Окръжност

Окръжност с радиус r, диаметър d и център М

Окръжността е геометрична затворена крива, образувана от множеството от точките в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние (радиус, r) от определена точка (център). Диаметър на окръжността (d) е отсечка, свързваща две точки от окръжността и преминаваща през центъра ѝ, като дължината ѝ е два пъти радиуса (d = 2r).

Кръг

Фигурата, съставена от точките на окръжността и точките във вътрешността ѝ, т.е. точките, които са на разстояние от центъра, равно или по-малко от радиуса, се нарича кръг.

Окръжност се отнася към кръг в двуизмерното пространство, както сфера към кълбо в триизмерното.

Определения

Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде определена също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.

Площта S (лицето) на кръг с радиус r или диаметър d е

Периметърът p (обиколката) на кръг, тоест дължината на окръжност, с радиус r или диаметър d е

По Евклид

Според класическото определение окръжността е геометричното място на точките в равнината, разположени на еднакво разстояние от дадена точка. В известното математическо съчинение „Елементи“ древногръцкият математик Евклид (IV – III век пр.н.е.) дава следното определение:

Кръг е равнинна фигура, ограничена от линия, такава че всички прави отсечки, достигащи до нея от една от точките, лежащи вътре във фигурата, са равни една на друга.

Евклид, Елементи, книга I, определение 15. [1]

По Аполоний от Перге

Аполониевата дефиниция за окръжност: d1/d2 е константа

Аполоний от Перге (262 – 190 г. пр.н.е.) показва, че окръжността може да се определи и като множеството от точки в дадена равнина, за които съотношението на разстоянието до две зададени точки е постоянно и различно от единица.[2]

Доказателството за еквивалентност на определението на Аполоний с класическото определение се състои от две части. Първо, трябва да се докаже, че при зададени две точки, фокусите A и B, и съотношение на разстоянията, всяка точка P, за която е изпълнено условието, трябва да лежи върху определена окръжност. Ако C е друга точка, също изпълняваща условието и лежаща на отсечката AB. От теоремата за ъглополовящата следва, че отсечката PC е ъглополовяща на вътрешния ъгъл APB, заради съотношението:

Аналогично отсечка PD през точка D на правата AB е ъглополовяща на съответния външен ъгъл BPQ, където Q лежи на правата AP. Тъй като сборът на вътрешния и външния ъгъл е 180°, ъгълът CPD е прав. Множеството от точки P, за които ъгълът CPD е прав, образуват окръжност, за която CD е диаметър. Вторият етап от доказателството е да се покаже, че всяка точка от въпросната окръжност удовлетворява зададеното съотношение на разстоянията.[3]

Дефиницията на Аполоний е тясно свързана с едно отношение на окръжностите с геометрията на двойното отношение на точките в комплексната равнина. Ако точките A, B и C са зададени както в горното доказателство, Аполониевата окръжност за тези три точки е множеството от точките P, за които абсолютната стойност на двойното отношение е равна на 1:

Формулирано по друг начин, P е точка от Аполониевата окръжност тогава и само тогава, когато двойното отношение [A,B;C,P] лежи върху единичната окръжност на комплексната равнина.

Определението на Аполоний дава възможност за дефиниране и на т.нар. обобщена окръжност, множество от криви, включващо освен окръжностите в тесен смисъл, също и правите, образувани при:

В декартови координати

  • Уравнението на окръжност с център и радиус е
    ако съвпада с центъра на координатната система, уравнението придобива вида
  • Параметрично представяне на окръжност:
    където координатите x и y се изразяват чрез параметъра , който може да приема всички стойности в интервала .

В полярни координати

Ако полярните координати на центъра на окръжност са , то окръжността с радиус се описва с равенството

,
ако е началото на координатната система, то

Термини, свързани с окръжността

  • Всеки две точки от окръжността я делят на две части, които се наричат дъги на окръжността. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата ѝ, е диаметър.
  • Кръгов сектор или просто сектор се нарича част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга.
  • Отсечка, съединяваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Диаметърът на окръжността е хорда, минаваща през центъра ѝ.
  • Сегмент се нарича част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата ѝ хорда.
  • Допирателна (тангента) се нарича права, имаща само една обща точка с окръжност, точката се нарича допирна точка.
  • Секуща се нарича права, която има две общи точки с окръжност.
  • Централен ъгъл на окръжност се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
  • Вписан ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи.
  • Периферен ъгъл се нарича ъгъл, на който върхът е точка от окръжността, едното рамо е допирателна към К, а другото пресича окръжността.
  • Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентрични.

Свойства

  • Права и окръжност може да нямат общи точки, да имат една обща точка (правата е допирателна) и да имат две общи точки (правата е секуща).
  • През три точки, нележащи на една права, може да се прекара само една окръжност.
  • Допирната точка на две окръжности лежи на правата, съединяваща техните центрове.

Вижте също

Източници

  1. Euclid. Definitions 15 – 18 // Euclid's Elements, Book I. Clark University, 2003. Посетен на 24 април 2011. (на английски)
  2. Harkness, James. Introduction to the theory of analytic functions. London, New York, Macmillan and Co., 1898. p. 30. (на английски)
  3. Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover, 2007, [1952]. p. 15. (на английски)

Read other articles:

1985 studio album by Diana RossEaten AliveStudio album by Diana RossReleasedSeptember 24, 1985 (1985-09-24)Recorded1985Genre R&B pop Length40:25LabelRCAProducer Gibb-Galuten-Richardson Michael Jackson (co.) Diana Ross chronology Swept Away(1984) Eaten Alive(1985) Red Hot Rhythm & Blues(1987) Singles from Eaten Alive Eaten AliveReleased: September 1, 1985 Chain ReactionReleased: November 28, 1985 ExperienceReleased: April 4, 1986 Eaten Alive is the sixteenth stud...

 

Orang Yahudi Agama Yahudi Agama Tuhan Allah dalam Yudaisme Dasar Iman Yahudi Kaballah Hari raya Doa Halakha Mitzvot (Daftar: 613) Rabi Sinagoge Pembacaan gulungan Taurat Minhag/Kebiasaan Tzedakah Teks Tanakh: Taurat Nevi'im Ketuvim Literatur Rabinik Talmud Mishnah Gemara Etnis Ashkenazi Sefardim Mizrahi Beta Israel Penduduk (Daftar) Israel AS Rusia/Uni Soviet SpanyolKanada Jerman Prancis Britania Raya Amerika Latin Polandia Dunia Arab Malaysia Yaman Yahudi terkenal menurut negara Daftar Komu...

 

Solar power station in Nevada, United States Crescent Dunes Solar Energy ProjectCountryUnited StatesLocationTonopah, Nye County, NevadaCoordinates38°14′00″N 117°22′01″W / 38.2333°N 117.367°W / 38.2333; -117.367StatusPost-bankruptcy reorganization, restartConstruction began2011; 13 years ago (2011)Commission date2016; 8 years ago (2016)[1]Construction cost$975 millionOwner(s)Tonopah Solar Energy, LLC...

Website with an emphasis on the American comic book industry This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Comics Bulletin – news · newspapers · books · schola...

 

Teuchitlán cultureWestern Mexico and the Teuchitlán culturePeriodLate Formative to the Classic PeriodDates350 BCE to 450/500 CEMajor sitesLos Guachimontones, Tabachines, Huitzilapa The Teuchitlán culture was one of several related cultures in West Mexico during the Late Formative to Classic period (350 BCE to 450/500 CE).[1] Situated in the Tequila Valleys of Jalisco, the Teuchitlán culture shared in the tradition of burying some of their dead in shaft and chamber tombs. Archaeolo...

 

Branch of chemistry This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: the article has poor information content and addresses only a few parts of the topic. Please help improve this article if you can. (January 2011) (Learn how and when to remove this message) Jacobus van 't Hoff (1852–1911), an influential theoretical chemist and the first winner of the Nobel Prize in Chemistry. Theoretical chemistry is the branch of chemistry which develops th...

Сабии (сабеи; араб. صابئة‎) — в ближневосточной традиции религиозная группа, упоминаемая в Коране как принадлежащая к людям Писания наряду с иудеями и христианами. Слово «сабии» имеет арамейское происхождение и в арабском языке употреблялось в значении людей, обра�...

 

Region in Queensland, AustraliaSouth West QueenslandQueenslandRegions of QueenslandPopulation26,489 (2011)[1] • Density0.0828278/km2 (0.214523/sq mi)Area319,808 km2 (123,478.6 sq mi)LGA(s)Maranoa Region, Shire of Balonne, Shire of Paroo, Shire of Murweh, Shire of Bulloo, Shire of QuilpieState electorate(s)WarregoFederal division(s)Maranoa South West Queensland is a remote region in the Australian state of Queensland which covers 319,808 km2 (123,4...

 

Gambar-gambar Euromaidan. Euromaidan (Ukraina: Євромайдан, Yevromaidan, secara harfiah berarti Euroalun-alun) adalah serangkaian unjuk rasa dan kerusuhan di Ukraina yang dimulai pada malam 21 November 2013 setelah meletusnya demonstrasi yang meminta integrasi yang lebih erat dengan Uni Eropa. Cakupan demonstrasi ini meluas menjadi seruan agar Presiden Ukraina Viktor Yanukovych dan pemerintahannya mengundurkan diri.[1] Banyak demonstran yang bergabung akibat penggunaan ke...

Not to be confused with Energomash. Russian rocket engine manufacturer NPO EnergomashNative nameНПО Энергомаш имени академика В. П. ГлушкоRomanized nameNPO Energomash named after “V. P. Glushko”FormerlyOKB-456IndustryAerospace industrySpace industryDefense industryRocket enginesFounded(1946; 78 years ago (1946)) Khimki, Soviet UnionFounderValentin Petrovich GlushkoHeadquartersMoscow region, RussiaProductsRocket enginesRD-170RD-180Launch ...

 

Cet article est une ébauche concernant l’art et une chronologie ou une date. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Chronologies Données clés 1599 1600 1601  1602  1603 1604 1605Décennies :1570 1580 1590  1600  1610 1620 1630Siècles :XVe XVIe  XVIIe  XVIIIe XIXeMillénaires :-Ier Ier  IIe  IIIe Chronologies thématiques Art Architecture, Arts...

 

American football player and coach (born 1988) American football player William VlachosWestern Kentucky HilltoppersPosition:Defensive run gamePass rush coordinatorPersonal informationBorn: (1988-05-26) May 26, 1988 (age 35)Athens, GreeceHeight:6 ft 1 in (1.85 m)Weight:294 lb (133 kg)Career informationHigh school:Birmingham (AL) Mountain BrookCollege:AlabamaUndrafted:2012Career history As a player: Tennessee Titans (2012)*  * Offseason and/or practice squad m...

Gunung Semanggol adalah sebuah mukim di Daerah Kerian, Negara Bagian Perak, Malaysia. Gunung Semanggol terletak di negeri Perak. Gunung Semanggol, berdekatan dengan Ulu Sepetang dan Kampung Sera. Masjid di Gunung Semanggol Masjid Al-Abrar, Alor Setonggok, 34400 Simpang 4, Perak Masjid Al-Amin, Kampung Selinsing, 34400 Simpang 4, Semanggol, Perak Masjid Al-Ehsaniah, Parit 3, Jalan Gula, 34400 Simpang 4, Semanggol, Perak Masjid Al-Huda, Tebuk Matau, 34400 Simpang 4, Semanggol, Perak Masjid An-N...

 

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Константинополь (значення). Стамбултур. İstanbul Стамбул Основні дані 41.01224°00′00″ пн. ш. 28.976018°00′00″ сх. д. / 41.01224° пн. ш. 28.97602° сх. д. / 41.01224; 28.97602Координати: 41.01224°00′00″ пн. ш. 28.976018°00′00″&#...

 

American TV series or program The All-New Super Friends HourAlso known asSuper Friends IIGenre Adventure Fantasy Science fiction Created by E. Nelson Bridwell Carmine Infantino Julius Schwartz (consultants) Based onJustice Leagueby Gardner FoxDeveloped byGil KaneWritten by Dick Conway Willie Gilbert Orville H. Hampton Elana Lesser Duane Poole Dick Robbins Cliff Ruby John Strong Jeffrey Scott Mark Jones Robert Kanigher Directed byCharles A. NicholsCreative directorIwao TakamotoStarring Norman...

  「團隊精神」重定向至此。團隊精神也可以指團隊合作。 此條目没有列出任何参考或来源。 (2022年3月22日)維基百科所有的內容都應該可供查證。请协助補充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除。 管理層與工廠雇員的培訓會議,培訓是凝聚雇員士氣的其中一個良方。 士氣也稱為團隊精神,是指一個團隊的工作氣勢和氛圍,它用來�...

 

Category 1 Atlantic hurricane in 2017 This article is about the Atlantic hurricane of 2017. For other storms of the same name, see List of storms named Nate. Hurricane Nate Hurricane Nate at peak intensity approaching Louisiana on October 7Meteorological historyFormedOctober 4, 2017ExtratropicalOctober 9, 2017DissipatedOctober 11, 2017Category 1 hurricane1-minute sustained (SSHWS/NWS)Highest winds90 mph (150 km/h)Lowest pressure981 mbar (hPa); 28.97 inHgOverall effect...

 

錫唐河 錫唐河(緬甸語:စစ်တောင်းမြစ်)又稱锡当河,是位於缅甸中南部勃固省的一条河流,位於勃固山脈以東。该河发源于掸邦高原的西缘,向南流入莫塔馬灣(英语:Gulf of Martaban)。該河流全長420公里(260英里)[1] 。 参考文献 ^ 俞家海,亢升,张伟军作,东南亚农业发展与国家现代化 缅泰稻米产业面面观,中山大学出版社,2022.09,103頁

Cet article est une ébauche concernant un coureur cycliste néerlandais. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?). Pour plus d’informations, voyez le projet cyclisme. Pour les articles homonymes, voir Karstens. Gerben KarstensInformationsNaissance 14 janvier 1942VoorburgDécès 8 octobre 2022 (à 80 ans)DongenNationalité néerlandaiseÉquipes professionnelles 04.1965-12.1965Televizier1966-1967Televizier-Batavus1968-1970Peugeot-BP-Michelin1971Goudsmi...

 

كن فيكونمعلومات عامةالدِّين الإسلامصوفية الموضوع الرئيس أمر الله في الإسلامقصة الخلق في الإسلام احتفالاً بـ  القائمة ... البديعالخالقالحقالخلاقالأحدالواحدالصمدالمحييالمميت يتفاعل مادياً مع صفات الله العليا متصل بـ مشيئة الله في الإسلامإرادة الله في الإسلام مواقع ال...