asko dira analisi konplexua garatu duten matematikari ezagunak. Garrantzitsuen artean daude Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass besteak beste. Analisi konplexuak orokorrean eta aplikazio konformeen teoriak bereziki, aplikazio asko ditu ingeniaritzan, baina zenbakien teoria analitikoan ere ugari erabiltzen da. Oso ezaguna egin da dinamika konplexuen bultzadaren ondorioz baita funtzio holomorfoen iterazioak errepikatuz sortutako fraktalen irudiengatik ere, ezagunena Mandelbrot-en multzoa delarik. Analisi konplexuaren beste aplikazio garrantzitsu bat korden teoria da.

1. ↑ Duoandikoetxea Zuazo, Francisco Javier. (2017). Analisi Konplexua. .