Cantorova diagonální metoda

ikona
Tento článek potřebuje úpravy.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Cantorova diagonální metoda je matematický důkaz, pomocí kterého Georg Cantor ukázal, že množina všech reálných čísel je nespočetná.

Diagonální metoda nebyla prvním důkazem, který Cantor použil k dokázání tohoto faktu, byla publikována až tři roky po prvním důkazu. Na druhou stranu je ale oproti tomuto důkazu mnohem známější, navíc od prvního publikování byla podobná metoda použita pro dokázání mnoha dalších vět (například problém zastavení).

Důkaz

Cantorův důkaz ukazuje, že interval (0,1) není spočetný.

Důkaz sporem je veden takto:

  1. Předpokládejme, že interval (0,1) je spočetně nekonečný.
  2. Můžeme tedy „zapsat“ všechna čísla z tohoto intervalu do posloupnosti (r1, r2, r3, …)
  3. Každé z těchto čísel lze zapsat v desetinném rozvoji.
  4. Seřadíme tato čísla (nemusí být seřazena v přirozeném uspořadání). Teď už předpokládáme, že jsou v posloupnosti obsažená a očíslovaná všechna čísla intervalu (0,1). Názorná ukázka naší posloupnosti může vypadat třeba takto (tato čísla nejsou součástí důkazu):
    r1 = 0 , 5 1 0 5 1 1 0 …
    r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 …
    r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 …
    r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 …
    r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 …
    r6 = 0 , 9 9 3 7 8 3 8 …
    r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 5 …
    …
  5. Sestrojíme reálné číslo x ležící v intervalu (0,1) tak, že pro k-tou číslici v jeho desetinném rozvoji vezmeme v úvahu k-tou číslici v desetinném rozvoji rk. V posloupnosti z naší názorné ukázky jsou zvýrazněny číslice, které bereme v úvahu (abychom ukázali, proč se důkaz nazývá diagonální metoda).
    r1 = 0 , 5 1 0 5 1 1 0 …
    r2 = 0 , 4 1 3 2 0 4 3 …
    r3 = 0 , 8 2 4 5 0 2 6 …
    r4 = 0 , 2 3 3 0 1 2 6 …
    r5 = 0 , 4 1 0 7 2 4 6 …
    r6 = 0 , 9 9 3 7 8 3 8 …
    r7 = 0 , 0 1 0 5 1 3 5 …
    …
  6. Z těchto číslic definujeme číslice čísla x následovně:
    • pokud je na k-tém místě v rk číslice α ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} pak na k-tém místě v x bude číslice β = 9 - α
    zjednodušeně např.:
    pokud je na k-tém místě v rk číslice 5, pak na k-tém místě v x bude 4,
    pokud je na k-tém místě v rk číslice 2, pak na k-tém místě v x bude 7.
  7. Číslo x je zřejmě reálné (jelikož všechny desetinné rozvoje reprezentují reálné číslo) z intervalu (0,1). V naší názorné ukázce posloupnosti by x vypadalo takto:
    x = 0 , 4 8 5 9 7 6 4 …
  8. Musí tedy existovat rn = x pro nějaké n, jelikož jsme předpokládali, že v posloupnosti (r1, r2, r3, …) jsou všechna reálná čísla z intervalu (0, 1).
  9. Ale díky našemu způsobu sestrojování čísla x se x liší od každého rn na n-tém místě desetinného rozvoje, tedy x neleží v posloupnosti (r1, r2, r3, …)
  10. Tato posloupnost tedy není posloupností všech reálných čísel z intervalu [0,1], docházíme ke sporu.
  11. Odtud plyne, že předpoklad, že interval (0,1) je spočetný, musí být špatný.
Teorie množin
Axiomy Vennův diagram průniku množin.
Množinové operace
Koncepty
Množiny
Teorie
Lidé

Read other articles:

Buritan

Bagian buritan kapal seperti tampak pada kapal penjelajah kelas Ticonderoga USS Mobile Bay (CG-53) Buritan adalah bagian belakang dari kapal. Di bagian buritan terdapat instrumen pengendali (rudder dan lain sebagainya). Bagian buritan dari kapal perang dipakai sebagai tempat mendarat helikopter. Bentuk buritan Pembagian kapal berdasarkan bentuk buritan: Buritan berbentuk sendok Buritan berbentuk miring Buritan berbentuk siku Lihat pula Haluan Kapal Kapal perang Gading-gading Artikel bertopik ...

 

Batu bara

Halaman ini berisi artikel tentang jenis batuan. Untuk marga Batak, lihat Batubara. Untuk kegunaan lain, lihat Batubara (disambiguasi). Batu bara Batu bara antrasit Mineral utama: karbon Mineral sekunder: hidrogenbelerangoksigennitrogen Jenis batuan: Batuan sedimen Contoh batu bara Batu bara adalah salah satu bahan bakar fosil. Pengertian umumnya adalah batuan sedimen yang dapat terbakar, terbentuk dari endapan organik, utamanya adalah sisa-sisa tumbuhan dan terbentuk melalui proses pembatuba...

 

Joseph Trumbull (governor)

American politician For other people with the same name, see Joseph Trumbull (disambiguation). Joseph Trumbull35th Governor of ConnecticutIn officeMay 2, 1849 – May 4, 1850LieutenantThomas BackusPreceded byClark BissellSucceeded byThomas H. SeymourMember of the U.S. House of Representativesfrom Connecticut's 1st districtIn officeMarch 4, 1839 – March 3, 1843Preceded byIsaac TouceySucceeded byThomas H. SeymourMember of the U.S. House of Represe...

Papa Aniceto

Papa Aniceto11º papa della Chiesa cattolicaElezione155 Fine pontificato166 Predecessorepapa Pio I Successorepapa Sotero  NascitaEmesa, ? Morte166 circa SepolturaMuseo nazionale romano di palazzo Altemps Manuale Sant'Aniceto Papa  NascitaEmesa, ? Morte166 circa Venerato daChiesa cattolica Ricorrenza20 aprile Manuale Aniceto (Emesa, ... – 166 circa) è stato l'11º vescovo di Roma e papa della Chiesa cattolica, che lo venera come santo. Fu papa, all'incirca, dal 155 ...

 

Satyalancana Saptamarga

Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) Gaya atau nada penulisan artikel ini tidak mengikuti gaya dan nada penulisan ensiklopedis yang diberlakukan di Wikipedia. Bantulah memperbaikinya berdasarkan panduan penulisan artikel. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Artikel ini perlu dikembangkan ag...

 

Clara Calamai

Clara Calamai nel film Ossessione di Luchino Visconti (1943) Clara Calamai (Prato, 7 settembre 1909 – Rimini, 21 settembre 1998) è stata un'attrice italiana. Indice 1 Biografia 2 Filmografia 3 Prosa televisiva RAI 4 Riconoscimenti 5 Doppiatrici 6 Note 7 Bibliografia 8 Altri progetti 9 Collegamenti esterni Biografia Clara Calamai in Ettore Fieramosca di Alessandro Blasetti (1938) Debuttò nel 1938 in Pietro Micca, film storico-epico diretto da Aldo Vergano (in cui venne accreditata con lo p...

سباق باريس روبيه 1947

سباق باريس روبيه 1947 التاريخ 6 أبريل عدد المراحل 1 عدد الرياضيين 36 (نقطة النهاية)  المسافة 246 كم الزمن 6 ساعات و10 دقيقة و34 ثانية البلد فرنسا  نقطة البداية كومبيين  نقطة النهاية روبيه  السرعة 39.831 كم/س الأول جورج كلايس  سباق باريس روبيه 1946  سباق باريس روبيه 1948  تع...

 

Tupoutoʻa ʻUlukalala

Tupoutoʻa ʻUlukalalaPutra Mahkota TongaKelahiran17 September 1985 (umur 38)NukuʻalofaWangsaDinasti TupouNama lengkapSiaosi Manumataongo ʻAlaivahamamaʻo ʻAhoʻeitu Konstantin TukuʻahoAyahTupou VIIbuNanasipau'u Tuku'ahoPasanganSinaitakala FakafanuaAnakTaufaʻahau ManumataongoAgamaMethodis Siaosi Manumataongo ʻAlaivahamamaʻo ʻAhoʻeitu Konstantin Tukuʻaho[1] (lahir 17 September 1985) adalah anggota keluarga kerajaan Tonga dan Putra Mahkota Tonga. Tupoutoʻa ʻUlukalala me...

 

Humba

Filipino braised pork dish This article is about the dish. For the genus of beetles, see Humba (beetle). HumbàAlternative namesHombàCourseMain dishPlace of originPhilippinesRegion or stateVisayasServing temperatureHot, warmMain ingredientsPork belly, soy sauce, garlic, vinegar, bay leaves, fermented black beans, black peppercorns, muscovadoSimilar dishesPhilippine adobo, pata tim, hamonado  Media: Humbà Humbà, also spelled hombà, is a Filipino braised pork dish from Visayas, Phi...

Maisonneuve

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Maisonneuve (disambigua). Questa voce sull'argomento centri abitati della Nuova Aquitania è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. MaisonneuvecomuneLocalizzazioneStato Francia Regione Nuova Aquitania Dipartimento Vienne ArrondissementPoitiers CantoneMigné-Auxances TerritorioCoordinate46°43′17″N 0°03′24″E / 46.721389°N 0.056667°E46.721389; 0.05...

 

維文 (新加坡)

本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此生者传记条目需要补充更多可供查證的来源。 (2015年9月18日)请协助補充可靠来源，无法查证的在世人物内容将被立即移除。 此條目過於依赖第一手来源。 (2015年9月18日)请補充第二手及第三手來源，以改善这篇条目。 此條目需要补充更多来源。 (2015年9月18日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条�...

 

Élection présidentielle américaine de 1792

1789 1796 Élection présidentielle américaine de 1792 Du 2 novembre au 5 décembre 1792 Type d’élection Élection présidentielle[a] Mandat Du 4 mars 1793 au 4 mars 1797 Corps électoral et résultats Population 4 172 906 Participation   6,3 %[1]  5,3 George Washington – Sans étiquette Voix 28 579 100 %  Grands électeurs 132 ▲ +91,3 % Collège électoral Président des États-Unis Sortant Réélu George Washington Sa...

منتخب تونس تحت 23 سنة لكرة الطائرة للسيدات

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (أبريل 2020) منتخب تونس تحت 23 سنة لكرة الطائرة للسيدات الكنية نسور قرطاج (The Carthage Eagles) بلد الرياضة  تونس الاتحاد الجام...

 

西遊記大結局之仙履奇緣

本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要編修，以確保文法、用詞、语气、格式、標點等使用恰当。 (2013年8月6日)請按照校對指引，幫助编辑這個條目。（幫助、討論） 此條目剧情、虛構用語或人物介紹过长过细，需清理无关故事主轴的细节、用語和角色介紹。 (2020年10月6日)劇情、用語和人物介紹都只是用於了解故事主軸，輔助�...

 

المعهد العالي للدراسات المتطورة

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يوليو 2017) المعهد العالي للدراسات المتطورة معلومات النوع معهد خاص الكليات نظم المعلومات الإدارية، والتجارة الموقع �...

Kemono Jihen

Kemono JihenSampul manga volume pertama怪物事変(Kemono Jihen)GenreFantasi gelap[1]Supernatural[2] MangaPengarangShō AimotoPenerbitShueishaPenerbit bahasa InggrisNA Seven Seas EntertainmentMajalahJump SquareDemografiShōnenTerbit2 Desember 2016 – sekarangVolume21 Seri animeSutradaraMasaya FujimoriSkenarioNoboru KimuraMusikYuya MoriStudioAjia-do Animation WorksPelisensiFunimation SA/SEA Muse CommunicationSaluranasliTokyo MX, ytv, BS11Tayang 10 Januari 2021 – 28 Maret 20...

 

Sannomiya Station (JR West)

This article is about JR Sannomiya Station. For Sannomiya Station of other lines, see Kobe-Sannomiya Station. Railway station in Kobe, JapanThis article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Sannomiya Station JR West – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2023) (Learn how and when to remov...

 

Ramapo Mountain State Forest

Forest in New Jersey, United States This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Ramapo Mountain State Forest – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2021) (Learn how and when to remove this message) Ramapo Mountain State ForestStream along the MacEvoy Trail in Ramapo Mountain State Forest...

Disability in Japan

This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (October 2023) In Japan, a person with a disability is defined as: a person whose daily life or life in society is substantially limited over the long term due to a physical disability or mental disability.[1]: 125  Japan ratified the United Nations Convention on the Rights of...

 

الطريق الجهوية رقم 47 (تونس)

هذه المقالة بحاجة لصندوق معلومات. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة صندوق معلومات مخصص إليها. يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016) الطري�...