Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει τη σχέση των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με τις διαγώνιές του. Το διατύπωσε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αι. μ.Χ.) στο έργο του Μαθηματική σύνταξις,^[1] και το χρησιμοποίησε για τη δημιουργία του "πίνακα των χορδών", ενός τριγωνομετρικού πίνακα για αστρονομικούς υπολογισμούς.

Πιο συγκεκριμένα, στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$, ισχύει:^[2][3]

${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot B\Delta =AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}}$.

Λεκτικά η σχέση περιγράφεται ως εξής: "Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο (των μηκών) των διαγωνίων του είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων (των μηκών) των ζευγών των απέναντι πλευρών."

Ισχύει και το αντίστροφο: "Αν σε ένα τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών, τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο."

Έστω το εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$. Με πλευρά την ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και κορυφή το ${\displaystyle {\rm {A}}}$ κατασκευάζουμε γωνία ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BAE} }}={\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}}$, όπου ${\displaystyle {\rm {E}}}$ σημείο της ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$. Άρα θα είναι και ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {EA\Delta } }}}$, διότι είναι αθροίσματα ίσων γωνιών. Επομένως τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {ABE}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \Delta }}}$ είναι όμοια διότι έχουν τις γωνίες ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BAE} }}={\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {ABE} }}={\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}}$ (οι εγγεγραμμένες γωνίες ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}}$ είναι ίσες διότι βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\displaystyle {\rm {A\Delta }}}$). Άρα ισχύει: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BE} }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}}$ και με χιαστί γινόμενα έχουμε ${\displaystyle {\mathrm {A\Gamma } }\cdot {\mathrm {BE} }=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} }$. (1) Αλλά και τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {AE\Delta }}}$ είναι όμοια διότι έχουν τις γωνίες ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {EA\Delta } }}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {B\Gamma A} }}={\widehat {\mathrm {B\Delta A} }}}$, (ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ${\displaystyle {\rm {AB}}}$). Άρα ισχύει: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {E\Delta } }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {A\Delta } }}}$ και με χιαστί γινόμενα έχουμε ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } \cdot {\mathrm {E\Delta } }={\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }}$. (2) Προσθέτοντας κατά μέλη τις ισότητες (1) και (2), έχουμε: ${\displaystyle {\mathrm {A\Gamma } }\cdot {\mathrm {BE} }+\mathrm {A\Gamma } \cdot {\mathrm {E\Delta } }=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} +{\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }}$, ${\displaystyle {\mathrm {A\Gamma } }\cdot ({\mathrm {BE} }+{\mathrm {E\Delta } })=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} +{\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }}$ και επειδή ${\displaystyle {\mathrm {BE} }+{\mathrm {E\Delta } }={\mathrm {B\Delta } }}$, ${\displaystyle {\mathrm {A\Gamma } }\cdot {\mathrm {B\Delta } }=\mathrm {{AB}\cdot {\mathrm {\Gamma \Delta } }} +{\mathrm {B\Gamma } }\cdot {\mathrm {A\Delta } }.}$ ${\displaystyle \square }$

Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {P}}}$ σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν το ευθύγραμμο τμήμα ${\displaystyle {\rm {PA}}}$ είναι μεγαλύτερο από τα ${\displaystyle {\rm {PB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {P\Gamma }}}$, τότε το θεώρημα van Schooten λέει ότι: ${\displaystyle {\rm {PA=PB+P\Gamma }}}$.

Πράγματι, το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {ABP\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, συνεπώς από το θεώρημα του Πτολεμαίου ισχύει ότι ${\displaystyle \mathrm {PA} \cdot s=\mathrm {PB} \cdot s+\mathrm {P\Gamma } \cdot s}$. Απλοποιώντας το ${\displaystyle s}$ έπεται το ζητούμενο.

Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ και διαγώνιο ${\displaystyle \delta }$. Τότε, επειδή κάθε ορθογώνιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, από το θεώρημα του Πτολεμαίου συμπεραίνουμε ότι:

${\displaystyle \delta ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}}$,

που είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ειδικότερα, σε ένα τετράγωνο συμπεραίνουμε ότι:

${\displaystyle \delta ^{2}=2\alpha ^{2}}$ ή ${\displaystyle \delta =\alpha {\sqrt {2}}}$.

Έστω ένα κανονικό πεντάγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta E}}}$ με πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ και διαγώνιο ${\displaystyle \beta }$. Το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι εγγράψιμο, άρα από το θεώρημα του Πτολεμαίου συμπεραίνουμε ότι:

${\displaystyle \beta ^{2}=\alpha ^{2}+\alpha \beta }$ ή

${\displaystyle ({\tfrac {\beta }{\alpha }})^{2}=1+{\tfrac {\beta }{\alpha }}}$ ή

${\displaystyle {\tfrac {\beta }{\alpha }}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\phi }$, ο χρυσός λόγος.

Έστω ένα κανονικό δεκαγώνου με πλευρά ${\displaystyle \gamma }$. Αν ${\displaystyle \alpha }$ είναι η πλευρά, ${\displaystyle \beta }$ η διαγώνιος του κανονικού πενταγώνου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta E}}}$ και ${\displaystyle {\rm {AZ}}=\delta }$ η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου. Τότε, το ${\displaystyle {\rm {A\Delta Z\Gamma }}}$ είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου συμπεραίνουμε ότι:

${\displaystyle \alpha \delta =\beta \gamma +\beta \gamma }$ ή

${\displaystyle \delta =2(\beta /\alpha )\gamma }$ ή

${\displaystyle \delta =2\phi \gamma }$ ή

${\displaystyle \gamma ={\tfrac {\delta }{2\phi }}}$.

Έτσι προκύπτει η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου συναρτήσει της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο για την πλευρά ${\displaystyle \alpha }$ του κανονικού δεκαγώνου. Από την εφαρμογή του θεωρήματος του Πτολεμαίου στο κανονικό πεντάγωνο βρίσκουμε ότι ${\displaystyle \alpha =\beta /\phi }$. Αρκεί να υπολογίσουμε το ${\displaystyle \beta }$ από το ${\displaystyle \delta }$. Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {A\Delta Z} }$ είναι ορθογώνιο και από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι ${\displaystyle \beta ^{2}=\delta ^{2}-\gamma ^{2}}$, όπου ${\displaystyle \gamma =\delta /(2\phi )}$.

Ο Κοπέρνικος, διαβάζοντας το έργο του Πτολεμαίου συνοψίζει πως "αν είναι γνωστή η διάμετρος του κύκλου, τότε μπορεί να υπολογιστεί η πλευρά ενός εγγεγραμένου πολυγώνου, αν αυτό είναι τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο και δεκάγωνο".

Έστω ένας κύκλος διαμέτρου ${\displaystyle 1}$ και εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η μία κάθετη πλευρά του να είναι ${\displaystyle \alpha }$ και η απέναντι οξεία γωνία ${\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}$. Τότε ${\displaystyle \sin {\rm {A}}=\alpha /1}$, δηλ. αριθμητικά η χορδή ${\displaystyle \alpha }$ ταυτίζεται με το ημίτονο της εγγεγραμμένης γωνίας ${\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}$ που βαίνει στο τόξο της χορδής ${\displaystyle \alpha }$.

Θεωρούμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$, με πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$. Επίσης ${\displaystyle \theta _{1}}$ είναι η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής ${\displaystyle \alpha }$ και όμοια οι ${\displaystyle \theta _{2},\theta _{3},\theta _{4}}$. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου και χρησιμοποιώντας τη σχέση ${\displaystyle \alpha =\sin {\rm {A}}}$, λαμβάνουμε την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{2}+\theta _{3})}$

Έχουμε ότι ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }}$, έτσι ${\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(180^{\circ }-(\theta _{3}+\theta _{3}))=\sin(\theta _{3}+\theta _{4})}$, δηλ. για τη χορδή ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ μπορούμε να θεωρήσουμε είτε την ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$ ή τη ${\displaystyle \theta _{3}+\theta _{4}}$.

Αν ${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}}$ και ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}}$, τότε η εφαρμογή της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος του Πτολεμαίου δίνει

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})}$ με ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{1}=\theta _{2}=180^{\circ }}$ ή ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=90^{\circ }}$.

Άρα προκύπτει ότι η τριγωνομετρική μορφή του Πυθαγόρειου θεωρήματος

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1}$.

Έστω ένα ισοσκελές τραπέζιο με ${\displaystyle \beta =\delta }$ και βάσεις τις ${\displaystyle \alpha }$ και ${\displaystyle \gamma }$. Τότε οι διαγώνιες ${\displaystyle {\rm {A\Gamma =B\Delta }}}$ και ${\displaystyle \gamma =\alpha -2x}$, όπου ${\displaystyle x=\beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$. Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου, έχουμε ότι:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\\\alpha \gamma +\beta \delta ={\rm {A\Gamma \cdot B\Delta }}\Rightarrow \\\alpha \gamma +\beta ^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}\Rightarrow \\\alpha \cdot (\alpha -2\beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3}))+\beta ^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}\Rightarrow \\{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-2\cdot \alpha \beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\rm {A\Gamma }}^{2}.\end{array}}}$

Στην ειδική περίπτωση όπου:

${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$

έχουμε ότι ${\displaystyle \sin \theta _{1}=\sin(90^{\circ }-\theta _{2})=\cos(\theta _{2})}$, όμοια ${\displaystyle \sin \theta _{4}=\cos \theta _{3}}$ και ${\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{\circ })=1}$. Εφαρμόζοντας πάλι την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})}$.

Από όπου προκύπτει:

${\displaystyle \cos \theta _{2}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \cos \theta _{3}=1\cdot \sin(\theta _{3}+\theta _{2})}$,

που είναι ο τύπος για το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών.

Στην ειδική περίπτωση που ${\displaystyle \theta _{1}=90^{\circ }}$ έχουμε ότι ${\displaystyle \sin \theta _{1}=\sin 90^{\circ }=1}$, ${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }}$, ${\displaystyle \sin \theta _{4}=\sin(90^{\circ }-(\theta _{2}+\theta _{3}))=\cos(\theta _{2}+\theta _{3})}$, ${\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{\circ }+\theta _{2})=\cos \theta _{2}}$. Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow }$

${\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\cos \theta _{2}\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow }$

${\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{2}+\theta _{3})\cdot \cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\cdot \sin \theta _{2}}$

Αν είναι ${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{3}=\theta _{5}}$ τότε

${\displaystyle \sin(\theta _{5}-\theta _{2})=\sin \theta _{5}\cdot \cos \theta _{2}-\cos \theta _{5}\cdot \sin \theta _{2}}$,

που είναι ο τύπος για το ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών.

Αυτό είναι το τρίτο θεώρημα στη Μαθηματική σύνταξις και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ${\displaystyle \sin 6^{\circ }}$ ως εξής: ${\displaystyle \sin(36^{\circ }-30^{\circ })=\sin 36^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 36^{\circ }\sin 30^{\circ }}$, από όπου για το κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί το ${\displaystyle \cos 36^{\circ }=\delta /(2\alpha )=\phi /2}$. O υπολογισμός του ${\displaystyle \sin 6^{\circ }}$ ήταν ένα σημαντικό βήμα για τη δημιουργία πίνακα χορδών.

Αν ${\displaystyle \theta _{3}=90^{\circ }}$, τότε ${\displaystyle \sin \theta _{3}=1}$, ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{4}=90^{\circ }}$, ${\displaystyle \sin \theta _{1}=\sin(90^{\circ }-(\theta _{2}+\theta _{4}))=\cos(\theta _{2}+\theta _{4})}$, ${\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{\circ }-\theta _{4})=\cos \theta _{4}}$, ${\displaystyle \sin(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{2}+90^{\circ })=\cos(\theta _{2})}$.

Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

${\displaystyle \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow }$

${\displaystyle 1\cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\cos \theta _{4}\cdot \cos \theta _{2}\Rightarrow }$

${\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cdot \cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}}$.

Αυτό είναι το πέμπτο θεώρημα στη Μαθηματική σύνταξις του Πτολεμαίου και έχει την ίδια αρίθμηση στο De Revolutionibus Orbis του Κοπέρνικου.

Το θεώρημα του Πτολεμαίου, από ότι καταφαίνεται από τα πορίσματα, έδωσε στους Αρχαίους Έλληνες ένα εξαιρετικά ευέλικτο εργαλείο. Παρά τη μικρότερη επιδεξιότητά του απ΄τον σημερινό μας τριγωνομετρικό συμβολισμό, ο γνώστης της εποχής εκείνης μπορούσε να υπολογίσει ακριβείς πίνακες χορδών, που αντιστοιχούν στους πίνακες ημιτόνων της εποχής μας. Τέτοιους πίνακες σχημάτισε ο Ίππαρχος ο Νικαιεύς τρεις αιώνες πριν τον Πτολεμαίο, άρα πρέπει να γνώριζε το θεώρημα και τα πορίσματά του. Τέσσερις γενιές πιο πριν από αυτόν, ο Τιμόχαρις ο Αλεξανδρεύς (320-280 π.Χ.) συνέταξε κατάλογο αστέρων. Αν, όπως φαίνεται πιθανό, η σύνταξη τέτοιων καταλόγων χρειάζεται το θεώρημα του Πτολεμαίου, τότε οι απαρχές του θεωρήματος χάνονται πίσω στο χρόνο. Είναι το 2ο θεώρημα του Κοπέρνικου στο έργο του De Revolutionibus Orbis.

Θεώρημα (Η ανισοτική σχέση του Πτολεμαίου) — 

Σε κάθε μη εγγράψιμο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ το γινόμενο των διαγωνίων του είναι μικρότερο από το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών του^[4]:312-313

${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot B\Delta <AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}}$.

Απόδειξη

Έστω το μη εγγράψιμο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας η κορυφή ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ είναι εξωτερικό σημείο της περιφέρειας που διέρχεται από τις κορυφές ${\displaystyle {\rm {A,B,\Delta }}}$. Με πλευρά την ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και κορυφή το ${\displaystyle {\rm {A}}}$ κατασκευάζουμε γωνία ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA} x}}={\widehat {\mathrm {\Gamma A\Delta } }}}$. Επίσης με πλευρά την ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και κορυφή το ${\displaystyle {\rm {B}}}$ κατασκευάζουμε γωνία ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {AB} y}}={\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}}$ και έστω ${\displaystyle {\rm {E}}}$ το σημείο τομής των ${\displaystyle \mathrm {A} x}$ και ${\displaystyle \mathrm {B} y}$. Τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {ABE}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \Delta }}}$ είναι όμοια εκ κατασκευής, άρα: ${\displaystyle {\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {BE}}{\rm {\Gamma \Delta }}}}$ δηλ. ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot BE=AB\cdot \Gamma \Delta }}}$. (1) Αλλά είναι ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {BA\Gamma } }}={\widehat {\mathrm {EA\Delta } }}}$, διότι αποτελούν αθροίσματα ίσων γωνιών και επειδή είναι ${\displaystyle {\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {AE}}{\rm {A\Delta }}}}$ (λόγω των ομοίων τριγώνων ${\displaystyle {\rm {ABE}}}$ και ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \Delta }}}$) έπεται ότι και τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {EA\Delta }}}$ είναι όμοια, άρα: ${\displaystyle {\frac {\rm {B\Gamma }}{\rm {E\Delta }}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Delta }}}}$ δηλ. ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot E\Delta =B\Gamma \cdot A\Delta }}}$. (2) Προσθέτουμε τις ισότητες (1) και (2) και βρίσκουμε: ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot BE+{\rm {A\Gamma \cdot E\Delta =AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}}}}$, ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot (BE+E\Delta )=AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}}$. (3) Επειδή η κορυφή ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ βρίσκεται εκτός της περιφέρειας που διέρχεται από τις κορυφές ${\displaystyle {\rm {A,B,\Delta }}}$ η γωνία ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {A\Gamma \Delta } }}}$ είναι μικρότερη από την γωνία ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {AB\Delta } }}}$ και άρα η πλευρά ${\displaystyle {\rm {BE}}}$ δεν συμπίπτει με την διαγώνιο ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$, οπότε αν φέρουμε την ${\displaystyle {\rm {E\Delta }}}$ σχηματίζεται το τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {EB\Delta }}}$. Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {EB\Delta }}}$ ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {B\Delta <BE+E\Delta }}}$. Αν λοιπόν στην ισότητα (3) αντικαταστήσουμε το άθροισμα ${\displaystyle {\rm {BE+E\Delta }}}$ με το μικρότερό του ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$ το πρώτο μέλος της ελαττώνεται και άρα η σχέση (3) γίνεται: ${\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot B\Delta <AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}}$. ${\displaystyle \square }$

Γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου είναι το θεώρημα Casey.

• Δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου
• Θεώρημα Casey

• Διαδραστική εφαρμογή για το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου
• Θεώρημα του Πτολεμαίου: Αποδείξεις και Εφαρμογές

• Θρουμουλόπουλος Λάζαρος (1976). «Αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος του Πτολεμαίου και εφαρμογή του στην εύρεση του σημείου Steiner». Ευκλείδης Β΄ (5): 7. 
• Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29. 

• Sillitto, A. G. (Δεκεμβρίου 1966). «147. Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 50 (374): 388–388. doi:10.1017/S0025557200243404. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1966-12_50_374/page/388. 
• Milne-Thomson, L. M. (Δεκεμβρίου 1936). «A Generalization of Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 20 (241): 322–323. doi:10.2307/3607314. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1936-12_20_241/page/322. 
• Kkishnaswami Ayyangar, A. A. (Ιανουαρίου 1923). «653. [K 1 . 8. b.] Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 11 (162): 236–237. doi:10.2307/3604611. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1923-01_11_162/page/236. 
• Shively, L. S. (1946). «Ptolemy's Theorem and Regular Polygons» (στα αγγλικά). The Mathematics Teacher 39 (3): 117-120. https://www.jstor.org/stable/27953071.