Problema matematiko asko planteatu dira, baina oraindik ez dira guztiak ebatzi. Azken problema horiek matematikaren arlo askotatik datoz, hala nola fisika teorikotik, informatikatik, aljebratik, analisitik, konbinatoriatik, geometria aljebraiko, diferentzial, diskretu eta euklidearretik, grafoen teoriatik, talde-teoriatik, zenbaki-teoriatik, multzo-teoriatik, Ramseyren teoriatik, sistema dinamikoetatik eta  deribatu partzialetako ekuazio diferentzialetatik. Arazo batzuk diziplina bati baino gehiagori dagozkie, eta hainbat arlotako teknikak erabiliz aztertzen dira. Askotan, aspaldiko problema iraunkor bat ebazteagatik sariak ematen dira, eta ebatzi gabeko problemen zerrenda batzuek, hala nola Milurtekoko Sarietako problemek, arreta nabarmena jasotzen dute.

Zerrenda hau lehenago argitaratutako zerrendetan aipatu diren ebatzi gabeko problema nabarien multzoa da, guztiz fidagarriak diren zerrendetan oinarritua (baina horietara mugatuta ez dagoena). Zerrenda honetan aipatzen diren arazoak asko askotarikoak dira, bai zailtasunari dagokionez, bai garrantziari dagokionez.

Erakunde eta matematikari ugarik argitaratu dituzte ebatzi gabeko hainbat problema matematiko. Gainera, kasu batzuetan, hauen ebazpena lortzeak saria jasotzea dakar.

Milurtekoko Sarietako Problemak Clay Mathematics Institute (CMI) erakundeak 2000. urtean aukeratu zituen eta matematikako munduan dagoeneko ezagunak ziren zazpi problema konplexu dira. Problema hauek ebaztea eta frogatzea lortzen duten zientzialariei milioi bat dolarreko diru saria eskaintzen die CMI-ak.

Clay Mathematics Institute erakundeak ofizialki Milurtekoko Sarietako Problemak izena eman zien zazpi problema matematiko hauei:

• Birch eta Swinnerton-Dyer-en aierua
• Hodge-ren aierua
• Navier–Stokes existentzia eta leuntasuna
• P vs NP problema
• Riemann-en hipotesia
• Yang–Mills-en existentzia eta masa-jauzia
• Poincaréren aierua

Zazpi problema horiek Milurtekoko Bileran erabaki ziren, 2000. urteko maiatzaren 24an.

Gaur egunera arte, zazpi problema hauetatik ebatzita eta frogatuta dagoen bakarra Poincaréren aierua da. Grigori Perelman matematikari errusiarrak 2003an argitaratu zuen ebazpena^[12], eta 2010ean ontzat eman zuen CMI-ak. Hala ere, Perelmanek uko egin zion sariari, ez baitzioten eskaini dirua Richard S. Hamiltoni, Perelmanek bere lana haren lanaren gainean eraiki zuen eta. Hala ere, lau dimentsioko Poincaréren aieruaren orokortzea ebatzi gabe dago oraindik.

Birch eta Swinnerton-Dyer-en aierua matematika-aierua da, eta Bryan John Birch eta Peter Swinnerton-Dyer matematikari ingelesek idatzi zuten 1965ean. Aieru honek K zenbakizko eremu aljebraiko baten gaineko E kurba eliptiko bati lotutako datu aritmetikoak eta E-ren Hasse Weilen L(E,s) funtzioaren portaera erlazionatzen ditu s = 1 denean.

Zehazki, aieruak dio E-ren puntuen E(K) talde abeldarraren heina eta L(E,s)-ren zeroaren ordena berdinak direla s = 1 denean. Halaber, L(E,s)-ren Taylorren seriean s = 1 kasuan, zero ez den lehen koefizientea E gain K aritmetikoki finagoa diren datuek emanda dago.

Bereziki, aieruak dio L(E,1) = 0 bada, orduan E(K) taldea infinitua izango dela, eta aldiz, L(E,1) ≠ 0 bada, orduan E(K) finitua izango dela.

Hodge-ren Aierua geometria aljebraikoan eta geometria konplexuan ebatzi gabeko problema garrantzitsu bat da. Problema honek barietate aljebraiko konplexu ez-singular baten topologia aljebraikoa eta barietate horren azpibarietateak erlazionatzen ditu.

Zehazki, aieruak dio De Rham-en kohomologia-talde batzuk aljebraikoak direla, hau da, Poincaré-ren dualtasunen azpibarietaten klase homologoen batuketak direla.

Hitz sinpleetan azalduta, Hodge-ren Aieruak dio oinarrizko informazio topologikoa (espazio geometriko batzuetako zulo-kopurua, adibidez) espazio horien barruan dauden formak aztertuz uler daitekeela, ekuazio polinomikoen zero-multzoen (hots, funtzio polinomikoen erroen) antzekoak direnak erabiliz. Objektu horiek aljebraren eta funtzio analitikoen kalkuluaren bidez azter daitezke. Horri esker, askotan, dimentsio handiagoak dituzten espazioen forma eta egitura orokorra uler daitezke, bestela erraz ikusiko ez liratekeenak.

Aieru hau William Vallance Douglas Hodge eskoziar matematikariak formulatu zuen, 1930 eta 1940 bitartean, Rham-en kohomologiaren deskribapena aberasteko eta barietate aljebraiko konplexuen kasuan agertzen den egitura gehigarri bat gehitzeko egindako lanaren emaitza gisa. Aieruak arreta txikia jaso zuen Hodgek Cambridgen (Massachusetts) 1950eko Matematikarien Nazioarteko Biltzarrean aurkeztu aurretik.

Navier-Stokesen existentzia eta leuntasunaren problemak Navier-Stokes-en ekuazioen soluzioen propietate matematikoekin zerikusia du. Ekuazio horiek espazioko fluido baten mugimendua deskribatzen duten deribatu partzialetako ekuazioen sistema bat osatzen dute. Sistema horren soluzioak hainbat arlo praktikotan erabil ohi dira. Hala ere, soluzioen ulermen teorikoa mugatua da. Bereziki, Navier-Stokes-en ekuazioek turbulentziak barne hartzen dituzte, fisikaren problemarik garrantzitsuenetako bat izaten jarraitzen dutenak, nahiz eta zientzian eta ingeniaritzan duen garrantzi izugarria.

Are oinarrizkoagoak (eta itxuraz intuitiboagoak) diren soluzioen propietateak ez dira inoiz frogatu. Hiru dimentsiodun ekuazio-sistemetan, hasierako baldintza batzuk emanda, matematikariek ez dute inoiz frogatu soluzio leunak beti existitzen direnik, baina ez dute horren kontraadibide bat eman ere. Beraz, honi guztiari Navier-Stokes-en existentzia eta leuntasunaren problema deritzo.  

Turbulentziaren fenomeno iheskorra ulertzeko lehen pausoa Navier-Stokes-en ekuazioak ulertzea denez, 2000ko maiatzean, Clay Mathematics Institutuak problema hau Milurtekoko Sarietako Problemetako zerrendan sartu zuen.^[13]

P vs NP problema informatika teorikoan ebatzi gabeko problema garrantzitsua da. Modu erraz batean ulertzeko, edozein problemaren soluzioa azkar egiaztatzen baldin bada, azkar ebatzi daitekeen edo ez galdetzen du.

Riemann-en hipotesia, Bernard Riemann matematikariaren ostean izendatua, 1859an proposatutako aieru matematikoa da. Aieruak dio Riemann-en zeta funtzioak zeroak dituela soilik zenbaki oso negatibo bikoitietan eta zati erreala ½ duten zenbaki konplexuetan.

Hainbat matematikarik ebatzi gabeko problema garrantzitsuena dela uste dute. Izan ere, zenbaki teorian, zenbaki lehenen banaketan emaitza batzuk argitzen ditu.

Riemann-en zeta funtzioak zati erreala 1 baino handiagoa duten zenbaki konplexuen absolutuki konbergentea den serie infinitu baten adierazpena ematen du, hurrengo adierazpenean ikusi daitekeen moduan.

• ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+...}$

Funtzioaren argumentua, s aldagaia, edozein zenbaki konplexu izan daiteke, 1 zenbakia izan ezik, eta balioa zenbaki konplexu bat izango da halaber. ζ(s) = 0 lortuko da s = -2, -4, -6,... denean eta s hauei zero “tribialak” deritze. Zeroak lortuko dira beste s batzuetarako ere, eta horiei zero “ez-tribialak” deritze. Aieruaren arazo handiena zero ez-tribial horien kokapena aurkitzea da.

Aieruaren arabera, zero “ez-tribial” guztien Riemann zeta funtzioaren balio erreala ½ da. Beraz, guztiak ½ + it zuzen kritikoan kokatuta egon beharko lirateke, non t zenbaki erreal bat den eta i unitate irudikaria.

Yang–Mills existentziaren eta masa-jauziaren problema fisika matematikoan eta matematikan ebatzi gabeko problema da, eta problema honek hurrengo hau esaten du:^[14]

Edozein G kalibrazio talde trinko eta sinplerentzat, Yang-Mills teoria kuantiko ez tribiala existitzen dela R⁴-an eta masa-jauzia Δ > 0 baduela. Existentzia frogatzearekin badator propietate axiomatikoak ezartzea, gutxienez Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) eta Osterwalder & Schrader (1975) adierazitakoak bezain sendoak.

Adierazpen honetan, Yang-Mills-en teoria kuantiko bat ez-abeldar eremu-teoria kuantiko bat da, partikulen fisikako Eredu Estandarraren azpian dagoenaren antzekoa, R⁴ da lau-Euklidear espazioa; Δ masa-jauzia da, teoriak aurresandako partikuletatik masa txikienekoa.

Beraz, irabazleak frogatu behar du:

• Yang–Mills-en teoria existitzen da eta fisika matematiko garaikideak eskatzen duen zehaztasun-maila asetzen du, bereziki eremu kuantiko eraikitzailearen teoria.^[15][16]

• Teorian aurresandako indar-eremuko partikula guztien masa erabat positiboa dela.

Adibidez, G=SU(3)-ren kasuan —interakzio nuklear indartsuarena—, irabazleak frogatu behar du gluoi-bolek masa baxuagoa dutela lotuta, eta, beraz, ezin direla arbitrarioki arinak izan.

Bestealde, Sistema batean espektro-arraila bat ote dagoen zehazteko arazo orokorra ezin dela ebatzi badakigu.

Poincaré-ren aierua edo Poincaréren hipotesia, matematikako teorema bat da, hiru dimentsioko esferaren (hiperesfera edo 3-esfera) karakterizazioarekin zerikusia duena. Errazago esateko, Poincarék proposatu zuen hiru dimentsioko esfera dela hiru dimentsioko espazio (itxi eta bornatu) bakarra non ez dauden kurba itxiek mugaturiko “zuloak”.

1937 urtean, Lothar Collatzek aieru hau proposatu zuen, eta, haren omenez, aieruak bere izena hartu zuen, nahiz eta beste izen batzuk ere izan (hala nola 3n+1 arazoa edo aierua, Ulam-en aierua edo Kakutaniren arazoa). Izenak berak dioen bezala, aieru bat da, eta, beraz, ez da frogatu emaitzaren egiazkotasunik edo faltsutasunik. Ordea, ordenagailuek frogatu dute 10²⁰ baina txikiagoak diren zenbaki guztiek betetzen dutela aierua.

Problemaren definizioa:

n zenbaki arrunta izanik, honako eragiketa hau egingo da:

• n zenbaki bikoitia bada, n zenbakia zati bi egingo da.
• n zenbaki bakoitia bada, zenbakiaren hirukoitzaren hurrengo zenbakia hartuko da.

Aieruak dio, edozein zenbaki arrunt hartzen dugularik, zenbaki horri dagokion sekuentziaren bukaera 4-2-1 izango dela beti.  

Adibide batzuk:

• n = 6 hartuta, sekuentzia honelakoa izango litzateke: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Hau da, 8 pausotan 1 zenbakia lortzen da.
• n = 11 hartuta, sekuentziak 14 pauso ditu: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

• Aukeratutako zenbakia handia izateak ez du esan nahi, nahitaez, eragiketen kopurua handia denik. Adibidez:
  • n = 27 eta n = 1002 balioek 111 pausoko sekuentzia sortzen dute. Kasu honetako beste bitxikeria bat da bi kasuetan 9232 zenbakitik igarotzen direla 1 urratsera iritsi aurretik. Gainera, bai 27-k bai 1002-k 9232 zenbakia (sekuentziaren maximoa) 77.aren pausoan lortzen dute.
  • 2-ren potentziak urrats bakar batez handitzen dira. n=2 zenbakian hasita, sekuentziaren luzera pauso bakarrekoa da; n=2²=4 hartuz, bi pauso baino ez; n=2³=8, hiru pauso, eta abar. Laburbilduz, n= 2^m zenbakiaren sekuentziak m pauso dauzka 1 zenbakira iritsi arte.

Zenbakien teorian, Goldbach-en aierua problema matematiko ospetsuenetariko bat da. Frogatu beharrekoa honako hau da:

“Edozein zenbaki bikoiti bi baino handiagoa zenbaki lehenen batura gisa idatz daiteke”.

Adibidez, 4 = 2+2, 8 = 5+3, 32 = 3+29, eta abar.

Oraindik inork ez du aieruaren frogapen formala argitaratu, baina ordenagailuek erakutsi dute 10¹⁸ baino txikiagoak diren zenbaki bikoiti guztiek aierua betetzen dutela.

Bi zenbaki lehen bikiak dira baldin eta bi zenbaki horien arteko aldea 2-koa bada; adibidez, 3 eta 5, 11 eta 13, edo 41 eta 43.

Aieru honek dio zenbaki lehengusu bikien pareak amaigabeak direla. Matematikari asko, zenbaki teoria ikertzen dutenak gehienbat, aierua ebazten saiatu dira. Gehienek egiazkoa dela pentsatzen dute, eta zenbaki lehenen probabilitate-banaketari buruzko zenbakizko ebidentzietan eta arrazoiketa heuristikoetan oinarritzen dira aburu hori mantentzeko.

1849an, Alphonse de Polignacek aieru orokorrago bat formulatu zuen: edozein k zenbaki naturalentzat, 2k distantziara dauden zenbaki lehenen bikoteak amaigabeak dira. Hortaz, zehazki, k = 1 kasua zenbaki lehen bikien aierua da.