Tipus distribució de probabilitat Epònim Gunnar Benktander Paràmetres
a
>
0
{\displaystyle a>0\,}
{
0
≤ ≤ -->
b
tipus I
0
<
b
≤ ≤ -->
1
tipus II
{\displaystyle {\begin{cases}0\leq b&{\text{tipus I}}\\0<b\leq 1&{\text{tipus II}}\end{cases}}}
Suport
x
∈ ∈ -->
[
1
;
+
∞ ∞ -->
[
{\displaystyle x\in [1;+\infty [\,}
fdp vegeu l'article FD vegeu l'article Esperança matemàtica
1
+
1
a
{\displaystyle 1+{\frac {1}{a}}}
Mediana vegeu l'article Variància vegeu l'article
En teoria de la probabilitat i en estadística , la distribució de Benktander és una distribució de probabilitat contínua coneguda com dos tipus diferents: la distribució de Benktander de tipus I (o distribució de Benktander-Gibrat ) i la distribució de Benktander de tipus II (o distribució de Benktander Weibull ).
Aquestes lleis es va aparèixer originalment en un article de 1960 escrit per Benktander i Segerdahl. S'utilitzen principalment en l'economia .
Igual que la distribució de Pareto és una generalització de la distribució exponencial , les dues lleis de Benktander són generalitzacions d'aquesta distribució exponencial.
Si a
X
I
{\displaystyle X_{I}}
X
I
∼ ∼ -->
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}
X
I
I
∼ ∼ -->
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}
Origen
La distribució de Pareto és una distribució exponencial de paràmetre
log
-->
(
x
/
x
m
)
{\displaystyle \scriptstyle \log(x/x_{m})}
x
m
{\displaystyle x_{m}}
paràmetre de posició . Apareix així un paràmetre d'escala exponencial:
e
(
x
)
:=
x
x
m
{\displaystyle e(x):={\frac {x}{x_{m}}}}
Per reflectir millor els valors empírics econòmics, es defineixen altres dos paràmetres exponencials d'escala:
{
e
I
(
x
)
=
x
a
+
2
b
log
-->
(
x
)
per
a
>
0
i
0
≤ ≤ -->
b
e
I
I
(
x
)
=
x
1
− − -->
b
a
per
a
>
0
i
0
<
b
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle {\begin{cases}e_{I}(x)={\frac {x}{a+2b\log(x)}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0\leq b\\e_{II}(x)={\frac {x^{1-b}}{a}}&{\text{ per }}a>0{\text{ i }}0<b\leq 1\end{cases}}}
Aquests dos nous paràmetres defineixen els dos tipus de distribució de Benktander.
Definicions
Els dos canvis d'escala anteriors per definir les dues funcions distribució de les distribucions de Benktander de tipus I i II:.
F
I
(
x
)
=
{
1
− − -->
x
− − -->
1
− − -->
a
− − -->
b
L
o
g
[
x
]
(
1
+
2
b
L
o
g
[
x
]
a
)
per
x
≥ ≥ -->
1
0
sinó.
{\displaystyle F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
F
I
I
(
x
)
=
{
1
− − -->
e
a
b
(
1
− − -->
x
b
)
x
b
− − -->
1
per
x
≥ ≥ -->
1
0
sió.
{\displaystyle F_{II}(x)={\begin{cases}1-e^{{\frac {a}{b}}(1-x^{b})}x^{b-1}&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sió.}}\end{cases}}}
Per derivació s'aconsegueixen les dues densitats de les distribucions .
f
I
(
x
)
=
{
x
− − -->
2
− − -->
a
− − -->
b
L
o
g
[
x
]
(
− − -->
2
b
a
+
(
1
+
a
+
2
b
L
o
g
[
x
]
)
(
1
+
2
b
L
o
g
[
x
]
a
)
)
per
x
≥ ≥ -->
1
0
sinó.
{\displaystyle f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\mathrm {Log} [x]\right)\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
f
I
I
(
x
)
=
{
e
a
(
1
− − -->
x
b
)
b
x
− − -->
2
+
b
(
1
− − -->
b
+
a
x
b
)
per
x
≥ ≥ -->
1
0
sinó.
{\displaystyle f_{II}(x)={\begin{cases}e^{\tfrac {a(1-x^{b})}{b}}x^{-2+b}(1-b+ax^{b})&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}
Propietats
La mitjana d'ambdós tipus són iguals a:
E
[
X
]
=
1
+
1
a
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}
Les variàncies són donades per:
V
a
r
(
X
I
)
=
− − -->
b
+
a
e
(
− − -->
1
+
a
)
2
4
b
π π -->
erfc
-->
(
− − -->
1
+
a
2
b
)
a
2
b
{\displaystyle Var(X_{I})={\frac {-{\sqrt {b}}+ae^{\tfrac {(-1+a)^{2}}{4b}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\tfrac {-1+a}{2{\sqrt {b}}}}\right)}{a^{2}{\sqrt {b}}}}}
i
V
a
r
(
X
I
I
)
=
− − -->
1
a
2
+
2
e
a
b
E
(
1
− − -->
1
b
,
a
b
)
a
b
{\displaystyle Var(X_{II})={\frac {-1}{a^{2}}}+{\frac {2e^{\tfrac {a}{b}}{\rm {E}}(1-{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {a}{b}})}{ab}}}
on
X
I
∼ ∼ -->
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)}
X
I
I
∼ ∼ -->
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
I
(
a
,
b
)
{\displaystyle X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)}
erfc és la funció d'error , i t
E
(
n
,
x
)
{\displaystyle \scriptstyle {\rm {E}}(n,x)}
exponencial integral generalitzada.
lim
b
→ → -->
0
B
e
n
k
t
a
n
d
e
r
I
(
a
,
b
)
∼ ∼ -->
P
a
r
e
t
o
(
1
,
1
+
a
)
{\displaystyle \lim _{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI} (a,b)\sim Pareto(1,1+a)}
Bibliografia
Benktander , G; Seherdahl , C.O. On the analytical representation of claim distributions with special reference to excess-of-loss reinsurance (en anglès). Trans. 16-th Intern. Congress Actuaries, 1960. Benktander , Gunnar. Schadenverteilungen nach Grösse in der Nicht-Lebensversicherung [Les distribucions de pèrdua per grandàries d'assegurances dels morts ] (en alemany), p. 263–283. Kleiber , Christian; Kotz , SamuelStatistical size distributions in economics and actuarial sciences (en anglès). Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-15064-9 Distribucions discretes Distribucions discretes Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Distribucions contínues Barreja de distribució variable-contínua Distribució conjunta Direccionals Degenerada i singular Famílies
![{\displaystyle F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0242202ac0c7e347c465a7dcc9c48f0e502a3bec)
![{\displaystyle f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\mathrm {Log} [x]\right)\left(1+{\tfrac {2b\mathrm {Log} [x]}{a}}\right)\right)&{\text{ per }}x\geq 1\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd8f92c54f289afcfece22492e2658ea19e0fd2)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fd7ecb9a456137e2a815249360d6277bcaa0d1)
