En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f ^-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ^-1 es la función completamente opuesta a la original

inversa   de f.

Sea ${\displaystyle f}$ una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto ${\displaystyle I}$ y cuya imagen sea el conjunto ${\displaystyle J}$. Entonces, la función inversa de ${\displaystyle f}$, denotada ${\displaystyle f^{-1}}$, es la función de dominio ${\displaystyle J}$ y codominio ${\displaystyle I}$ definida por la siguiente regla:

${\displaystyle f(x)=y\Leftrightarrow {}f^{-1}(y)=x{\text{.}}\,\!}$

Destaquemos que ${\displaystyle f^{-1}}$, al igual que ${\displaystyle f}$, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por ${\displaystyle f}$ y que cumple:

• ${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{i}}$ y
• ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{j}}$.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1. ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{I}}$ y
2. ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{J}}$,

entonces:

• Si se cumple 1) entonces ${\displaystyle f}$ es inyectiva y ${\displaystyle g}$ sobreyectiva, y diremos que ${\displaystyle g}$ es inversa por la izquierda de ${\displaystyle f}$.
• Si se cumple 2) entonces ${\displaystyle g}$ es inyectiva y ${\displaystyle f}$ sobreyectiva, y diremos que ${\displaystyle g}$ es inversa por la derecha de ${\displaystyle f}$.
• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son biyectivas y ${\displaystyle g}$ es la inversa de ${\displaystyle f}$.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

La notación tradicional ${\displaystyle f^{-1}}$ puede ser confusa, ya que puede dar a entender ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$ . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

• ${\displaystyle f^{\star }:B\rightarrow A}$

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número ${\displaystyle -1}$:

• ${\displaystyle f^{-}:B\rightarrow A\,}$.

• La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g^–1 y terminar con f^–1,

• La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f}$

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: ${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}}$.

• ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle f^{-1}}$ son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir ${\displaystyle f}$ así: si ${\displaystyle x}$ es racional, ${\displaystyle f(x)=x}$, y si es irracional, ${\displaystyle f(x)=-x}$. En este caso muy particular ${\displaystyle f=f^{-1}}$.

• Además, en tal caso ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle f^{-1}}$ son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  

• Las gráficas que representan ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g=f^{-1}}$ son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta ${\displaystyle y=x}$. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera ${\displaystyle M(x,y)}$ sobre el punto ${\displaystyle M'(y,x)}$. ${\displaystyle M}$ pertenece a la curva de ${\displaystyle f}$ si y sólo si ${\displaystyle M'}$ pertenece a la de ${\displaystyle g}$, porque la primera condición se escribe ${\displaystyle y=f(x)}$ y la segunda ${\displaystyle x=g(y)}$ y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle M'}$ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista ${\displaystyle g'(y)f'(x)=1}$.

• f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

• Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

• Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos, ${\displaystyle x\rightarrow x^{2}}$ Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa de la otra:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto x^{2}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto {\sqrt {x}}\end{cases}}\qquad f\circ g(x)=g\circ f(x)=x}$

• Más generalmente, la función raíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa de la función potencia definida por ${\displaystyle x\rightarrow x^{n}}$.
• También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
• Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:

Para ${\displaystyle f(x)=\cos(x)=y}$, ${\displaystyle g(y)=f^{-1}(y)=\arccos(y)}$, y utilizando ${\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}$ se obtiene: ${\displaystyle g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{-\sin(x)}}={\frac {1}{-{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$

Para ${\displaystyle f(x)=\tan(x)=y}$, ${\displaystyle g(y)=f^{-1}(y)=\arctan(y)}$, y utilizando ${\displaystyle \tan '(x)=1+\tan ^{2}(x)}$ se obtiene: ${\displaystyle g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}(x)}}={\frac {1}{1+y^{2}}}}$

Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.

• En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} \to [-1,1]\\x\mapsto {\cfrac {1}{2\pi }}\left[\ln \left({\cfrac {x^{2}+x{\sqrt {2}}+1}{x^{2}-x{\sqrt {2}}+1}}\right)+2\arctan(x{\sqrt {2}}+1)+2\arctan(x{\sqrt {2}}-1)\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{k}x^{k}}{4k+1}}\end{cases}}}$

Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:

${\displaystyle f^{-1}(x)\approx x+{\frac {x^{5}}{5}}+\dots }$

• Teorema de la función inversa, condiciones suficientes para la existencia de una función inversa continua y diferenciable.

• Bartle, Robert Galvis -Sherbert, Donald R. Introducción al Análisis matematemático de una variable, Noriega Editores, México 1984.
• Oubiña,Lía : Introducción a la teoría de conjuntos, Eudeba, Buenos Aires.