PROFILPELAJAR.COM

Построение с линийка и пергел на правилен шестоъгълник.

Построенията с линийка и пергел са класически вид геометрични задачи за построение, известни от античността. При тях могат да се използват само два абстрактни чертожни инструмента:

линийка без деления, за която се приема, че има само един праволинеен ръб и е неограничена, с нейна помощ може да се построи права през всеки две точки; и
пергел, за който се приема, че може да начертае окръжност с произволен център и произволен радиус.

Не е разрешено използването на други чертожни инструменти като транспортир (за точно отмерване на градусите) или триъгълник (за начертаване на прав ъгъл).

Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на корен квадратен.^[1]

В България този вид задачи започват да се преподават в 7 клас на средното общообразователно училище.

Решими задачи

Сред лесните задачи за построение с линийка и пергел, които се изучават и в училище, са:^[2]

Основни построителни задачи

построяване на ъгъл равен на зададен ъгъл,
построяване на симетрала на дадена отсечка,
построяване на перпендикуляр от точка към права,
построяване на ъглополовяща на даден ъгъл,
построяване на права, успоредна на дадена права, през дадена точка.

Построяване на триъгълник

по дадени две страни и ъгъл между тях,
по дадени страна и два прилежащи към тази страна ъгли,
по дадени три страни,
построяване на правоъгълен триъгълник по катет и хипотенуза.

Построяване на успоредник

по дадени две страни и ъгъл
по дадени два диагонала и ъгъл между тях

Известна е теоремата на Гаус-Ванцел:

Правилен n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел, ако и само ако n е произведение от степен на 2 и различни прости числа на Ферма, т.е. ако и само ако n е във вида n = 2^kp₁p₂…p_s, където k е неотрицателно цяло число, а p_i са различни прости числа на Ферма.

Нерешими задачи

Теорията на Галоа доказва, че следните класически задачи са нерешими чрез построения с линийка и пергел:^[1]

Делоска задача: Даден е куб с дължина на ръба $a$ . Задачата изисква да се построи страната на куб с два пъти по-голям обем от дадения, т.е. отсечка с дължина $a{\sqrt[{3}]{2}}$

Задача за квадратурата на кръга: Тя търси да построи квадрат, равнолицев на даден кръг с радиус 1. Следователно трябва да се построи отсечка с дължина ${\sqrt {\pi }}$ , което е невъзможно, тъй като π е трансцендентно число.

Трисекция на ъгъл: Задачата изисква произволен ъгъл с големина $\alpha$ да се раздели на три равни части, или с други думи по отсечка с дължина $\cos \alpha$ да се построи отсечка с дължина $\cos(\alpha /3)$ . Това изисква решаването на уравнението $4(\cos(\alpha /3))^{3}-3\cos(\alpha /3)-\cos \alpha =0$ , което няма алгебрично изражение чрез квадратни корени.

Източници

↑ ^а ^б „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
↑ „Математика за 7 клас“, Здравка Паскалева, Георги Паскалев, ИК Летера