تباعد

معلومات عامة

تعريف الصيغة	${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {a}}=\sum _{i}{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{i}}}}$[1]
الرموز في الصيغة	${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

في حساب المتجهات، التباعد^[2] ورمزه ${\displaystyle \nabla .}$ أو ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )}$ مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري الدوران والتدرج. يقيس مؤثر التباعد شدة مصدر الحقل المتجهي (حيث التباعد أكبر من الصفر) أو مصرفه (حيث التباعد أقل من الصفر) عند نقطة معينة . ويؤثر التباعد على الحقول المتجهة وينتج عنه حقل قياسي. أما إذا كان التباعد صفرا فهذا يعني أن الحقل المتجهي بلا مصدر ولا مصرف، ويسمى الحقل في هذه الحالة حقلا متجهيا ملفيا ^{[الإنجليزية]} لإنه ليس له بداية ولا نهاية . ومن الأمثلة على ذلك المجالات المغناطيسية. فخطوط المجال المغناطيسي للكرة الأرضية تخرج من القطب الجنوبي (المصدر) وتتجه إلى القطب الشمالي (المصرف) . فعند قياس تباعدها حول الأرض فالنتيجة سوف تكون صفرا لإن كل ما يخرج منها يعود إليها، وهذا ما أكد استحالة وجود مغناطيس أحادي القطب. وكذا ُفإن تباعد أي مجال دوار يساوي صفر أي أن :${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$ مهما كان الحقل A.

يعرف تباعد الحقل المتجهي ${\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة ${\displaystyle F_{i}}$ بالكمية ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي ${\displaystyle {\vec {F}}(x_{1},x_{2},x_{3})}$ في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},F_{2},F_{3}\right)\mapsto {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F_{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}F_{3}}$

والآن للتعميم على الحقل ${\displaystyle {\vec {F}}=(F_{1},\ldots ,F_{n})}$ في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:

${\displaystyle \operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},\ldots ,F_{n}\right)\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}F_{i}}$

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ${\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}$ وفقا لما يلي:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

وفي الإحداثيات الإسطوانية ${\displaystyle {\vec {F}}(\rho ,\varphi ,z)}$:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}$

أما في الإحداثيات الكروية ${\displaystyle {\vec {F}}(r,\theta ,\varphi )}$
${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\theta }\sin \theta )+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}}$

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل المؤثر نابلا (${\displaystyle \nabla }$). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرج Gradient	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسي Laplacian	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	مركب من عمليتي التباعد والتدرج.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.