Espaciu compautu

En topoloxía, un espaciu compactu ye un espaciu que tien propiedaes similares a un conxuntu finito, tocantes a que les socesiones conteníes nun conxuntu finito siempres contienen una subsocesión converxente. La noción de compacidad ye una versión más xeneral d'esta propiedá.

Un conxuntu compactu ye un subconxuntu d'un espaciu topolóxicu, que como subespacio topolóxicu (cola topoloxía inducida) ye en sí mesmu un espaciu topolóxicu compactu.

Definición

La definición moderna de compacidad rique primero especificar la noción de recubrimientu abiertu:

Un recubrimientu abiertu d'un subconxuntu A ⊆ X d'un espaciu topolóxicu, ye una familia de conxuntos abiertos {O_i}_{i ∈ I} de X, tales que'l so unión "cubre" a A :

$\bigcup _{i\in I}O_{i}\supseteq A$

Dau un recubrimientu C d'un conxuntu A, un subrecubrimiento D ye una subfamilia de C, D ⊆ C que sigue siendo un recubrimientu de A —esto ye, una subcolección de conxuntos de C qu'entá cubre a A—.

La definición de compacidad ye entós:

Un espaciu topolóxicu X dizse compactu si, dau un recubrimientu abiertu de X cualesquier, esiste un subrecubrimiento finito del mesmu.

Exemplos

El conxuntu K = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ R cola topoloxía heredada del estándar de R ye compactu. Dau un redolada de 0, este inclúi a tolos 1/n salvo un númberu finito —yá que la socesión {1/n}_{n ∈ N} converxi a 0—. Por tanto, dau un recubrimientu abiertu de K, tomando un abiertu O que contenga a 0, y un abiertu que contenga cada puntu 1/n non conteníu en O, esta subcolección finita cubre a K.
El intervalu abiertu (0, 1) ⊆ R nun ye compactu (cola topoloxía avezada heredada de R). La familia { (0, 1 − 1/n) }_{n > 1} ye un recubrimientu abiertu del intervalu, pero dada cualquier subfamilia finita, esiste un intervalu (0, 1 − 1/k) nella que contién a los demás —buscando aquel con k máximu—. Como 1 − 1/p nun ta en (0, 1 − 1/k) si p ≥ k, nenguna subfamilia finita cubre (0, 1).

Carauterizaciones equivalentes

La compacidad d'un espaciu almite delles formulaciones alternatives:

Les siguientes afirmaciones sobre un espaciu topolóxicu X son equivalentes ente sigo:

X ye compactu.

Si {F_i}_{i ∈ I} ye una familia de subconxuntos zarraos en X cola propiedá de la interseición finita, entós ∩_IF_i ≠ ∅.

Toa rede en X almite una subred converxente.

La función al puntu $X\to \ast$ ye propia.

Compacidad n'espacios métricos

Un subconxuntu A d'un espaciu métricu ysobremanera, del espaciu euclideu $\mathbb {R} ^{n}$ ye compactu si cumple dalguna de los cuatro condiciones de la definición xeneral. Sicasí, la tercera d'elles almite la siguiente reescritura nesti contestu: toa socesión en A almite una subsocesión converxente.

Exemplos

L'exemplu de bandera y senciellu de subconxuntu compactu de la recta euclídea ye un intervalu zarráu [a,b] de la mesma (Teorema de Heine-Borel).^[1]
Más xeneralmente, tamién lo ye cualquier conxuntu zarrao y acutao del espaciu euclideu. Cualquier círculu nel planu euclídeo, por casu particular.
Tou espaciu X cofinito ye compactu.^[2]
Un exemplu d'espaciu non compactu ye la recta real, pos nun ye acutada y contién socesiones que tienden a infinitu. Amás nenguna subfamilia finita del recubrimientu d'abiertos {(-n, n): n ye n. natural} anubre la recta real.
Tampoco ye compactu'l conxuntu de los númberos racionales. N'efeutu, una socesión de racionales que converxe a un irracional (al ser vista como socesión nos reales) nun tien nenguna subsocesión converxente a un racional.

Teoremes acomuñaos a la compacidad

Teorema de Heine-Borel

Pol teorema de Heine-Borel, un espaciu métricu ye compactu si y namái si ye completu y totalmente acutáu. Pa subconxuntos del espaciu euclideu, basta con qu'ésti seya zarráu y acutáu, que ye una carauterización útil.

Sicasí, en dimensión infinita, esto nun ye verdá, y, ello ye que nesti contestu la bola unitaria cerrada enxamás va ser precompacta; por lo mesmo, ye muncho más difícil verificar compacidad.