Пачаў кар’еру ў Пінску, гуляў потым за розныя клубы. Найбольш праявіў сябе ў складзе магілёўскага «Дняпра», найлепшым бамбардзірам якога стаў у сезоне 2009.
«Нёман»
У сакавіку 2012 года падпісаў кантракт з гродзенскім «Нёманам». Пачынаў сезон 2012 на лаўцы запасных, але пазней стаў асноўным нападнікам «Нёмана», выцесніўшы Ігара Крывабока. Асабліва выдатна праявіў сябе ў канцы сезона 2012, калі забіў 5 галоў у 5 апошніх матчах, што дазволіла «Нёману» заняць выніковае пятае месца.
У студзені 2013 года заключыў новы кантракт з «Нёманам». Сезон 2013 распачынаў асноўным нападнікам, але ў маі быў выцеснены Мілашам Лачным. Пасля таго як Лачны ў ліпені 2013 года пакінуў «Нёман», Лясюк вярнуўся ў аснову, але ўжо ў жніўні атрымаў траўму, з-за якой выбыў да канца сезона. У лістападзе 2013 года кантракт з «Нёманам» быў разарваны[2].
«Хваля»
У сакавіку 2014 года, аправіўшыся ад траўмы, накіраваўся на прагляд у пінскую «Хвалю»[3]. 1 красавіка 2014 года заключыў пагадненне з пінчукамі[4]. У складзе «Хвалі» стаў асноўным нападнікам і трывала вызначаўся галамі, што дазволіла неўзабаве ўзначаліць спіс бамбардзіраў Першай лігі. У ліпені 2014 года адправіўся на прагляд ва ўзбекскі «Наўбахор», але не падышоў гэтаму клубу[5]. Пасля вяртання ў Беларусь, аднак, адмовіўся далей выступаць за «Хвалю».
«Гарадзея»
У канцы ліпеня 2014 года перайшоў у «Гарадзею»[6]. Стаў асноўным іграком «цукровых», за паўсезона згуляў у 10 матчаў і забіў 4 гола, але клуб здолеў заняць толькі 6 месца ў Першай лізе. У верасні і кастрычніку 2014 года не гуляў з-за траўмы.
У студзені 2015 года падоўжыў кантракт з «Гарадзеяй»[7]. Па выніках сезона 2015 дапамог «Гарадзеі» выйсці ў Вышэйшую лігу. У студзені 2016 года пакінуў клуб[8].
Літва
У сакавіку 2016 года праходзіў прагляд у «Нафтане», але бакі не дамовіліся аб умовах кантракта[9]. У выніку ў першай палове 2016 года Андрэй заставаўся без клуба, а ў жніўні стаў іграком «Каўна Жальгірыса»[10].
Па заканчэнні сезона 2016 пакінуў каўнаскі клуб. У лютым 2017 года знаходзіўся ў стане «Хвалі», якая прапанавала нападніку кантракт[11], аднак іграком пінскага клуба не стаў. У выніку, сезон 2017 распачаў у складзе клуба другога літоўскага дывізіёна «Нявежыс»[12].
«Ліда» і «Белшына»
У студзені 2018 года вярнуўся ў Беларусь, стаўшы іграком «Ліды»[13]. Замацаваўся як ігрок асновы лідчан, з 8 галамі стаў найлепшым бамбардзірам каманды ў сезоне. У студзені 2019 года пакінуў лідскі клуб[14].
У сакавіку 2019 года пасля прагляду стаў іграком бабруйскай «Белшыны»[15]. Здолеў стаць адным з асноўных ігракоў, быў капітанам каманды, дапамог ёй выйсці ў Вышэйшую лігу, з 12 галам стаў другім бамбардзірам каманды. Па заканчэнні сезона пакінуў бабруйскі клуб.
У сакавіку 2020 года зноў падпісаў кантракт з «Лідай»[16]. Пачынаў сезон, выходзячы на замену, але хутка замацаваўся ў стартавым складзе каманды.
«Стэнлес»
У сакавіку 2021 года стаў іграком пінскага «Стэнлеса»[17], дзе быў асноўным нападнікам. Па заканчэнні сезона 2021 пакінуў каманду і завяршыў кар’еру.
У жніўні 2022 года быў прызначаны галоўным трэнерам «Стэнлеса»[18]. Пакінуў клуб у лютым 2024 года[19].
