Distribució S_U de Johnson

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	${\displaystyle \gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0}$ (real)
Suport	${\displaystyle -\infty {\text{ to }}+\infty }$
fdp	${\displaystyle {\frac {\delta }{\lambda {\sqrt {2\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}}}$
FD	${\displaystyle \Phi \left(\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \xi -\lambda \exp {\frac {\delta ^{-2}}{2}}\sinh \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)}$
Mediana	${\displaystyle \xi +\lambda \sinh \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)}$
Variància	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{2}}(\exp(\delta ^{-2})-1)\left(\exp(\delta ^{-2})\cosh \left({\frac {2\gamma }{\delta }}\right)+1\right)}$

La distribució S_U de Johnson és una família de quatre paràmetres de distribució de probabilitats investigada per primera vegada per N. L. Johnson el 1949.^[1][2] Johnson la va proposar com una transformació de la distribució normal:^[3]

${\displaystyle z=\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)}$

on ${\displaystyle z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Sigui U una variable aleatòria que es distribueix uniformement en l'interval unitari [0, 1]. Les variables aleatòries S_U de Johnson poden generar-se a partir d'U de la manera següent:

${\displaystyle x=\lambda \sinh \left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi }$

on Φ és la funció de distribució acumulada de la distribució normal.

Norman Lloyd Johnson va ser el primer en proposar la transformació:^[1]

${\displaystyle z=\gamma +\delta \log \left({\frac {x-\xi }{\xi +\lambda -x}}\right)}$

on ${\displaystyle z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$.

Les variables aleatòries S_B de Johnson es poden generar a partir d'U de la següent manera:

${\displaystyle x=\lambda \left(1+\exp \left(-{\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)\right)+\xi }$

on Φ és la funció de distribució acumulada de la distribució normal. La distribució S_B de Johnson és convenient per a distribucions de Platykurtic (curtosi).

• Hill, I. D.; Hill, R.; Holder, R. L. «Algorithm AS 99: Fitting Johnson Curves by Moments». Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), 25, 2, 1976.
• Jones, M. C.; Pewsey, A. «Sinh-arcsinh distributions». Biometrika, 96, 4, 2009, pàg. 761. DOI: 10.1093/biomet/asp053.(Preprint)
• Tuenter, Hans J. H. «An algorithm to determine the parameters of S_U-curves in the Johnson system of probability distributions by moment matching». The Journal of Statistical Computation and Simulation, 70, 4, 11-2001, pàg. 325–347. DOI: 10.1080/00949650108812126.