Сярэднюю адукацыю атрымаў у Варшаўскай гімназіі. У 15 год, пасля далучэння Заходняй Беларусі да СССР, разам з бацькамі пераехаў у Мінск. Займаўся лепкай у Доме народнай творчасці. Першы твор маладога мастака «Трывога на караблі» адразу трапіў на выстаўку. У 1940 годзе тры яго творы — бюст Ф. Э. Дзяржынскага, «Бежанцы» і «Трывога на караблі» экспанаваліся на выстаўцы «Першай дэкады беларускага мастацтва і літаратуры» ў Маскве. За бюст Дзяржынскага, які таксама паказалі на выставе «Абарона СССР», мастак быў узнагароджаны граматай Вярхоўнага Савета БССР. Дом народнай творчасці накіраваў яго ў школу юных талентаў пры Акадэміі мастацтваў у Ленінградзе. За год Андрэй асвоіў поўны курс і экстэрнам здаў экзамены. Затым паспяхова здаў уступныя экзамены ў Акадэмію мастацтва. Але вучыцца не давялося, бо пачалася Вялікая Айчынная вайна[4].
Ваенны перыяд
Сям’я Заспіцкіх была эвакуіравана ў Мачушанскі раён Сталінградскай вобласці. Андрэй разам з аднагодкамі працаваў у полі і ў кузні. У пачатку 1941 года яго прызвалі ў войска.
Пасляваенны перыяд
Толькі ў 1947 годзе мастак вярнуўся да творчасці. Ён прыехаў у Мінск і стажыраваўся з 1948 па 1956 гады ў майстэрнях Акадэміі мастацтваў СССР у скульптара Аляксея Глебава. З 1949 года ўдзельнічаў у рэспубліканскіх і саюзных мастацкіх выстаўках. У 1951 годзе ўступіў у Саюз мастакоў БССР.
Неаднаразова скульптар звяртаўся да тэмы вайны — «Партызанскія сцежкі», «Партызан-падрыўнік», «Партызан адпачывае». Кампазіцыя «Прысядзем перад дарогай» была прадстаўлена на выставе «Беларусь сацыялістычная». Да тэмы развітання маці з сынам майстар вяртаўся неаднаразова.
У 1955 годзе скульптар стварыў партрэт Адама Міцкевіча. У гэтыя гады Андрэй Заспіцкі таксама прыняў удзел у стварэнні скульптур «Калгасніца», «Салдат», «Партызанка» на вежах Прывакзальнай плошчы Мінска[6]. Ён з’яўляецца аўтарам скульптуры «Інжынер».
1953 — скульптуры на будынку Сувораўскага вучылішча: пяхотнік і лётчык, працоўны і калгасніца (сумесна з Віктарам Паповым)[7]
Беларускі саюз мастакоў: Энцыклапедычны даведнік / аўтар-складальнік Б. А. Крэпак і інш.. — Мн.: ВТАА «Кавалер Паблішерс», 1998. — С. 207. — 664 с. — 3 000 экз. — ISBN 985-6427-09-6.
Пікулік А. М.Заспіцкі Андрэй Міхайлавіч // Беларусь: энцыклапедычны даведнік / Рэдкал. Б. І. Сачанка (гал. рэд.) і інш.; Маст. М. В. Драко, А. М. Хількевіч. — Мн.: БелЭн, 1995. — С. 324. — 800 с. — 5 000 экз. — ISBN 985-11-0026-9.