Axiomatická teorie množin

Úvodní strana knihy Principia Mathematica autorů A. Whiteheada a Bertranda Russela, která je jednou ze zakladatelských prací Axiomatické teorie množin

Axiomatická teorie množin je označení pro teorii, která formalizuje vlastnosti množin takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná tvrzení této teorie budou přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky (algebra, diferenciální rovnice, geometrie, teorie pravděpodobnosti i všechny ostatní).[zdroj?]

Hlavní význam takových teorií je v tom, že staví na velmi solidní základ pojem „dokazatelné matematické tvrzení“ a tedy poskytují užitečné vodítko při ověřování, zda nějaký matematický důkaz je korektní.[zdroj?]

Nejpoužívanější axiomatická teorie množin je jednak Zermelova-Fraenkelova teorie množin (značení ZF) a dále ZF s přidaným axiomem výběru (ta se značí ZF+AC nebo ZFC). ZFC je všeobecně uznávána jako teorie, která přesně popisuje platné matematické pravdy, tj. matematická věta je pokládána za pravdivou, právě když je dokazatelná v ZFC (dokazatelnost ovšem nelze snadno ověřit, neboť v každém okamžiku existuje mnoho pravdivých hypotéz, které ještě nebyly dokázány nebo ani vysloveny).[zdroj?]

Aplikace Gödelových vět o neúplnosti na axiomatickou teorii množin přináší vhledy na podstatu a filosofii matematiky, neboť z ní vyplývá, že sebelepší axiomatika teorie množin bude vždy obsahovat nerozhodnutelná tvrzení (množinu všech matematických pravd nelze popsat žádnou soustavou axiomů) a že pokud teorie, kterou chceme používat k popisu všech matematických pravd, je bezesporná, nelze tuto bezespornost dokázat.[zdroj?]

Důvod vzniku

K převážné většině matematických konstrukcí (včetně pokročilých, jako je úplný obal metrického prostoru) stačí intuitivní (naivní) teorie množin, v níž intuitivně pracujeme s množinami jako se souhrny objektů. Tento přístup však vede k rozporům, pokud pracujeme s „příliš velkými“ množinami (nejznámější z těchto sporů je Russelův paradox). Vzato do důsledků, naivní teorie množin je sporná a proto v ní lze dokázat cokoli (např. že 1+1=42).

V reakci na tyto rozpory vznikla axiomatická teorie množin, která staví dokazatelnost matematických pravd na pevný základ. Její hlavní přednosti oproti naivní teorii jsou tyto:

1. Neumožňuje Russelův paradox (a další paradoxy naivní teorie množin) tím, že velké souhrny objektů (například „souhrn všech množin“) v ní nejsou pokládány za množiny, nýbrž jsou nazývány vlastními třídami a pracuje se s nimi jinak.[zdroj?]

2. Nepředpokládá nic kromě přesně vyjmenovaných axiomů (odtud název „axiomatická“). Ani tak samozřejmé skutečnosti, jako že existuje prázdná množina (nebo že k množinám a, b existuje i množina {a,b}) není dovoleno předpokládat, dokud to není dokázáno z axiomů anebo samo není axiomem.

Predikátová logika dává návod, jak prohledáváním nekonečného stromu ověřit dokazatelnost tvrzení z dané množiny axiomů.[zdroj?] Existence soustavy axiomů, z nichž plyne každé matematické tvrzení, tedy umožňuje algoritmicky rozhodnout o pravdivosti jakékoli matematické hypotézy (tento algoritmus se nezastaví, pokud je tato hypotéza nerozhodnutelná z axiómů ZFC). To je sice v praxi nepoužitelné, protože počet větví stromu je astronomicky velký, ale přesto je ZFC užitečným vodítkem při diskuzi, zda nějaký argument lze nazvat platným matematickým důkazem.

Proč množiny?

Při konstrukci teorie, která má obsáhnout celou matematiku, není možné do ní přidat všechny druhy objektů – například přidat predikát „tento objekt univerza je přirozené číslo“ (podobně, jako GB má predikát „tento objekt je množina“) a vložit axiomy, které chování přirozených čísel popisují (např. Peanovy axiomy).

Při takovém přístupu by se množina predikátů a axiomů neustále rozrůstala, například po objevení komplexních čísel, hyperkomplexních čísel apod. S každým rozšířením by se musely znovu dokazovat výsledky o teorii dokázané (například to, že nějaké tvrzení je v této teorii nezávislé).[zdroj?][pozn 1]

Proto je zvolen opačný přístup: axiomy popisují vlastnosti skupiny co nejjednodušších objektů, které stačí ke zkonstruování celé matematiky. Ukázalo se, že k tomuto účelu nejlépe slouží množiny; z těch lze zkonstruovat přirozená čísla, reálná čísla, funkce, přímky, topologické prostory atd.

Konstrukce objektů

Jelikož cílem ZF je popsat jedinou soustavou axiomů celou matematiku, není možné postupovat tak, že zavedeme pojem např. „přirozené číslo“ a vložíme axiomy o tom, jaké vlastnosti přirozená čísla mají. V takovém případě bychom museli rozšířit množinu axiomů pokaždé, když je v matematice objeven další důležitý pojem (reálné číslo, funkcionál, kategorie...)

Proto ZF vychází z předpokladu, že všechny matematické objekty jsou množiny, a její axiomy poskytují možnost z množin konstruovat množiny složitější. Prvek množin tedy mohou být opět jen množiny.

Matematické objekty, se kterými chceme pracovat, pak ztotožníme s vhodnými množinami – víme, jaké vlastnosti očekáváme od přirozených čísel (například že ke každému číslu existuje číslo o jedničku větší), a proto zvolíme množiny, které odpovídající vlastnost mají.

Uspořádané dvojice

Symbol (a, b) pokládáme za zkratku pro {{a}, {a, b}} .Tato definice splňuje základní vlastnost, kterou od uspořádaných dvojic čekáme:

(a, b) = (c, d) právě když a = c a zároveň b = d.

Přirozená čísla

  • Číslo 0 ztotožníme s prázdnou množinou
  • Číslo 1 ztotožníme s množinou
  • Číslo 2 ztotožníme s množinou
  • Číslo 3 ztotožníme s množinou
  • Obecně

Formálně: Množinu přirozených čísel definujeme jako průnik všech množin, které obsahují prázdnou množinu a s každým svým prvkem obsahují i množinu .

Množinu přirozených čísel (včetně nuly) značíme .

Celá čísla

Ilustrace definice celých čísel

Máme-li definovaná přirozená čísla, pak by se mohlo zdát přirozené reprezentovat záporné číslo jako . To však nelze, protože pro některá přirozená čísla by mohlo platit .

Je však možné reprezentovat přirozená čísla (pro ) jako a záporná čísla (pro ) jako . Tato definice se nepoužívá, protože by definice sčítání, násobení apod. byla složitější, než u definice následující:

Idea je reprezentovat celé číslo nekonečnou množinou takových dvojic , že jsou přirozená čísla splňující . Například

Formálně: Množina celých čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech tříd ekvivalence) kartézského součinu x podle ekvivalence:

~ právě když .

Máme-li definované sčítání a násobení pro přirozená čísla, definujeme je pro celá čísla takto: vyberme libovolný prvek (tzv. reprezentant) a čísel, které chceme sečíst. Výsledkem bude třída ekvivalence, která obsahuje dvojici (tato třída nezávisí na volbě reprezentantů):

  • Pro sčítání:
  • Pro násobení:

Vzoreček pro násobení lze snadno odvodit roznásobením vztahu

Podobně se postupuje i u dalších matematických operací.

Za pozornost stojí i skutečnost, že totéž číslo (například 2) je reprezentováno jinak jako přirozené číslo než jako celé číslo. Množina přirozených čísel tedy formálně není podmnožinou množiny celých čísel. S podobným jevem se v teorii množin setkáváme velmi často; tento přístup je volen proto, abychom nemuseli změnit reprezentaci množiny, pokud konstruujeme její rozšíření – například kdyby komplexní čísla a kvaterniony (což jsou oboje rozšíření reálných čísel) byly objeveny až poté, co byla ustálena konvence, jak reálná čísla v teorii množin reprezentovat.

Racionální čísla

Každé racionální číslo lze zapsat nekonečně mnoha způsoby jako zlomek, např.:

3/2 = 6/4 = 300 / 200 = -300 / -200.

Racionální číslo budeme tedy reprezentovat množinou všech takovýchto dvojic .

Formálně: Množina racionálních čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech tříd ekvivalence) množiny

podle ekvivalence

~ právě když .
Definice pomocí Dedekindových řezů

V této definici značí množinu celých čísel definovanou výše a zápis se týká nuly jako celého čísla, což je formálně jiný objekt, než nula jako přirozené číslo.

Definice sčítání, násobení apod. odvodíme podobným způsobem jako u celých čísel.

Reálná čísla

Reálná čísla je možno definovat několika způsoby, například ztotožnit jejich množinu s množinou všech Dedekindových řezů.

Gödelovy věty a nedokazatelná tvrzení

Gödelovy věty o neúplnosti říkají, že je-li nějaká predikátová teorie bezesporná, rekurzivně axiomatizovatelná a dokazuje základní aritmetické pravdy, pak není úplná a neumí dokázat svoji bezespornost.

V každé teorii, kterou chceme pokládat za popis všech matematických pravd, musí být dokazatelné základní aritmetické pravdy a měl by existovat algoritmus, kterým ověříme, zda dané tvrzení je axiomem; bez takového algoritmu je teorie nepoužitelná k praktickým účelům.[pozn 2]

Z toho plyne, že je-li tato teorie bezesporná, pak pro ni platí obě Gödelovy věty o neúplnosti a její bezespornost není nikdy možné dokázat.[pozn 3] V její bezespornost matematická komunita pevně věří, protože spor nebyl objeven přes téměř celé století, kdy je tato teorie používána. Pro ZFC, která je běžně přijímána jako popis všech matematických pravd, jsou tedy dvě možnosti:

  • ZFC je bezesporná, potom nikdy nebude objeven důkaz sporu i důkaz bezespornosti.
  • ZFC je sporná; pokud bude objeven důkaz její bezespornosti, Gödelova druhá věta o neúplnosti dá návod, jak zkonstruovat důkaz sporu.

Dopad na filosofii matematiky

Výše uvedené úvahy nevyužívaly specifické vlastnosti ZFC. Platí o každé rekurzívně spočetné teorii, kterou přijímáme jako popis všech matematických pravd a která umí dokázat základní pravdy aritmetiky (poslední podmínka v zásadě plyne z předposlední).

Z toho plyne, že výše uvedené „vady“ ZFC (její neúplnost a nemožnost ověřit její bezespornost) nelze napravit vhodnější volbou jejích axiomů; není tedy možný Hilbertův program. Matematické pravdy tedy nikdy nebudou plně popsány soustavou axiómů.

Bezespornost ZFC je možno snadno dokázat v nějaké silnější teorii (např. Kelleyova-Morseova teorie s axiómem výběru), ovšem to nemá žádnou váhu pro ověření, že je skutečně bezesporná. Kdybychom si byli jisti bezesporností KM+AC, nemuseli bychom ověřovat bezespornost ZFC, která z ní plyne. A pokud si nejsme jisti ani bezesporností KM+AC, tím méně můžeme spoléhat, že každé tvrzení v ní dokazatelné je pravdivé (což je podstatně silnější tvrzení: například PA s přidaným axiomem „PA je sporná“ je bezespornou teorií).

Nerozhodnutelná tvrzení v teorii množin mají nejen akademický význam, ale týkají se i „praktičtějších“ oblastí matematiky, jako je Matematická analýza (příkladem je Hypotéza kontinua). Bez axiomu výběru je nerozhodnutelná i řada zcela fundamentální faktů pro práci v matematice, například zda je každá funkce Lebesgueovsky integrovatelná a zda je kartézský součin neprázdných množin vždy neprázdný.

Historie

Ilustrace Cantorovy diagonální metody

Axiomatická teorie množin se vyvinula během dvacátého století z naivní teorie množin, kterou zavedli Georg Cantor a další.

Naivní teorie množin

Naivní teorie množin vznikla z nutnosti popsat objekty, se kterými pracovala matematická analýza i v jiných matematických disciplínách.

Prvním vážným pokusem o přesný popis těchto objektů byla práce Bernarda Bolzana, jenž zavedl pojem množina a zkoumal vlastnosti nekonečných množin. Na toto téma napsal knihu Paradoxy nekonečna (Paradoxien des Unendlichen), která byla vydána až po jeho smrti.

Opravdovým zakladatelem teorie množin je Georg Cantor, který zavedl pojmy jako potenční množina, ordinál či kardinál. Též dokázal existenci nespočetných množin. K tomu použil zcela nový důkazní prostředek, dnes nazývaný Cantorova diagonální metoda. Později dokázal takzvanou Cantorovu větu tvrdící, že ke každé množině existuje množina o větší mohutnosti – její potenční množina. Používal tuto definici množiny: „Množinou A rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v naší mysli. Těmto objektům říkáme prvky množiny A.“.[1] Tato teorie dosáhla vynikajících výsledků, avšak na přelomu devatenáctého a dvacátého století se v ní objevili antinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin; viz níže).

Paradoxy naivní teorie množin a počátky axiomatické teorie množin

Na přelomu 19. a 20. století byly v naivní teorii množin objeveny antinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin). První se týkaly pouze velmi velkých souborů, jako je množina všech ordinálních čísel (Burali-Fortiho paradox) anebo množina všech množin (Cantorův paradox). Těmto antinomiím se nepřikládal velký význam, neboť se předpokládalo, že zpřesněním práce s tak velkými soubory se odstraní.

Opravdovým problémem se ukázal Russellův paradox, týkající se množiny, která je definována jednoduchou formulí. Russellův paradox se dá popsat takto: „Mějme množinu všech množin, které nejsou prvky samy sebe. Je tato množina svým prvkem? Obě možné odpovědi vedou ihned ke sporu.

V následujících letech se objevilo ještě několik obdobných problémů; například Richardův paradox týkající se diagonální metody a sémantiky obecného jazyka.

Počátky axiomatické teorie množin

V roce 1908 Ernst Zermelo v článku Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (česky: Zkoumání základů teorie množin) popsal teorii množin s axiomem extenzionality, axiom dvojice, axiom potenční množiny, axiom sumy, axiom nekonečna, axiom výběru a schéma axiomů vydělení.[2] V roce 1917 Dmitrij Mirimanov schéma axiomů vydělení nahradil obecnějším schématem axiomů nahrazení.

Jednotlivé systémy

Existuje několik různých systémů axiomatizace teorie množin s různou silou a výsledky. Zde je uvedena jen část z nich.

Zermelova-Fraenkelova teorie množin

Související informace naleznete také v článku Zermelova-Fraenkelova teorie množin.

Zermelova-Fraenkelova teorie množin je dnes nejužívanější ze systémů axiomatické teorie množin[zdroj?], která je sama o sobě nebo v některých mírných modifikacích (zejména s přidaným axiomem výběru) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky včetně algebry a matematické analýzy.[zdroj?] Tento systém nedefinuje třídy, ty jsou jen součástí metajazyka.[zdroj?]

Mezi tvrzení nerozhodnutelná v této teorii patří například axiom výběru[3], hypotéza kontinua[4], Axiom konstruovatelnosti[5] a Suslinova hypotéza[6]. Všechny výsledky tohoto druhu (že něco nejde z axiomů ZFC dokázat) jsou ovšem formulovány s podmínkou „Pokud je ZFC bezesporná“, neboť její bezespornost nelze ověřit.

Je založena na těchto axiomech[7][pozn 4]:

  • Axiom extenzionality: Množiny, které mají stejné prvky, se rovnají.
  • Schéma axiomů nahrazení: Je-li F(x,y) formule jazyka teorie množin v proměnných x,y, která je navíc zobrazením (tj. pokud F(x,y) a F(x,z), pak y = z) pak každý výrok Pro každou množinu a existuje množina b obsahující právě všechny obrazy prvků množiny a v zobrazení F(x,y) je axiomem ZF.
  • Axiom dvojice: Pro každé dvě množiny a,b existuje množina c obsahující právě tyto dvě množiny.
  • Axiom sumy: Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny prvky prvků množiny a.
  • Axiom potenční množiny: Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny podmnožiny množiny a.
  • Axiom nekonečna:
  • Axiom fundovanosti:

Zermelova-Fraenkelova teorie množin s axiomem výběru

Související informace naleznete také v článku ZFC.

Zkratkou ZFC je označována axiomatická soustava teorie množin, kterou tvoří axiomy Zermelo-Fraeneklovy teorie množin a axiom výběru (zkratka AC – z anglického axiom of choice).

Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin

Související informace naleznete také v článku Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin.

Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin (NBG, též (Von Neumannova)-Gödelova-Bernaysova teorie množin, NGB, GB) se z hlediska své síly příliš neliší od ZF či ZFC – libovolný výrok o množinách je v NBG dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v ZF – mluvíme tedy o teorii NBG jako o konzervativním rozšíření teorie ZF (říkáme také, že NBG a ZF jsou ekvikonzistentní).[11][12] Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů. NBG jich má konečný počet díky použití vlastních tříd.[11][13]

Na rozdíl od ZFC, jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco třídy tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v NBG jsou množiny i třídy objektem teorie množin – na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení – jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:

.

Někdy se k axiomům NBG přidává ještě takzvaný axiom výběru či silný axiom výběru. Výsledná teorie se pak značí NBG+AS[zdroj?].

Na rozdíl od ZF neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) NBG nekonečný počet axiomů – nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.[11]

Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné)[14]:

  • axiom definice množiny:
  • axiom existence množiny:
  • axiom extenzionality pro třídy:
  • schéma existence tříd: kde je formule v níž jsou kvantifikovány pouze množinové proměnné
  • axiom dvojice:
  • axiom nahrazení:

Kelleyova-Morseova teorie množin

Související informace naleznete také v článku Kelleyova-Morseova teorie množin.

Kelleyova-Morseova teorie množin (označovaná též KM) je teorie silnější než jsou klasické axiomatizace Zermelova-Fraenkelova (ZF) a Von Neumannova-Gödelova-Bernaysova (NGB).[15]KM je dokazatelná (formální) konzistence ZF[zdroj?].

Axiomatizace KM je velmi podobná axiomatizaci GB, liší se pouze ve schématu existence tříd, kde (na rozdíl od GB) připouští existenci třídy odpovídající libovolné formuli. Tato zdánlivě drobná odlišnost je však příčinou toho, že KM je nesrovnatelně silnější teorií než GBZF.[zdroj?]

Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné):[16]

  • axiom definice množiny:
  • axiom existence množiny:
  • axiom extenzionality pro třídy:
  • schéma existence tříd: kde je libovolná formule jazyka teorie množin
  • axiom dvojice:
  • axiom nahrazení:

New Foundations

New Foundations (NF) je axiomatizace, kterou vyvinul Willard van Orman Quine. Jedná se o zjednodušení teorie typů z knihy Principia Mathematica. Na rozdíl od teorie typů nepoužívá hierarchii typů. Axiomy NF vylučují axiom výběru.[17]

Je založena na těchto axiomech:[18]

  • axiom extenzionality: Dva objekty jsou stejné, pokud se skládají ze stejných prvků.
  • schéma axiomů vydělení: Množina existuje, když je formule logiky prvního řádu, která může být odvozena z dobře definované formule teorie typů odstraněním všech indexů typů (za zajištění toho, že proměnné různých typů nesplynou).

Schéma axiomů vydělení, může být nahrazeno konečně mnoha svými případy. Použití konečné axiomatizace odstraňuje nutnost v definicích zmiňovat typy.[18][19]

Často se používá ve schématu vydělení koncept vrstvené formule (anglicky stratified formula). (Řekneme, formule je vrstvená, jestliže existuje funkce) f taková, že všem objektům univerza vrátí přirozené číslo a pro platí a pro platí . Schéma axiomů vydělení pak zní:

existuje pro každou vrstvenou formuli .[20]

Teorie polomnožin

Související informace naleznete také v článku Teorie polomnožin.

Teorie polomnožin byla vyvinuta v 70. a 80. letech 20. století Petrem Vopěnkou a Petrem Hájkem[zdroj?]. Její axiomatizace je podobná Von Neumannově-Gödelově-Bernaysově teorii množin, ale liší se tím, že umožňuje existenci vlastních tříd, které jsou částí nějaké množiny (). Tato vlastnost umožňuje polomnožinám sloužit jako základ Vopěnkovy alternativní teorie množin[21]

Axiomatizace konečných množin

K některým axiomatizacím teorie množin lze nadefinovat i odpovídající axiomatizace konečných množin.

Například ZFFin získáme ze ZF tak, že axiom nekonečna nahradíme jeho negací.[22] Obdobně se získají NBGFin (respektive KMFin).

Dá se dokázat, že:

  • všechny uvedené teorie jsou bezesporné.[pozn 5]
  • KMFin je ostře silnější než ZFFin.

Odkazy

Poznámky

  1. Stačí si uvědomit, že s každým přidaným (z ostatních axiomů neodvoditelným) axiomem se rozšiřuje množina dokazatelných tvrzení, a navíc se může stát, že naše teorie se stane spornou (tedy se dá dokázat nějaké tvrzení i jeho negace).
  2. Gödelovy věty o neúplnosti vyžadují rekurzivně spočetný jazyk, což je slabší podmínka, než rekurzivní jazyk. Teorie používané v praxi ovšem splňují mnohem přísnější podmínky, než existence obecného (neomezeně složitého) algoritmu; viz například schéma nahrazení nebo schéma indukce – jsou definovány jednoduchými operacemi s řetězci. Do tohoto schématu patří každý řetězec znaků. který vznikne dosazením libovolné formule do předem daného řetězce.
    Příkladem teorie, která není rekurzívně spočetná (tj. nesplňuje ani nejslabší z výše uvedených podmínek) je teorie v jazyce Peanovy aritmetiky (PA), která obsahuje jako axiomy všechny formule, které jsou pravdivé ve struktuře přirozených čísel (tato struktura je jen jeden z mnoha možných modelů PA). Je tedy rozšířením PA, ovšem na rozdíl od ní umí dokázat, že PA je bezesporná. Tato teorie by byla pro mnoho praktických účelů užitečnější, než PA, ale je v praxi nepoužitelná, neboť neexistuje způsob, jak ověřit, zda nějaké tvrzení je nebo není jejím axiomem.
  3. To platí proto, že teorie, jejíž bezespornost zkoumáme, je zároveň teorií, které věříme, že popisuje platné matematické pravdy. Pokud zkoumáme nějakou slabší teorii, například PA, pak na důkaz její bezespornosti sice nestačí PA, ovšem stačí na ni naše „znalost matematiky“ (která je reprezentována například teorií ZFC); v té lze ukázat, že přirozená čísla tvoří model PA a z toho odvodit její bezespornost).
  4. Mezi axiomy ZF se někdy uvádějí i axiom existence množiny a schéma axiomů vydělení (Je-li formule, která neobsahuje volnou proměnnou z, potom formule ) je axiomem teorie. Tyto axiomy však lze odvodit z ostatních axiomů. Jmenovitě axiom existence množiny plyne okamžitě z axiomu nekonečna a schéma axiomů vydělení ze schématu axiomů nahrazení.[8][9] Tyto axiomy jsou však potřebné pro dílčí axiomatizace (Zermelova teorie množin a Fraenkelova teorie množin).[7]
  5. Stačí si uvědomit, že konečné teorie jsou slabší než odpovídající teorie s nekonečny.

Reference

  1. Jiří Velebil, Naivní teorie množin, 27. února 2008: 15/16.Chybí název periodika! [cit. 2011-05-17]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2020-05-30. 
  2. Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Mathem. Annalen 1908[nedostupný zdroj]
  3. Encyclopedia of Mathematics [online]. Springer [cit. 2019-02-15]. Kapitola Axiom of choice. Dostupné online. 
  4. Encyclopedia of Mathematics [online]. Springer [cit. 2019-02-15]. Kapitola Continuum hypothesis. Dostupné online. 
  5. Encyclopedia of Mathematics [online]. Springer [cit. 2019-02-15]. Kapitola Gödel constructive set. Dostupné online. 
  6. Encyclopedia of Mathematics [online]. Springer [cit. 2019-02-15]. Kapitola Suslin hypothesis. Dostupné online. 
  7. a b BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. Dostupné online. ISBN 80-200-0470-X. Kapitola I2, s. 35-43. 
  8. BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. Dostupné online. ISBN 80-200-0470-X. Odstavec I2.27, s. 35-43. 
  9. Metamath Proof Explorer, Theorem axsep.
  10. BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. Dostupné online. ISBN 80-200-0470-X. Odstavec I7, s. 102. 
  11. a b c SZUDZIK, Matthew. "von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein [online]. Wolfram [cit. 2010-10-08]. Dostupné online. (anglicky) 
  12. SOCHOR, Antonín. Metamatematika teorií množin. Praha: Karolinum, 2005. 205 s. ISBN 80-246-1160-0. Kapitola Paragraf 4, s. 55. 
  13. SOCHOR, Antonín. Metamatematika teorií množin. Praha: Karolinum, 2005. 205 s. ISBN 80-246-1160-0. S. 19. 
  14. COHEN, Paul J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. New York: Benjamin, 1966. 160 s. Dostupné online. 
  15. SOCHOR, Antonín. Metamatematika teorií množin. Praha: Karolinum, 2005. 205 s. ISBN 80-246-1160-0. Kapitola Paragraf 2, s. 47. 
  16. R.B. Chuaqui, Axiomatic set theory
  17. New Foundations home page - Big problem. math.boisestate.edu [online]. [cit. 2011-05-17]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2020-03-21. 
  18. a b New Foundations home page - Definition. math.boisestate.edu [online]. [cit. 2011-05-17]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2020-03-21. 
  19. Hailperin, T. “A set of axioms for logic,” Journal of Symbolic Logic 9, pp. 1-19.
  20. Forster, Thomas, "Quine's New Foundations", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
  21. http://eom.springer.de/A/a110560.htm Springer, Encyclopaedia of Mathematics: Petr Vopěnka - Alternative set theory
  22. SOCHOR, Antonín. Metamatematika teorií množin. Praha: Karolinum, 2005. 205 s. ISBN 80-246-1160-0. S. 17. 

Read other articles:

Wali Kota GunungsitoliPetahanaLakhömizaro Zebuasejak 26 April 2021Masa jabatan5 tahun dan dapat dipilih kembali untuk satu kali masa jabatanDibentuk26 November 2008; 15 tahun lalu (2008-11-26)Pejabat pertamaMartinus LaseSitus webSitus web resmi Gunungsitoli sebagai sebuah kota yang dimekarkan dari Kabupaten Nias pada 2008 memiliki kepala daerah yang umumnya disebut sebagai Wali Kota. Wali Kota Gunungsitoli merupakan seorang politisi yang terpilih bersama dengan wakil wali kota mela...

 

  Lempeng Antarktika, berwarna biru tua (bagian bawah). Lempeng Antarktika adalah sebuah lempeng tektonik yang meliputi benua Antarktika serta bentangan samudra yang melingkupinya. Lempeng Antarktika berbatasan dengan Lempeng Nazca, Lempeng Amerika Selatan, Lempeng Afrika, Lempeng Indo-Australia, Lempeng Scotia, serta perbatasan yang memanjang dengan Lempeng Pasifik yang membentuk Punggung laut Pasifik-Antarktika. Luas Lempeng Antarktika kira-kira mencapai 60.900.000 kilometer perse...

 

Star-Spangled Banner beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Star-Spangled Banner (disambiguasi). Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari The Star-Spangled Banner di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki...

American television sitcom This article is about the 1991 sitcom. For the 1981 medical drama, see Nurse (American TV series). For the 2019 medical drama, see Nurses (Colombian TV series). For the 2020 medical drama, see Nurses (Canadian TV series). NursesGenreSitcomCreated bySusan HarrisDirected by Robert Berlinger Peter D. Beyt Andy Cadiff Terry Hughes Gil Junger Lex Passaris Tom Straw Starring Arnetia Walker Stephanie Hodge Mary Jo Keenen Carlos Lacamara Jeff Altman Florence Stanley David R...

 

Profession that helps a disabled person function in everyday life For the journal, see Physical Therapy (journal). Physical therapy / physiotherapyMilitary physical therapists working with patients on balance problems, orthopedic, amputee, Examining patient's strength, flexibility, joint range of motion balance and gait.ICD-9-CM93.0-93.3MeSHD026761[edit on Wikidata] Disability Theory and models Disability theory Ableism / Disablism Medical model Social model Education Mainstreami...

 

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (November 2021) (Learn how and when to remove this template message) The Military ranks of the Italian Social Republic were the military insignia used by the National Republican Army of the Italian Social Republic. The ranks were essentially the same as the military ranks of th...

Pelabuhan Wicklow Wicklow (bahasa Irlandia: Cill Mhantáin berarti Gereja Ompong) ialah ibu kota county dengan nama yang sama di Republik Irlandia. Terletak di selatan ibu kota negara Dublin di pesisir timur Pulau Irlandia, kota ini berpenduduk sekitar 9.355 jiwa. Kota ini terletak di jalan nasional N11 yang menghubungkan Dublin dengan Wexford, dan juga terhubung dengan layanan kereta api komuter dengan Dublin. Layanan tambahan menghubungkannya dengan Arklow, Wexford dan Rosslare, pelabuhan f...

 

Миграция голубых гну в национальном парке Серенгети Миграция животных (от лат. migratio — переселение) — закономерное передвижение животных между значительно отличными местами расселения, иногда связанное с преодолением значительных расстояний[1][2]. Содер...

 

† Египтопитек Реконструкция внешнего вида египтопитека Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:Четвероно...

Municipal building in Rhyl, Wales Rhyl Town HallNative name Neuadd y Dref RhylRhyl Town HallLocationWellington Road, RhylCoordinates53°19′11″N 3°29′29″W / 53.3198°N 3.4915°W / 53.3198; -3.4915Built1876ArchitectWood and TurnerArchitectural style(s)Gothic style Listed Building – Grade IIOfficial nameTown HallDesignated2 February 1981Reference no.1498 Shown in Denbighshire Rhyl Town Hall (Welsh: Neuadd y Dref Rhyl) is a municipal structure in Wellington...

 

تحليل تبادلي الرسم البياني يوضح المفاهيم في نظرية تحليل المعاملات، الورة هي لغلاف كتاب الالعاب الشعبية إريك برن الصورة 1964. معلومات عامة من أنواع نظرية التحليل النفسي  تعديل مصدري - تعديل   التحليل التفاعلي (بالإنجليزية: Transactional analysis)‏ وتسمى ايضاُ تحليل المعاملات أو ا�...

 

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016) بطولة أمم إفريقيا لكرة السلة 1995 المعطيات المنطقة أفريقيا المستضيف  الجزائر العام 1995 التواريخ ديسمبر 11...

The government of Washington State is the governmental structure of the State of Washington, United States, as established by the Constitution of the State of Washington. The executive is composed of the Governor, several other statewide elected officials and the Governor's cabinet. The Washington State Legislature consists of the House of Representatives and State Senate. The judiciary is composed of the Washington Supreme Court and lower courts. There is also local government, consisting o...

 

New Zealand minister of the Crown The Minister of Lands in New Zealand was a cabinet position appointed by the Prime Minister to be in charge of the Department of Lands and Survey. List of ministers The following ministers held the office of Minister of Lands.[1] Key   Independent   Liberal   Reform   United   Labour   National No. Name Portrait Term of Office Prime Minister 1 Henry Tancred 19 August 1858 12 July 1861 Staffor...

 

Religion in São Tomé and Príncipe Islam by countryWorld percentage of Muslims by country Africa Algeria Angola Benin Botswana Burkina Faso Burundi Cameroon Cape Verde Central African Republic Chad Comoros Democratic Republic of the Congo Republic of the Congo Djibouti Egypt Equatorial Guinea Eritrea Eswatini Ethiopia Gabon Gambia Ghana Guinea Guinea-Bissau Ivory Coast Kenya Lesotho Liberia Libya Madagascar Malawi Mali Mauritania Mauritius Mayotte Morocco Western Sahara Mozambique Namibia N...

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مايو 2018) فلازمفلازممعلومات عامةالتأسيس 2010النوع تابعةالمقر الرئيسي فيلنيوس، ليتوانياموقع الويب flazm.com المنظومة الاقتصاديةالصناعة صناعة ألعاب الفيديوالمنتجات ألعاب ...

 

العلاقات الأيرلندية الكندية جمهورية أيرلندا كندا   جمهورية أيرلندا   كندا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الأيرلندية الكندية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين جمهورية أيرلندا وكندا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للد...

 

United States wage law Fair Labor Standards Act of 1938Long titleAn Act to provide for the establishment of fair labor standards in employments in and affecting interstate commerce, and for other purposesAcronyms (colloquial)FLSAEnacted bythe 75th United States CongressEffectiveJune 25, 1938; 86 years ago (1938-06-25)CitationsPublic lawPub. L.Tooltip Public Law (United States) 75–718Statutes at Large52 Stat. 1060 through 52 Stat. 1070 (3 pages...

Не следует путать с Уругваем. У этого термина существуют и другие значения, см. Парагвай (значения). Республика Парагвайисп. República del Paraguayгуар. Tetã Paraguái Флаг Герб Девиз: «Paz y justicia»«Мир и правосудие» Гимн: «Paraguayos, República o Muerte» Парагвай на карте мира Дата независимости 15 мая ...

 

Relation between sides and angles of a triangle Figure 1 – A triangle. The angles α, β, and γ are respectively opposite the sides a, b, and c. Trigonometry Outline History Usage Functions (sin, cos, tan, inverse) Generalized trigonometry Reference Identities Exact constants Tables Unit circle Laws and theorems Sines Cosines Tangents Cotangents Pythagorean theorem Calculus Trigonometric substitution Integrals (inverse functions) Derivatives Trigonometric series Mathematicia...