مبرهنة تايلور

الدالة الأسية (بالأحمر) كثير الحدود لتايلور الموافق من الدرجة الرابعة (بالأخضر المتقطع) حول الأصل.

في حساب التفاضل والتكامل، تعطي مبرهنة تايلور[1] تقريبًا لدالة قابلة للتفاضل بـ مرات حول نقطة معينة بواسطة كثير الحدود من الدرجة ، يسمى كثير الحدود لتايلور من الدرجة . للحصول على دالة ملساء، فإن كثير الحدود لتايلور هو التدوير عند الرتبة من متسلسلة تايلور للدالة. كثير الحدود لتايلور من الدرجة الأولى هو التقريب الخطي للدالة، وغالبًا ما يُشار إلى كثير الحدود لتايلور من الدرجة الثانية باسم التقريب التربيعي.[2] هناك عدة نسخ من مبرهنة تايلور، بعضها يعطي تقديرات صريحة للخطأ التقريبي للدالة بواسطة كثير الحدود لتايلور.

سميت مبرهنة تايلور على اسم عالم الرياضيات بروك تايلور، الذي ذكر نسخة منها في عام 1715،[3] على الرغم من ذكر جيمس غريغوري للنسخة السابقة للنتيجة في عام 1671.[4]

تُدَرَّس مبرهنة تايلور في دورات حساب التفاضل والتكامل للمستوى التمهيدي وهي إحدى الأدوات الأساسية المركزية في التحليل الرياضي. إنه يعطي صيغًا حسابية بسيطة لحساب قيم العديد من الدوال المتسامية بدقة مثل الدالة الأسية والدوال المثلثية. إنها نقطة البداية لدراسة الدوال التحليلية، وهي أساسية في مختلف مجالات الرياضيات، وكذلك في التحليل العددي والفيزياء الرياضية. تعمم مبرهنة تايلور أيضًا على الدوال متعددة المتغيرات وذات القيم المتجهية.

الدافع

رسم بياني لـ (بالأزرق) بتقريبه الخطي (بالأحمر) عند .
رسم بياني لـ (بالأزرق) بتقريبه التربيعي (بالأحمر) عند . لاحظ التحسن في التقريب.

إذا كانت دالة ذات قيم حقيقية قابلة للتفاضل عند هذه النقطة ، فإن لها تقريب خطي بالقرب من هذه النقطة. هذا يعني أن هناك دالة h1(x) بحيث:

هنا:

هو التقريب الخطي لـ لـ x بالقرب من النقطة a، التي رَسْمُها البياني هو مماس الرسم البياني عند x = a. خطأ التقريب هو:

لما يقترب x من a، هذا الخطأ يؤول إلى الصفر أسرع بكثير من ، مما يجعل تقريبًا مفيدًا.

لتقريب أفضل لـ ، يمكننا أن نلائم كثير الحدود من الدرجة الثانية بدلاً من دالة خطية:

هذا كثير الحدود له نفس المشتقات الأولى والثانية لـ عند ، كما هو واضح عند التفاضل.

تضمن مبرهنة تايلور أن يكون "التقريب التربيعي"، في جوار صغير لـ بصورة كافية، أكثر دقة من التقريب الخطي. بشكل خاص:

هنا الخطأ في التقريب هو:

والتي، نظرًا للسلوك المحدود لـ ، يؤول إلى الصفر أسرع من لما x يقترب من a.

مبرهنة تايلور في دالة وحيدة المتغير

نص المبرهنة

النص الدقيق للنسخة الأساسية من مبرهنة تايلور هو كما يلي:

مبرهنة تايلور[5][6][7] — ليكن k ≥ 1 عددًا صحيحًا و f : RR دالة قابلة للاشتقاق k مرات عند النقطة aR. عندئذ توجد دالة hk : RR بحيث:

و

يسمى هذا شكل بيانو للباقي.


كثير الحدود الذي يظهر في مبرهنة تايلور هو كثير الحدود لتايلور من الدرجة 𝑘:للدالة f عند النقطة a. كثير الحدود لتايلور هو كثير الحدود "الأنسب في التقارب" الوحيد بمعنى أنه في حالة وجود دالة hk : RR وكثير الحدود p من الدرجة 𝑘 بحيث: فإن p = Pk. توصف المبرهنة السلوك التقاربي للحد الباقي:

وهو خطأ التقريب عند تقريب f بكثير الحدود لتايلور الخاص به. باستخدام تدوين o الصغير، يكتب نص مبرهنة تايلور على هذا الشكل:

الصيغ الصريحة للباقي

تحت افتراضات الانتظام الأقوى حول f، هناك العديد من الصيغ الدقيقة للحد المتبقي Rk لكثير الحدود لتايلور، وأكثرها شيوعًا هي التالية:

شكل القيمة المتوسطة للباقي — لتكن f : RR دالة قابل للاشقاق k + 1 مرات على الفترة المفتوحة f(k) مستمرة على الفترة المغلقة بين و .[ملاحظة 1] عندئذ:

من أجل بعض الأعداد الحقيقية بين و . هذا شكل لاغرانج[8] للباقي.

بشكل مماثل،

من أجل بعض الأعداد الحقيقية بين و . هذا شكل كوشي[9] للباقي.

عادة ما تُثبَت هذه التنقيحات لمبرهنة تايلور باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة، من هنا جاء الاسم. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن هذه هي بالضبط مبرهنة القيمة المتوسطة حيث . يمكن أيضًا إيجاد تعبيرات أخرى مماثلة. على سبيل المثال، إذا كانت G(t) مستمرة على الفترة المغلقة وقابلة للاشتقاق بمشتق لا يختفي في الفترة المفتوحة بين 𝑎 و 𝑥، فإن: من أجل بعض الأعداد بين 𝑎 و 𝑥. تغطي نسخته شِكْلَيِْ لاغرانج وكوشي للباقي حالاتٍِ خاصة، وقد أثبتت أدناه باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة لكوشي. يُحْصَل على شكل لاغرانج بأخذ ويُحْصَل على شكل كوشي بأخذ .

الملاحظات

  1. ^ فرضية كون الدالة f(k) مستمرة على الفترة المغلقة بين و هي أمر ضروري لا يمكن الاستغناء عنه. على الرغم من أن f قابلة للإشتقاق k + 1 مرات على الفترة المفتوحة بين و تقتضي أن f(k) مستمرة على المجال المفتوح و ، إلا أنها لا تقتضي أن f(k) مستمرة الفترة المفتوحة بين و ، معناه أنها لا تقتضي أن f(k) مستمرة عند طرفي الفترة. نعتبر على سبيل المثال الدالة f : [0,1] → R معرفة بـ على الفترة وبـ . إنها غير مستمرة على الفترة لكنها مستمرة على . علاوة على ذلك، يمكن إظهار أن هذه الدالة لها مشتق عكسي. إذن هذا المشتق العكسي قابل للاشتقاق على الفترة ، مشتقها (الدالة f) مستمرة على الفترة المغلقة , لكن مشتقها f ليست مستمرة على الفترة المفتوحة . لذا فإن المبرهنة لا تنطبق في هذه الحالة.

المراجع

  1. ^ موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 703، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
  2. ^ (2013). "Linear and quadratic approximation" Retrieved December 6, 2018 نسخة محفوظة 2022-08-18 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Taylor, Brook (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (باللاتينية). London. p. 21–23 (Prop. VII, Thm. 3, Cor. 2). Translated into English in Struik، D. J. (1969). A Source Book in Mathematics 1200–1800. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ص. 329–332.
  4. ^ Kline 1972.
  5. ^ Genocchi، Angelo؛ Peano، Giuseppe (1884)، Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale، (N. 67, pp. XVII–XIX): Fratelli Bocca ed.  [لغات أخرى]{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link) صيانة الاستشهاد: مكان (link)
  6. ^ Spivak، Michael (1994)، Calculus (ط. 3rd)، Houston, TX: Publish or Perish، ص. 383، ISBN:978-0-914098-89-8
  7. ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Taylor formula", Encyclopedia of Mathematics  [لغات أخرى] (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4
  8. ^ Kline 1998، §20.3; Apostol 1967، §7.7.
  9. ^ Apostol 1967، §7.7.

معلومات الكتب كاملة

Read other articles:

The King and IPoster promosiGenreDramaSejarahDitulis olehYoo Dong-yoonSutradaraKim Jae-hyung Lee Jong-soo Son Jae-sungPemeranOh Man-seok Ku Hye-sun Go Joo-wonNegara asalKorea SelatanJmlh. episode63ProduksiProduserYoon Young-mookPengaturan kameraMulti-cameraDurasiSenin dan Selasa pada pukul 21:55 (WSK)Rumah produksiOlive9Rilis asliJaringanSeoul Broadcasting SystemRilis27 Agustus 2007 (2007-08-27) –1 April 2008 (2008-4-1) The King and IHangul왕과 나 Hanja王과 나 Alih Aks...

 

Gambar tentang neraka, karya Hieronymous Bosch (Abad 16) Neraka dalam Kekristenan adalah sebuah tempat atau keadaan, sebagai penghakiman definitif Tuhan, tempat orang-orang berdosa, atau, dalam keyakinan orang Kristen, sebagai tempat setelah kematian.[1][2] Para teolog saat ini umumnya mengartikan Neraka sebagai konsekuensi logis dari menolak penyatuan dengan Tuhan dan keadilan serta belas kasihan Tuhan.[1] Perbedaan kata dalam Ibrani dan Yunani, diterjemahkan sebagai...

 

Artikel ini bukan mengenai Asosiasi Muslim Tionghoa di Taipei. Markas besar Perhimpunan Islam Tiongkok di Beijing Asosiasi Islam Tiongkok (Hanzi sederhana: 中国伊斯兰教协会; Hanzi tradisional: 中國伊斯蘭教協會; Pinyin: Zhōngguó Yīsīlánjiào Xiéhuì; Wade–Giles: Chung-kuo I-szŭ-lan-chiao Hsieh-hui) diklaim mewakili Tionghoa Muslim di seluruh belahan Tiongkok. Ini adalah sebuah organisasi relijius nasional bagi umat Muslim dari seluruh kelompok etnis. Ba...

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Februari 2023. Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Hrithik Roshan filmography di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya,...

 

Place in Borsod-Abaúj-Zemplén, HungarySzomolya FlagCoat of armsSzomolyaLocation of SzomolyaCoordinates: 47°53′31″N 20°29′47″E / 47.89194°N 20.49637°E / 47.89194; 20.49637Country HungaryCountyBorsod-Abaúj-ZemplénArea • Total22.69 km2 (8.76 sq mi)Population (2004) • Total1,723 • Density75.93/km2 (196.7/sq mi)Time zoneUTC+1 (CET) • Summer (DST)UTC+2 (CEST)Postal code3411Area code...

 

Cet article concerne la langue phénicienne. Pour le peuple phénicien, voir Phéniciens. Phénicien (Dabarīm Kanaʿanīm) Période Xe siècle av. J.-C. – Ve siècle Extinction Ve siècle Langues filles punique, néo-punique Région Phénicie, Libye antique, péninsule Ibérique, Malte, Sicile, Sardaigne, Corse, Elbe Classification par famille - langues chamito-sémitiques - langues sémitiques - langues sémitiques occidentales - langues sémitiques centrales - la...

2ShyEpisode The X-FilesNomor episodeMusim 3Episode 6SutradaraDavid NutterPenulisJeff VlamingKode produksi3X06Tanggal siar3 November 1995Durasi45 menitBintang tamu Timothy Carhart sebagai Virgil Incanto Catherine Paolone sebagai Ellen Kaminsky James Handy sebagai Detektif Alan Cross[1] Kronologi episode ← SebelumnyaThe List Selanjutnya →The Walk 2Shy adalah episode keenam dari musim ketiga dari serial televisi fiksi ilmiah Amerika Serikat The X-Files. Episode tersebu...

 

Artikel ini mendokumentasikan suatu wabah penyakit terkini. Informasi mengenai hal itu dapat berubah dengan cepat jika informasi lebih lanjut tersedia; laporan berita dan sumber-sumber primer lainnya mungkin tidak bisa diandalkan. Pembaruan terakhir untuk artikel ini mungkin tidak mencerminkan informasi terkini mengenai wabah penyakit ini untuk semua bidang. Artikel utama: Pandemi koronavirus 2019–2020 Artikel ini bukan mengenai Pandemi Covid-19 di Yunani, Pandemi Covid-19 di Serbia, Pandem...

 

City in California, United States City in California, United StatesHaywardCity Top: Holy Sepulcher Church; Portuguese Memorial Park; Hayward Water Tower. Bottom: City Hall; All Saints Church. FlagSealNickname: HaystackMotto: Heart of the Bay[1]Location of Hayward in Alameda County, CaliforniaHaywardLocation in CaliforniaShow map of CaliforniaHaywardLocation in the United States of AmericaShow map of the United StatesCoordinates: 37°40′08″N 122°04′51″W / &#x...

American politician (1860–1942) For other people with the same name, see Edward Stokes (disambiguation). Edward C. StokesStokes in 192332nd Governor of New JerseyIn officeJanuary 17, 1905 – January 21, 1908Preceded byFranklin MurphySucceeded byJohn Franklin FortMember of the New Jersey Senatefrom Cumberland CountyIn office1893–1903Preceded bySeaman R. FowlerSucceeded byBloomfield MinchMember of the New Jersey General AssemblyIn office1891 Personal detailsBornEdward Casper S...

 

State highway in Pennsylvania, US This article is about the current route. For the PA Route 10 in the 1920s, see Pennsylvania Route 10 (1920s). PA 10 redirects here. The term may also refer to Pennsylvania's 10th congressional district. Pennsylvania Route 10Route informationMaintained by PennDOTLength44.041 mi[1] (70.877 km)Existed1956–presentMajor junctionsSouth end PA 472 in OxfordMajor intersections US 1 near Oxford PA 896 in Russellville PA...

 

La vitesse initiale est la vitesse à laquelle un projectile sort d'une arme. La vitesse à la bouche est celle à laquelle il sort de la « bouche » du canon d'une arme, qui est son extrémité la plus proche de la cible. Elles sont souvent notées « V0 ». Terminologie Vitesse initiale et vitesse à la bouche sont deux concepts qui caractérisent un projectile non autopropulsé, par exemple une balle ou un obus tirés grâce à une charge propulsive telle que la poudre...

Dokter, salah satu profesi pada bidang kesehatan. Profesi adalah kata serapan dari sebuah kata dalam Belanda: professiecode: nl is deprecated , yang dalam bahasa Yunani adalah Επαγγελια, yang bermakna: Janji untuk memenuhi kewajiban melakukan suatu tugas khusus secara tetap/permanen. Profesi [1] juga sebagai pekerjaan yang membutuhkan pelatihan dan penguasaan terhadap suatu pengetahuan khusus. Suatu profesi biasanya memiliki asosiasi profesi, kode etik, serta proses sertifika...

 

Військово-музичне управління Збройних сил України Тип військове формуванняЗасновано 1992Країна  Україна Емблема управління Військово-музичне управління Збройних сил України — структурний підрозділ Генерального штабу Збройних сил України призначений для планува...

 

British judge The Right HonourableSir Thomas ClarkeFRSMaster of the RollsIn office25 May 1754 – 13 November 1764Preceded bySir John StrangeSucceeded bySir Thomas Sewell Personal detailsBorn1703Died13 November 1764(1764-11-13) (aged 60–61)NationalityBritishAlma materTrinity College, CambridgeProfessionBarrister, judge Sir Thomas Clarke PC FRS (1703 – 13 November 1764) was a British judge who served as Master of the Rolls. He was the son of a carpenter and a pawnbroker f...

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

 

Via GregorianaLocalizzazioneStato Italia CittàRoma CircoscrizioneMunicipio I Informazioni generaliTipoVia IntitolazioneGregorio XIII Costruzione1575 Mappa Modifica dati su Wikidata · Manuale Via Gregoriana è una via romana, nel rione di Campo Marzio, che sale da via Capo le Case a piazza della Trinità dei Monti. Scorcio della via nel 1970 Fu voluta da papa Gregorio XIII Boncompagni, che per il Giubileo del 1575 fece costruire una via di collegamento tra la chiesa di Trinità dei...

 

La fleur rouge du coquelicot. Pour les articles homonymes, voir Rouge (homonymie). Le rouge est un champ chromatique regroupant les couleurs vives situées sur le cercle chromatique entre l'orange et les pourpres. Lavé de blanc, le rouge devient rose, assombri et grisé, il s'appelle brun. Opposé au vert, il forme un des contrastes qui, avec celui entre le bleu et le jaune et celui entre le noir et le blanc, orientent la perception visuelle. Un rouge, un vert et un bleu suffisent pour la sy...

Le Genrōin. La Chambre des anciens (元老院, Genrōin?) est une assemblée nationale japonaise du début de l'ère Meiji, fondée après la conférence d'Osaka de 1875. Elle est également désignée comme le « sénat » du Japon. Les principaux dirigeants du mouvement pour la liberté et les droits du peuple, alors naissant, s'étaient retirés du gouvernement de Meiji après leurs efforts infructueux d'établir une assemblée nationale pour une démocratie représentative. La...

 

Lothar OsianderNazionalità Stati Uniti Calcio RuoloAllenatore(ex Centrocampista) Termine carriera1967 - giocatore2000 - allenatore CarrieraGiovanili 1964-1965 San Francisco Rams1966-1967 San Francisco Dons Carriera da allenatore 19?? California SurfVice19??-1985 Greek-American A.C.1986-1988 Stati Uniti1988-1992 Stati Uniti olimpica1991 S.F. Bay BlackhawksVice1992 Palo Alto Firebirds1995 Atlanta Ruckus1996-1997 L.A. Galaxy1998-1999 Tampa B...